第03讲 平面向量的数量积及其应用（复习讲义）（原卷版）

第03讲平面向量的数量积及其应用

目录

01考情解码・命题预警.....................................................................................................................2

02体系构建·思维可视.........................................................................................................................3

03核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4

知能解码........................................................................................................................................4

知识点1平面向量数量积的有关概念..............................................................................4

知识点2平面向量数量积的性质及其坐标表示..............................................................4

知识点3平面向量数量积的运算律..................................................................................5

知识点4平面几何中的向量方法......................................................................................5

题型破译...............................................................................................................................................5

题型1平面向量数量积的定义..........................................................................................5

题型2平面向量数量积的运算....................................................................................6

题型3数量积的坐标表示..................................................................................................7

题型4投影向量..................................................................................................................8

题型5向量在几何中的应用..............................................................................................8

题型6向量在物理中的应用..............................................................................................9

题型7向量新定义......................................................................................................10

04真题溯源·考向感知.......................................................................................................................12

05课本典例·高考素材.......................................................................................................................12

考点要求考察形式2025年2024年2023年

1.理解平面向量数量

积的含义及其物理意

义.

2.了解平面向量的数

量积与投影向量的长

度的关系.

新课标I卷，第3题，5

3.掌握数量积的坐标全国二卷，第12新课标I卷，第3题，5分

表达式，会进行平面分

题，5分新课标II卷，第13题，5

向量数量积的运算.单选题新课标II卷，第3题，5

上海卷，第12题，分

4.能运用数量积表示多选题分

两个向量的夹角，会填空题5分全国甲卷，第4题，5分

全国甲卷，第题，分

用数量积判断两个平95

解答题天津卷，第14题，全国乙卷，第12题，5分

面向量的垂直关系.天津卷，第14题，5分

会用向量的方法解5分天津卷，14题，5分

5.北京卷，第5题，4分

决某些简单的平面几

何问题.

6.会用向量方法解决

简单的力学问题与其

他一些实际问题.

考情分析：平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单

独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，

而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．

预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．

复习目标：

1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．

2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．

3.了解平面向量基本定理及其意义

4.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

知识点1平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作O→A＝a，O→B＝b，则∠

AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量

a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝.规定：零向量与任一向量的数量积为0，

即0·a＝0.

(3)投影向量

如图，在平面内任取一点O，作O→M＝a，O→N＝b，过点M作直线ON的垂线，

垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.

→→

设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cos

θe.

自主检测（多选）关于平面向量a，b，c，下列说法不正确的是（）

22

A．abababB．abcacbc

rrrrrrrrrr

C．若abac，且a0，则bcD．abcabc

知识点2平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝a·a＝.

a·bx1x2＋y1y2

(3)夹角：cosθ＝＝.

2222

|a||b|x1＋y1·x2＋y2

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0.

2222

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x1＋y1·x2＋y2.

⇔

r

自主检测（多选）若a2,1，b3,1，则（）

A．ab5B．abab

π

C．a与b的夹角为D．b在a方向上的投影向量为2a

4

知识点3平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

自主检测（多选）已知a、b、c是三个向量，则下列结论中正确的是（）

A．abbaB．a(bc)abac

C．(ab)ca(bc)D．若abac，则bc

知识点4平面几何中的向量方法

(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

π

自主检测已知非零平面向量a、b、c，满足a4，bc2，若a与b的夹角为，则ac的最小值为

3

（）

3

A．232B．3C．232D．

2

题型1平面向量数量积的定义

例1-1一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固

定顶点，则APAB（）

A．12B．16C．162D．163

例1-2已知向量a,b满足a2bab3，且|a|2,|b|1，则a与b的夹角为（）

A．30oB．60oC．120D．150

方法技巧

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即

ab=|a||b|cos，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，

它是负数；当为直角时，它是0．

②ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos的乘积．

π

【变式训练1-1】已知向量a2b2，且向量a与向量b的夹角为，则(2a)(3b)．

3

π

【变式训练1-2】已知边长为4的菱形ABCD的一个内角为，则ABAD．

3

题型2平面向量数量积的运算

π

例2-1已知向量a与b的夹角为，a3，b2，则ab（）

6

A．1B．23C．23D．13

例2-2已知平面向量a，b，c均为单位向量，若a与b的夹角为60°，则cac2b的最大值为（）

A．23B．4C．27D．5

例2-3已知a2,0,b1,1，若aab，则（）

A．1B．1C．2D．2

方法技巧

平面向量数量积的两种运算方法

(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积

的有关计算问题；

(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

【变式训练2-1】已知e1,e2是两个垂直的单位向量．若ae1e2,b2e1e2，设向量a,b的夹角为，则

cos（）

12510

A．B．C．D．

102510

【变式训练2-2·变考法】已知abab2，则ab.

题型3数量积的坐标表示

例3-1已知向量a(4,3),b(3,1)，则ab.

例3-2已知向量a1,2,b2,0，则向量a在向量b方向上的投影向量为.

r

例3-3已知向量a3,1，b2,3，若a，b的夹角为锐角，则的取值范围是．

方法技巧坐标法求平面向量的数量积

（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，

rrrr

即若，，则；

a(x1,y1)b(x2,y2)abx1x2y1y2

（2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面

直角坐标系，使用坐标法求数量积。

【变式训练3-1】已知向量a1,3，向量b2,1，则向量a在向量ab上的投影向量的模为（）

5111711517

A．B．C．D．

517517

2π

【变式训练3-2】平面向量a，b满足a2,5，b8，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量

3

为（）

433

A．aB．aC．bD．4b

316163

题型4投影向量

例4-1已知VABC的外接圆圆心为O，且2AOABAC，OAAC，则向量AB在向量BC上的投影向量

为（）

13uuur13

A．BCB．BCC．BCD．BC

4444

例4-2设向量a.b满足a6,b4且ab12，则向量a在向量b方向上的投影是.

方法技巧

rrrrrr

uuuurrruuuurrrrbrabbabr

设向量是向量在向量上的投影向量，则有rrrrr，

A1B1abA1B1|a|cosa,b|a|b

|b||a||b||b||b|2

rr

uuuur|ab|

则r

|A1B1|

|b|

π

【变式训练4-1】如图，在VABC中，C，ADBC于D，AD2，BC6，则AB在AC上的投影向

4

量为（）

1111

A．ACB．ACC．ACD．AC

2552

【变式训练4-2·变载体】已知am1,2，b1,m.

(1)若abb，求m的值；

(2)若ab2且m0，求a在b方向上的投影数量.

题型5向量在几何中的应用

π1

例5-1已知OBA，OB4，且ABOA，则xOBOAxOBOAxR的最小值为（）

32

3

A．25B．23C．3D．

2

π2

例5-2已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足，

3b6be80

则ab的最小值是（）．

33

A．31B．31C．31D．23

22

方法技巧用向量方法解决实际问题的步骤

【变式训练5-1】已知平面向量AB、AC、AD，ABAC1，ABAC1，△BCD的面积为23，则AD

的最小值为（）

37

A．B．2C．D．4

22

rrrrrrrrur2rur

【变式训练5-2】已知a3,b1,ab0,caca4,d4bd30，则cd的最大值

为．

【变式训练5-3】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，BEBABC，

则，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AFDG的最小值为.

题型6向量在物理中的应用

例6-1共点力F1lg2,lg2，F2lg5,lg2作用在物体M上，产生位移S2lg5,1，则共点力对物体做

的功为（）

A．lg2B．lg5C．1D．2

例6-2如图所示，支座A受F1，F2两个力的作用，已知F118N，与水平线成角，F28N，沿水平方

向，两个力的合力F的大小F20N，则cos（）

1111

A．B．C．D．

4812224

【变式训练6-1】如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船

的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为

h.

【变式训练6-2】如图所示，支座A受F1,F2两个力的作用，已知F118N，与水平线成角，F28N，

沿水平方向，两个力的合力F的大小F20N，则cos.

题型7向量新定义

π

例7-1已知ax1,y1，bx2,y2，定义新运算abx1x21y1y21，记msin,1，

6

π5π

n1,sin，满足mn，则sin2（）

3103

551010

A．B．C．D．

551010

例7-2）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对z1,z2z1,z2C视为一个向

量，记作z1,z2．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量z1,z2，

z3,z4的数量积记作，定义为z1z3z2z4；复向量的模定义为．

(1)设6,8，i2,i，求复向量与的模；

(2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号；

①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式acbda2b2c2d2成立，并写出此不等式的取等条件；

②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；

(3)当时，称复向量与平行．设1i,2i，i,z，zC，若复向量与平行，

求复数z的值．

x

【变式训练7-1】定义：若不相等的两个向量ax1,y1，bx2,y2满足条件：ab且1，y1，x2，y2均

为整数，则称向量a，b互为“等模整向量”，则与向量a1,0互为“等模整向量”的向量个数有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【变式训练7-2】如图，在VABC中，ABC90，AB23，BC2，AMxAB(0x1)，

ANyAC(0y1)，设CM与BN交于点P，且CP2PM．

(1)求2xy3y的值；

asin

(2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：ab（其中是两非零向量a和b的夹角）．

b

（ⅰ）若M为AB的中点，求PBPC的值；

3

（ⅱ）若APBC，求xy的值．

2

xy

11

【变式训练7-3】已知向量ax1,y1,bx2,y2，且x2y20，定义向量的新运算：ab．

x2y2

(1)若向量a(2,6),b(6,m)，且ab，求ab；

(2)证明：a∥b是ab0的充要条件，

1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量ax1,x,bx,2，则（）

A．“x3”是“ab”的必要条件B．“x13”是“a//b”的必要条件

C．“x0”是“ab”的充分条件D．“x13”是“a//b”的充分条件

2．（2024·北京·高考真题）设a，b是向量，则“ab·ab0”是“ab或ab”的（）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量a,b满足a1,a2b2，且b2ab，则b（）

123

A．B．C．D．1

222