人教版九年级数学下册举一反三286锐角三角函数章末九大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)

专题28.6锐角三角函数章末九大题型总结（拔尖篇）

【人教版】

♦题型梳理

【题型1构建直角三角形求锐角三角函数值】......................................................1

【题型2用等角转换法求锐角三角函数值】........................................................2

【题型3锐角三角函数与相似三角形的综合应用】..................................................3

【题型4锐角三角函数与圆的综合应用】..........................................................4

【题型5解非直角三角形】.......................................................................5

【题型6巧设辅助未知数解直角三角形】..........................................................6

【题型7构造直角三角形进行线段或角的计算】....................................................7

【题型8解直角三角形与圆的综合应用】..........................................................9

【题型9构造直角三角形解决实际问题】...........................................................10

，举一反三

【题型1构建直角三角形求锐角三角函数值】

【例1】（2023春・安徽・九年级专题练习）如图，在四边形中，43=60。，zC=90%E为边BC上的点,

△为等边三角形，BE=8,CE=2,则tan4AEB的值为（）

A-vB-vc.于D.—

【变式1-1]（2023春・湖北襄阳・九年级统考期中）如图，在△48。中，4/1=90。，若8E=TTL4C,CD=mAB,

连接BGOE交「点F,则coszBFE的值为.

【变式1-2]（2023•四川成都•统考中考真题）如图,在RtA48C中,/-ABC=90%CD平分乙4cB交48于点D,

过。作OEIIBC交AC于点E,将△DEC沿DE折叠得到△OE凡OF交4C于点G.若蓝二（则taa4=.

【变式1-3]（2023春・江苏常州•九年级校考期末）如图，在A/IBC中，AB=AC=5,BC=4,4Q是BC边

上的高，将AaBC绕点C旋转到（点七、尸分别与点A、8对应），点尸落在线段4D上，连接AE,则

COS/.EAF—.

【题型2用等角转换法求锐角三角函数值】

【例2】（2023秋•江苏常州•九年级统考期末）已知点P在△ABC内，连接P4PB、PC,在△P4B、△PBC、

△P4C中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点P为A48。的自相似点，如图，在直角△相。中,

^ACB=90°,AC=12,BC=5,如果点P为直角△48C的自相似点，那么tanzACP=.

【变式2-11（2023春・吉林长春•九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，连结4C,延长BC到点E,使CE=4C,

过点E作AC的平行线与4。的延长线交于点尸.

⑴求证：四边形4CEF是菱形;

（2）连结/IE,若tag4cB=左则ta%4EF的值为________.

8

【变式2-2］（2023秋・上海黄浦•九年级统考期末）如图，平面上七个点A、8、C、D、E、F、G,图中所有

的连线长均相等，则cosNB/3=.

【变式2-3］（2023春・山东荷泽•九年级统考期中）如图，在距48CD中，对角线AC、8。交于点。.点M是BC边

的中点，连接AM、OM,作CFIIAM.已知OC平分心BCF,OB平分4AOM,若6。=3企，则sin46AM的值

为

【题型3锐角三角函数与相似三角形的综合应用】

【例3】（2023春•九年级课时练习）如图，四边形力8C0为矩形，点E为边4B一点，将△ADE沿OE折叠，点

4落在矩形48C。内的点F处，连接8F,且=Z8E"的正弦值为胃，则称的值为（）

N5AD

【变式3-1］（2023•福建•模拟预测）如图,在矩形4BCD中,18=4,40=2,点M、N分别在边AB、AD±.

（不与端点重合），且DMJ.CN于点P.若乙APZ）=135。，则cos乙MNP=.

【变式3-2］（2023春・浙江杭州•九年级专题练习）如图，在中，4c=90。，cosB=；,将△48C绕

顶点C旋转得到夕C',且使得夕恰好落在AB边上，4夕与AC交于点D,则粤的值为（）

A.-B.—C.—D.—

5201020

【变式3-3］（2023•全国•九年级专题练习）如图，在△ABC中，Z/4BC=90°,tanZ«AC=1,人。=2,BD=

4,连接C。，则C。长的最大值是（）

A.2V5+-B.2V5+1C.275+-D.2遥+2

42

【题型4锐角三角函数与圆的综合应用】

【例4】（2023•广东惠州•校考模拟预测）如图，A8是。。的直径，点£为弧AC的中点，AC.BE交于点D,

过A的切线交BE的延长线于F.

⑵若禁=£求tan〃MD的值.

【变式4-1］（2023•湖北武汉•校考三模）如图，43是。。的直径，P4是。。的切线，P3交。0于。，点。是

弧BD」二一点，PC=P4

善用网

(1)求证：PC是o。的切线；

⑵若CDII48,求sin"CD的值.

【变式4-2](2023•浙江杭州•校考三模)如图1,三角形内接于•圆O,点。在圆。上，连接AD和CD,

交AB于点E,LADE+/.CAB=90°

(1)求证：是直径；

(2)如图2,点尸在线段BE上，AC=AF,NOCF=45。

①求证：OE二£M；

②若=用含2的表达式表示cosB.

【变式4-3](2023•广东湛江・统考二模)如图CO是。。直径，A是。。上异于C,。的一点，点B是0C延长

线上一点，连AB、AC.AD,K^BAC=^ADB.

A

(1)求证：直线48是OO的切线；

(2)若8C=2OC,求tan4/OB的值；

(3)在(2)的条件下，作的平分线力P交。。于P,交CO于E,连PC、PD,若4B=2后，求AE-AP的

值.

【题型5解非直角三角形】

【例5】(2023•天津河北•统考二模)如图，在矩形A/JC。中，AD=2,DC=2万，连接AC,点。在AC上，乙DEF=

90。,EC平分乙OEF,/IE=

【变式5-1］（2023春•九年级单元测试）在△/WC中，入〃=2,/\。=3,852人。。=乎,则乙4“。的大小为度.

【变式5-2］（2023春・江苏苏州•九年级苏州市景范中学校校考期末）已知：在△ABC中，AC=a,AB与BC

所在直线成45。角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为:四（即cosC36），则AC边上的中线长

DD

是___________

【变式5-3］（2023・安徽合肥・合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知：在△力BC中，BA=BC,sin4£48=：,

5

点E是4c的中点，〃是直线3c上一点，连接将沿着EF折叠，点。的对应点为£）,连接/4D.

图1图2图3

（1）如图1,若点。在线段A8上，求证：EFWAD；

⑵如图2,。尸与力B交于点M,连接4心若〃MF=4巴4凡求证：点M是48的中点;

（3）如图3,点尸在CB延长线上，DF与AB交于点M,EF交AB千点、N,若DE=EN=3,求Mr・AL4.

【题型6巧设辅助未知数解直角三角形】

【例6】（2023•辽宁沈阳•统考二模）如图，在平行四边形4BCD中，sin/1=募,BC=13,CO=24,点E在边

CD上，将△BCE沿直线BE翻折，点C落在点F处，且4F=BF,则CE的长为

B

【变式6-1]（2023•上海・九年级期末）如图，在ZC=90°,AC=6,BC=8,。是的中点，

点E在边上，将△BOE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点所处，线段9。交边A8于点F,联结

AB',当是直角三角形时，BE的长为.

【变式6-2]（2023春・浙江•九年级期末）如图，四边形/1BCD,CEFG均为菱形，z/1=ZF,连结BE,EG,

EG//BC,EB1BC,若sin乙EGO=j菱形48co的周长为12,则菱形CEFG的周长为

*5

【变式6-3]（2023秋・福建泉州•九年级校考期中）如图，回力BCD中，对角线力。与8。相交于点0,乙480=Z/1CF,

G是线段。。上一点，且NOGC-4CG=90。，①当月Cl8。时，詈的值为，②当tan乙CDB=立时，—

GD4GD

的值为.

【题型7构造直角三角形进行线段或角的计算】

【例7】（2023・江苏无锡•校联考一模）如图，已知四边形A8CD为矩形,48=4,BC=8,点E在BC上且CE=AEt

则CE=；若点尸为平面内一点，R^AFC=90°,连接EG当tan4CEF=2时，EF的值为

【变式7-1X2023•黑龙江哈尔滨•统考一模)如图，在四边形A8C。口MD=BC,(ADC=tan乙4DC=；,

延长/B、DC交于点P,若CD=立P8=3CD,则线段4D的长为____.

4

【变式7-2](2023春・江苏常州•九年级校考期末)如图，在△ABC中，力8=AC=10,点。、£分别是边AB、

边BC上的点，连接CD,乙CDE=^B,尸是。E延长线上一点，连接/C,LFCE=^ACD.

(1)判断△COF的形状，并说明理由；

⑵若40=4,求裂的值；

L/C

(3)若sin8=m,BD=BE.

5

①求案的值；

②求FC的长.

【变式7-3](2023春・安徽・九年级专题练习)如图1,A/IBC的内角NABC和外角的平分线相交于点。,

AE平分心BAC并交BD于点E.

BPB

图1图2

(1)求证：乙BAC=2乙D；

ODC

(2)若=且cosz8/lC=S求吧，

5DE

(3)如图2,过点。作DFIBC,垂足为尸黑=3,其中器=%连接40、EC,求筮

【题型8解直角三角形与圆的综合应用】

【例8】(2023•黑龙江绥化•校考三噗)如图，在Rta/BC中，4c=90。，力。平分NB4c交BC于点。，。为48上

一点，经过点力，D的圆。分别交/氏4C于点E,F,连接E凡

(1)求证：BC是圆。的切线：

(2)求证：AD2=AFABi

(3)若8E=16,sinB=卷,求AD的长.

【变式8-1】(2023・湖北武汉・校联考模拟预测)点。在以48为直径的。。上，分别以A8,为边作平行四

■"BCD.

(1)(2)

(1)如图(1),若NC=45。，求证：CD与。。相切；

(2)如图(2),CD与。。交于点E,若cos4=j,求差的值.

5CE

【变式8-2](2023•广东深圳•统考模拟预测)如图，已知4B为。。的直径，C为。。上的一点，连接力C、BC,D

为BC延长线上一点，连接/1D,乙DAC=LB.

(I)求证：｛。为。。的切线；

(2)若石为弧48的中点，连接4E、CE,tan^AEC=\,CE=10,求。。的半径.

«5

【变式8-3](2023•湖南长沙•校考一模)如图1,在Rtz\4BC中，/.ABC=90°,是。。的直径，。0交4c于

点D,过点。的直线交BC于点E,交48的延长线于点P,PD是。。的切线.

图1图2

(1)求证：BE=CEx

(2)若8P=3,乙P=^PDB,求图中阴影部分的周长;

(3)如图2,AM=BM,连接。M,交48于点N,若tan/DMB=；,求MN:MD的值.

【题型9构造直角三角形解决实际问题】

【例9】(2023•浙江温州•校联考二模)长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更

是历史悠久.图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面/上的抽象示意图，已知壶身力B=AO=8C=120cm,

CD=40cm,壶嘴EF=150cm,RCD\\ABfEF\\BC,DE=3AE,贝"sin4FED=,如图2,若长嘴壶中装

有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，FD||/,则此时出水口?到桌面的距离为cm.

【变式9-1](2023春・浙江•九年级专题练习)火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害

之一，消防车是消防救援的主要装备.图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点。，B,。在同一

直线上，。。可绕着点。旋转，力B为云梯的液压杆，点0,A,C在同一水平线上，其中可伸缩，套管。3的

长度不变，在某种工作状态下测得液压杆力8=3m,LBAC=53°,4DOC=37。.

D

B

图1图2

⑴求8。的长.

⑵消防人员在云梯末端点。高空作业时，将80伸长到最大长度6m,云梯。。绕着点。顺时针旋转一定的角度,

消防人员发现铅直高度升高了3m,求云梯。。旋转了多少度参考数据:SE37。"tan37^*.53。。%

4

tan53°«sin64°«0.90,cos64°«0.44）

3

【变式9-2］（2023•浙江温州・统考二模）如图1是•款便携式拉杆车，其侧面示意图如图2所示，前轮。。的

直径为12cm,拖盘与后轮。。相切于点N,手柄。/_L02.侧面为矩形A4CO的货物置于拖盘上，AD=

20cm,BC=52cm.如图3所示，倾斜一定角度拉车时，货物绕点8旋转，点C落在0/上，若tan〃8E=占

则0C的长为cm,同一时刻，点。离地面高度/i=56cm,则点4离地面高度为cm.

【变式9-3］（2023•江西九江•统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打

孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄。4=5cm,BE是底座，。力与BE所成的夹角为36.8。，

。点是把柄转轴所在的位咒，且。点到底座BE的距离。。=2cm.。。与一根套管相连，00可绕。点转动，此

时，O0IBE,套管内含打孔针MN,打孔针的顶端M触及到但与。力不相连，MN始终与8E垂直，且。M=

1cm,MN=2cm.

'A/A

(1)汀孔针MN的针尖N离底座BE的距离是多少厘米？

(2)压下把柄。4直到4点与8点重合，如图3,此时，M.。两点重合，把柄。4将压下打孔针例N并将它锲

入放在底座8E上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针MN锲入底座BE有多少厘米？

(参考数据:sin36.8°«cos36.8°«tan36.8°«-)

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专题28.6锐角三角函数章末九大题型总结（拔尖篇）

【人教版】

，题型梳理

【题型1构建直角三角形求锐角三角函数值】......................................................1

【题型2用等角转换法求锐角三角函数值】........................................................2

【题型3锐角三角函数与相似三角形的综合应用】..................................................3

【题型4锐角三角函数与圆的综合应用】..........................................................4

【题型5解非直角三角形】.......................................................................5

【题型6巧设辅助未知数解直角三角形】..........................................................6

【题型7构造直角三角形进行线段或角的计算】....................................................7

【题型8解直角三角形与圆的综合应用】..........................................................9

【题型9构造直角三角形解决实际问题】...........................................................10

，举一反三

【题型1构建直角三角形求锐角三角函数值】

【例1】（2023春・安徽・九年级专题练习）如图，在四边形'BCD中，=60°,zC=90°,E为边BC上的点,

△4DE为等边三角形，BE=8,CE=2,则tan/AEB的值为（）

A.挈B.竽C.甲D.”

【答案】C

【分析】作EF1于点F,A//1BE于点H,解直角△8EF,得出8尸=：8E=4,证明/三得

出＜"=EC=2,再求出力〃=3力，HE=5,然后利用正切函数定义即可求解.

【详解】如图，作EF148于点凡AH1BE于点H,

.:乙B=60°,BE=8,

.•.ZBEF=900-ZF=30°,

：,BF=-BE=4.

2

•・NADE为等边三角形，

：.AAED=60°,AE=DE,

*：LBAE+48+Z.AEB=180°,乙DEC+Z-AED+/.AEB=180°,

：,LBAE=乙DEC,

在ZMEF与AEOC中，

(Z.EAF=乙DEC

LAFE=Z-C,

(AE=ED

"AEF三△W(AAS),

：.AF=EC=2,

：,AB=AF+BF=2+4=6,

=90°,匕BAH=90°一乙B=30°,

：.BH==3,AH=WBH=3百，

：.HE=BE-BH=8-3=5,

•4zACUAH36

故选：C.

【点睛】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30。角的直角三角形

的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键.

【变式1-1](2023春•湖北襄阳•九年级统考期中)如图,在△48。中，乙4=90。,若BE=mAC,CD=mAB,

连接8C、DE交于点F,则cos4BFE的值为.

【分析】过C作CG1BC,过。作。GJLHZ),如图所示，先证明△A8CDCG,得到8E=ma=DG,从而

判定四边形O«DG是平行四边形，进而ZT0II3G,得至1此。/咕=々C3G,在RtA/WC中，DC=Va?+d2；在

RtACDG中，GC=mVa2+d2；在RtaBCG中，BG=>JBC2+CG2=V（1+m2）（a2+d2）,即可得到

>Ja2+b2_Vzn2+1

cosZ-BFE=cosZ-CBG=—=

BGV（l+ni2）（a2+b2）m2+l

【详解】解：过C作CG1BC,过。作DGJ_4),如图所示:

DGIIAB,/.BCG=90%Z-CDG=90°,

vLA=90°,

.•・4ABC+Z.ACB=90%

•••/BCG=90°,

Z.ACB+Z.DCG=90°,

•••Z.ABC=（DCG,

:心ABCs&DCG,

A3AC

DCDG

vBE=mAC,CD=mABt

设/IC==b,=ma,CD=mb,则上~=上，解得OG=ma,

mbDG

•••BE=ma=DG,

•••BEIIDG,

•••四边形8EDG是平行四边形，

•••ED||BG,

:.LBFE=乙CBG,

在。中，Z.A=90°,AC=a,AB=b,则BC=加+扭,

22

在Rt△COG中，Z-CDG=90°,BE=ma,CD=mbt则GC=mVa+b,

在Rt△BCG中，4BCG=90。，则8G=y/BC2+CG2=J（1+加）（。2+广）cos乙BFE=cos^CBG=案

强2+匕2_Vm^+1

V（14-m2）（a2+b2）m2+l'

故答案为：芸三.

【点睛】本题考查求三角函数值，涉及相似三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及余弦

函数定义，准确构造辅助线，熟练运用相似三角形判定与性质是解决问题的关键.

【变式1-2]（2023・四川成都♦统考中考真题）如图，在RtZkABC中,Z.ABC=90°,CD平分乙4c8交43于点D,

过。作OEI归C交4c于点£,将△DEC沿OE折叠得到DF交4c于点G.若氏=（则tanA=.

【答案】于

【分析】过点G作GM1于M,证明△/）随〜△CG。，得出DG2=GEXGC,根据AD||GM,得黑号=器

设GE=3,/G=7,EM=3n,则DM=7n,则EC=DE=lOn,在Rt^DGM中，GM2=DG2-DM2,在

RtAGME中，GM?=GE2一EM?,则DG?-DM?=GE2一EM?,解方程求得n=三，则EM=?,GE=3,

44

勾股定理求得GM,根据正切的定义，即可求解.

【详解】解：如图所示，过点G作GMJ.OE于M,

〈CD平分44c8交A8于点。，DEWC

Azi=Z2,Z2=z3

"1=Z3

：,ED=EC

•・•折叠,

Az3=z4,

Azi=Z4,

又•：乙DGE=cCGD

•e•ADGEs匕CGD

•DGGE

••而=而

：,DG2=GExGC

•・・//18C=90。，DEWBC,则AD_LDE,

：.AD\\GM

:嗜=黑,/_MGE=Z-A,

GEME

..AG7DM

•一=-=---

GE3ME

设GE=3,4G=7,EM=3n,则DM=7"，则EC=OE=10m

'：DG2=GExGC

：.DG2=3x(3+lOn)=9+30n

在RtAOGM中，GM2=DG2-DM2

在Rt△GME中，GM2=GE2-EM2

：,DG2-DM2=GE2-EM2

即9+30n-(7n)2=32-(3n)2

解得：n=^

4

：.EM=-,GE=3

4

贝IJGM=ylGE2-ME2=J32-=乎

tan/l=tanzEGM=空=告=—

MG3V77

4

故答案为：子.

【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟

练掌握以上知识是解题的美键.

【变式1-3](2023春•江苏常州•九年级校考期末)如图，在△力8c中，AB=AC=5,BC=4,AD是BC边

上的高,将△48C绕点C旋转到aEFC(点E、F分别与点A、8对应)，点〃落在线段40上，连接4E,则

COSZ.EAF=.

A

E

D

［答案］乌萨

【分析】过点E作EG1力。于点G,结合旋转的性质可求8SN/CD=是=：,进而可证A/ICE是等边三角形,

可求出力。=或1-2百，即可求解.

【详解】解：如图，过点£作EG于点G,

•••将△/18C绕点C旋转，点4落在线段/10上的点尸处，

CF=BC=4,CE=EF=AB=5,乙ACB=乙ECF,AC=EC,

:.Z.FCD+Z.ACF=Z.ACE+Z.ACF,

•••Z.FCD=Z.ACE；

vAB=AC,力。是8C边上的高，

CD=^BC=2,

2

•••cosZ-FCD=7C7F=~4=2

:.Z.FCD=60°,

:.DF=CF・sinzFCD=4Xy=2痘,

:.Z.ACE=Z.FCD=60°,

AC=EC,

••.△ACE是等边三角形，

AE=EF=5,

.•.在RtZk/lCD中

AD=>JAC2—CD2=V52-22=V2T»

•••AF=AD-DF=VH-2V3,

v/IF=EF,EGLAD,

•••AG=-1AAFL=-V-2-1--2-V-3,

22

r—L

，〜口AGVII273

:，COSZ.EAF=—=———Zi—-=-V-n-2->-/-3.

AE510

故答案为：注了.

【点睛】本题考杳了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形“三线合一”，等边三角形的判定及性质，特殊角的

三角函数等，掌握相关性质及定理，构建直角三角形是解题的关键.

【题型2用等角转换法求锐角三角函数值】

【例2】（2023秋•江苏常州•九年级统考期木）已知点产在△A3C内，连接PA、PB、PC,在△PHB、△PBC.

△PAC中，如果存在一个三角形与AABC相似，那么就称点尸为A4BC的自相似点，如图，在直角△4BC中,

Z.ACB=90°,AC=12,BC=5,如果点P为直角△ABC的自相似点，那么tanzACP=.

【答案吗

【分析】先找到Rt△48c的内相似点，再根据三角函数的定义计算tan乙4cp即可.

【详解】解：*：^ACB=90°,AC=12,BC=5,

：.LCAB<Z.CBA,

故可在2CB4内作NCBP=NC48,

又1•点P为公ABC的自相似点,

・•・过点C作C尸,尸儿并延长CP交48于点Q,

A

则ABPC〜AACB,

・••点P为△力BC的自相似点,

：.Z.BCP=Z.CBA,

：.LACP=Z.BAC,

scq

，tan乙4cp=tanz.BAC=——=—,

故答案为:*

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键.

【变式2-11（2023春・吉林长春•九年级校考期中）如图，在矩形ABC。中，连结4C,延长BC到点E,使CE=AC,

过点E作力C的平行线与40的延长线交于点儿

（1）求证：四边形ACEF是菱形；

（2）连结若tan乙4cB=/，则tan44EF的值为________

8

【答案】（1）见解析

【分析】（1）根据进行的性质得出4FIICE,进而得出四边形ACEF是平行四边形.根据邻边相等的平行四

边形是菱形，即可得证；

（2）根据tan乙/1CB=受，在RtaHCB中，设48=15k,则BC=8k,根据菱形的性质得出4C=EC=17k,

8

^AEF=^AEB,进而根据正切的定义，即可求解.

【详解】（1）证明；•.•在矩形/13CD中，ADWBC,HP/1F||CE,

又，;EF||AC,

.•.四边形力CEF是平行四边形.

又•••CE=AC,

四边形4CE『是菱形.

(2)解：如图所示，

连接交与点。，

•・•四边形4C"是菱形,

/.ZE1FC

•••tanUCB=竺，

8

在RtA/lCB中，设48=15”,贝UBC=8k,

则=>JAB2+BC2=17k,

•・•四边形/CE尸是菱形，

：,AC=EC=17k,Z.AEF=44E8,

Atanz/IEF=tanZ.AEB=—=上二=

BE17k+8k5

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，求正切，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.

【变式2-2](2023秋•上海黄浦•九年级统考期末)如图，平面上七个点A、B、C、。、E、F、G,图中所有

的连线长均相等，则cos/BAF=.

'D

【答案】I

【分析】连接AC、AQ,过点。作Z）M_LAC垂足为过点A作AN_LCO于点N.由各边都相等，得△A8G、

△4E产、△C8G和△OE/都是等边三角形，四边形A8CG、四边形AEQ尸是菱形，若设A8的长为x,根据

等边三角形、菱形的性质，计算出的长岳，N8AC=NE4D=30。，可证明/A4产=/C4D；易得

△CMQS/XCNA,从而示求得CM的长，进而求得AM的长，在直角△AMD中，由余弦的定义即可求出

cos/CAI）从而求得结果.

【详解】解：连接AC、AD,过点。作QM_LAC,垂足为M,过点A作AMLCY）于点N,如图.

设AE的长为x,则AB=AG=BG=CG=CB=AF=AE=EF=x

:.区ABG、△AEF.△CBG。石尸都是等边三角形

四边形人ACG、四边形4巨。尸是菱形

・・・NZMC=NE4O=30°

：.AC=AD=2xcosZBAO<AB=2>>YX=y/3x

•・•ZCAD=/BAE-NBAC-/EAD=ZBAE-600,ZBAF=ZBAE-ZEAF=NBAE-60°

：,^BAF=ZCAD

•・・OM_LAC,ANLCD,/CAN=NCDM

:.'CMDSRCNA

,CMCD

••加=就

*：AC=AD,AN±CD

：,CN=-CD=-x

22

/.CM=CD^N=xx4-(V3x)=­x

4C26

：.AM=AC-CM=V3x--x=—x

66

在AMD中，cosZCAD=—=-

AD6

：,cosZBAF=-.

6

故答案为J.

6

【点睛】本题考查了等边二角形的性质和判定、菱形的性质和判定、相似三角形的判定与性质、锐角二角函

数.把求N84E的余弦转化为求NCAQ的余弦是解决本题的关键.

【变式2-3](2()23春・山东荷泽•九年级统考期中)如图，在即48CD中，对角线力。、BD交于点0.点、M是BC边

的中点，连接AM、OM,W-CFIIAM.已知0C平分4BC",0B平分NAOM,若BD=3四,则sinzB/M的值

为___

BMC

【答案】管

【分析】过点E作EH_L48于〃，由角平分线的定义和平行线的性质证明=再由等腰三角形的性质

证明N40M=90。，由题意证明OM为△48C的中位线，得到。M||A8,OM=^AB,则有4840=90。，进

而推出=AO=^-OB=-,利用勾股定理得至1MM=y/OM2+0A2=—,证明△力BEMOE,得到变=

224ME

与=器=2,求出AE=0M=三,8E=；0B=VL再推出BH=EH=^BE=1,得到=利用

OMOE32322

s\nLBAM=siniHAE则问题可解.

【详解】解：如图所示，过点E作EA14B于，，

AD

TOC平分48",

:・M)CF=乙OCB,

VCFIIAM,

=匕4CF,

：.LMAC=Z.MCA,

；・MA=MC,

•・•四边形ABC。是平行四边形，对角线AC、BD交于点、0,

JOB=",。4=0C

22

：.0M1AC,即Z4OM=90。，

:08平分NAUM,

：.AAOB=45°,

•・”为此的中点，

，0M为△A3c的中位线，

：.0M||AB,OM=-AB.

2

：.LBA0=180°-乙力OM=90°,

：.LABO=45°=NAOB,

：,AB=AO=—OB=-,

22

13

：.OM=〃B=。

24

：.AM=70M2+。。2=鸣

4

*：OM||AB.

:.LABEMOE,

.AEABBE\

••薪"OM-OF-'

：.AE='^AM=—,BE=1OB=VL

323

♦：EH1AB,

:.乙BEH=45°=(EBH,

：.BH=EH=—BE=1,

2

：,AH=1,

sinz.BAM=sinz.HAE=—=—,

AE5

故答案为：学

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线

定理，相似三角形的性质与判定等等，利用相似三角的性质构造比例式，得到线段之间数量关系是解题的

关键.

【题型3锐角三角函数与相似三角形的综合应用】

【例3】（2023春•九年级课时练习）如图，四边形力BCD为矩形，点E为边AB一点，将A/IDE沿DE折叠，点

/落在矩形内的点F处，连接8F,且=的正弦值为总，则空的值为（）

【答案】A

【分析】过点/作FP上AB于点P,根据折叠的性质及BE=EF,可得NAED=NEBF,从而可得^ADE^APFB,

由，8EF的正弦值为彳,设EF=25a,则PF=24小由勾股定理求得PE=7a,从而可得BP,则由相似可得若=黑,

25ADPF

再由折叠的性质可得点七是A3的中点，从而可求得结果.

【详解】如图，过点/作FPJ_A8于点P

由折叠的性质可得：AE=EF,ZAED=ZFED

,：BE=EF

：.BE=AE=EF,ZEFB=ZEBF

V^BEF+2ZAED=ZBEF+2ZEBF=\S0°

：.NAED=/EBF

•・•四边形ABC。为矩形，PFLAB

：.ZA=ZFPZ?=90°

.•・'ADEs4PFB

.AEBP

♦•布=而

•・•在RtzxPEF中，sin48EF=U=芸

，设EF=25m则PF=24a

由勾股定理求得PE=VFF2-PF2=7a

：・BP=BE—PE=18a

.,.—AE=—BP=18a=-3

ADPF24a4

•,•AB2AE-一3

ADAD2

•AD2

••

AB3

故选:A.

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰

三角形的性质等知识，关键是由正弦值出发设石尸与尸尸的长，难点是证明反

【变式3-1]（2023•福建•模拟预测）如图,在矩形48CD中,18=4,AD=2,点M、N分别在边48、4。上

（不与端点重合），且。MlCN于点尸.若乙1PO=135。，则cos乙MNP=.

【答案】

【分析】根据题意得出4N,P,M四点共圆，结合题意得出是等腰直角三角形，设力M=4N=a,证明

△4.MD〜△DNC得出。=会勾股定理得出MN,DM,证明△DPN口4M得出NP,进而根据余弦的定义即

可求解.

【详解】解：•・•四边形4BC0是矩形，DM1CN

：.AMAN=乙MPN=90°,

,・",N,P,M四点共圆,

'：LAPD=135°,

=LAPM=180°-£APD=45°,

・・・A/1NM是等腰直角三角形,

设/IM=AN=a,

*：LADM=90-乙DNP=乙DCN,Z.MAD=乙NDC=90°,

AAAMD〜△ONC

AMAD

"~DN=~DC

・a2

..—=-

2-a4

解得：a=p

：.AM=AN=-,ND=-,则MN=®4M=2a.

333

DM=yjAM24-AD2-J(|)~+22=

又•：乙DPN=Z.DAM=90。，4ADM=乙PDN

:MDPN-LDAM

,NPND

.•—=—

AMDM

，9=^£=尹=出

DM|-/1015

2尺

・・・cos乙MNP=^=蓬=*

3

故答案为：坐.

【点睛】本题考查了90。角所对的弦是直径，相似三角形的性质与判定，求余弦，证明△4M0~a0NC,△

DPNDAM是解题的关键.

【变式3-2］（2023春・浙江杭州•九年级专题练习）如图，在Rt/kABC中，LC=90°,cosB=k将△力8c绕

顶点C旋转得到△48'C',且使得夕恰好落在AB边上，4夕与AC交于点D,则粤的值为（）

【答案】B

【分析】如图（见解析），设BC=3a（a>0）,先根据余弦三角函数得出BE的长，再根据等腰三角形的三

线合一可得B夕的长，从而可得力『的长，然后根据旋转的性质可得AC=4a,乙4二乙4',最后根据相似三

角形的判定与性质可得粤=祟，由此即可得出答案.

CL）C

【详解】如图，过点C作CE于点E

•••在RtAABC中，“=90。，cosB=;

A155

•••可设8C=3a（Q>0）,则48=5a,AC=yjAB2-BC2=4a

••・△8。夕是等腰三角形

二BB'=2BE（等腰三角形的三线合一）

由旋转的性质可知，B'C=BC=3a,4C=4C=4a,乙4=

在中，cosB=些，即些=三

BC3a5

解得BE=

,18a

•••BB'=2BE=—

KJ

,,18a7a

AB'=AB-BB'=5a--=—

JJ

在△力8'。和△4G）中，｛乙4="

Z-ADB'=乙A'DC

:心AB'D〜AA'CD

,7a

Bt'D_4〃_3_—7

"*75-==4a=20

故选:B.

【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，

通过作辅助线，运用余弦三角函数求出BE的长是解题关键.

【变式3-3］（2023•全国•九年级专题练习）如图，在△"＜：中，乙48c=90。，tan/MC=jAD=2,BD=

4,连接CD,则CD长的最大值是（）

A.2V54--B.2V5+1C.2遥+；D.2V5+2

42

【答案】B

【分析】过点A作ND4P=NZMC,过点。作AQ_L。。交AP于点P,分别求出P。，PC,在△PQC中，利用

三角形的三边关系即可求出CO长的最大值.

【详解】解：如图，过点A作ND4六N8AC,过点。作AQ_LOP交AP于点P,

♦：Z4BC=90°,tan484c=

2

.*.tanzD/lP=tanzF/lC=

2

.DP1

•・一=->

AD2

VXD=2,

:.DP=\,

••ND4P=/B4C,ZADP=ZABC,

：.2d)Ps，ABC,

,AP_AD

**AC~AB

VZDAB=ZDAP+ZR\B,ZR\C=Zl^B+Z13AC,ZDAP=ZBAC,

AADAB=ZPAC,—ACAB,

J\ADBsXAPC,

•.•-AD-=-D-B-,

APPC

a：AP=\AD2+D