高三数学《专题十一空间向量及其应用》

高三数学《专题十一空间向量及其应用》一、引言在高三数学的学习中，空间向量及其应用是一个至关重要的专题。它为我们研究空间几何问题提供了一种全新且强大的工具，将原本抽象的空间几何关系转化为可以进行代数运算的向量关系，大大降低了问题的难度，拓宽了解题的思路。本专题在高考中占据着重要的地位，不仅在选择题、填空题中会出现，而且在解答题中也经常作为重点考查内容，因此深入理解和掌握空间向量及其应用具有十分重要的意义。二、空间向量的基本概念（一）空间向量的定义空间向量是平面向量的推广，既有大小又有方向的量叫做向量。在空间中，我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。例如，在一个长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(\overrightarrow{AB}\)就是一个空间向量，它的大小就是线段\(AB\)的长度，方向是从\(A\)指向\(B\)。（二）空间向量的运算1.加法与减法空间向量的加法和减法遵循三角形法则或平行四边形法则。对于两个空间向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)可以通过将\(\overrightarrow{b}\)的起点平移到\(\overrightarrow{a}\)的终点，然后从\(\overrightarrow{a}\)的起点指向\(\overrightarrow{b}\)的终点得到；\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\)，即加上\(\overrightarrow{b}\)的相反向量。例如，在空间直角坐标系中，已知\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})\)，\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2})\)。2.数乘运算实数\(\lambda\)与空间向量\(\overrightarrow{a}\)的乘积\(\lambda\overrightarrow{a}\)仍然是一个向量，其大小为\(|\lambda|\cdot|\overrightarrow{a}|\)，当\(\lambda>0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相同；当\(\lambda<0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)方向相反；当\(\lambda=0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)。若\(\overrightarrow{a}=(x,y,z)\)，则\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax,\lambday,\lambdaz)\)。3.数量积运算空间向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的数量积定义为\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle\)，其中\(\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle\)表示\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角。在空间直角坐标系中，若\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}\)。数量积具有重要的性质，如\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，\(\overrightarrow{a}^{2}=|\overrightarrow{a}|^{2}\)等。（三）空间向量的坐标表示在空间直角坐标系\(O-xyz\)中，对于空间任意一点\(P(x,y,z)\)，可以用向量\(\overrightarrow{OP}=(x,y,z)\)来表示。通过建立空间直角坐标系，我们可以将空间向量的运算转化为坐标运算，从而更加方便地进行计算和分析。三、空间向量在证明平行与垂直问题中的应用（一）证明线线平行设直线\(l_{1}\)和\(l_{2}\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{v_{1}}\)和\(\overrightarrow{v_{2}}\)，若存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{v_{1}}=\lambda\overrightarrow{v_{2}}\)，则\(l_{1}\parallell_{2}\)。例如，在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，要证明\(AB_{1}\parallelDC_{1}\)，我们可以建立空间直角坐标系，求出\(\overrightarrow{AB_{1}}\)和\(\overrightarrow{DC_{1}}\)的坐标，然后验证是否存在实数\(\lambda\)使得\(\overrightarrow{AB_{1}}=\lambda\overrightarrow{DC_{1}}\)。（二）证明线面平行方法一：设直线\(l\)的方向向量为\(\overrightarrow{v}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\overrightarrow{n}\)，若\(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=0\)，且\(l\not\subset\alpha\)，则\(l\parallel\alpha\)。方法二：在平面\(\alpha\)内找到两个不共线的向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，若存在实数\(x\)，\(y\)使得\(\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}\)，则\(l\parallel\alpha\)。（三）证明面面平行设平面\(\alpha\)和\(\beta\)的法向量分别为\(\overrightarrow{n_{1}}\)和\(\overrightarrow{n_{2}}\)，若存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{n_{1}}=\lambda\overrightarrow{n_{2}}\)，则\(\alpha\parallel\beta\)。（四）证明线线垂直设直线\(l_{1}\)和\(l_{2}\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{v_{1}}\)和\(\overrightarrow{v_{2}}\)，若\(\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}=0\)，则\(l_{1}\perpl_{2}\)。（五）证明线面垂直方法一：设直线\(l\)的方向向量为\(\overrightarrow{v}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\overrightarrow{n}\)，若存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{v}=\lambda\overrightarrow{n}\)，则\(l\perp\alpha\)。方法二：设平面\(\alpha\)内两个不共线的向量为\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，若\(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}=0\)且\(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(l\perp\alpha\)。（六）证明面面垂直设平面\(\alpha\)和\(\beta\)的法向量分别为\(\overrightarrow{n_{1}}\)和\(\overrightarrow{n_{2}}\)，若\(\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}=0\)，则\(\alpha\perp\beta\)。四、空间向量在求空间角中的应用（一）求异面直线所成的角设异面直线\(l_{1}\)和\(l_{2}\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{v_{1}}\)和\(\overrightarrow{v_{2}}\)，异面直线\(l_{1}\)与\(l_{2}\)所成的角为\(\theta\)，则\(\cos\theta=|\cos\langle\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}|}{|\overrightarrow{v_{1}}|\cdot|\overrightarrow{v_{2}}|}\)，注意异面直线所成角的范围是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。（二）求直线与平面所成的角设直线\(l\)的方向向量为\(\overrightarrow{v}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\overrightarrow{n}\)，直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成的角为\(\theta\)，则\(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{v},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{v}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\)，直线与平面所成角的范围是\([0,\frac{\pi}{2}]\)。（三）求二面角方法一：设平面\(\alpha\)和\(\beta\)的法向量分别为\(\overrightarrow{n_{1}}\)和\(\overrightarrow{n_{2}}\)，二面角\(\alpha-l-\beta\)的大小为\(\theta\)，则\(\cos\theta=\pm\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}|\cdot|\overrightarrow{n_{2}}|}\)，需要根据二面角的实际情况判断正负。方法二：在二面角的棱上取一点\(O\)，分别在两个半平面内作垂直于棱的向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，则二面角的大小等于\(\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle\)或\(\pi-\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle\)。五、空间向量在求空间距离中的应用（一）求点到平面的距离设点\(P\)是平面\(\alpha\)外一点，点\(A\)是平面\(\alpha\)内一点，平面\(\alpha\)的法向量为\(\overrightarrow{n}\)，则点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离\(d=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}\)。（二）求线面距离当直线\(l\parallel\alpha\)时，直线\(l\)上任意一点到平面\(\alpha\)的距离就是线面距离，可转化为求点到平面的距离。（三）求面面距离当平面\(\alpha\parallel\beta\)时，平面\(\alpha\)上任意一点到平面\(\beta\)的距离就是面面距离，同样可转化为求点到平面的距离。六、典型例题分析（一）平行与垂直证明问题例：如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(PA=AB=2\)，\(E\)为\(PD\)的中点。证明：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)。解：以\(A\)为原点，分别以\(AB\)，\(AD\)，\(AP\)所在直线为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴建立空间直角坐标系。则\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(2,2,0)\)，\(D(0,2,0)\)，\(P(0,0,2)\)，\(E(0,1,1)\)。\(\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(2,2,0)\)，\(\overrightarrow{AE}=(0,1,1)\)。设平面\(AEC\)的法向量为\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，则\(\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=2x+2y=0\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AE}=y+z=0\end{cases}\)，取\(y=1\)，则\(x=-1\)，\(z=-1\)，所以\(\overrightarrow{n}=(-1,1,-1)\)。因为\(\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{n}=2\times(-1)+0\times1+(-2)\times(-1)=0\)，且\(PB\not\subset\)平面\(AEC\)，所以\(PB\parallel\)平面\(AEC\)。（二）空间角的计算问题例：在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，求异面直线\(A_{1}B\)与\(B_{1}C\)所成角的大小。解：以\(D\)为原点，分别以\(DA\)，\(DC\)，\(DD_{1}\)所在直线为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为\(1\)。则\(A_{1}(1,0,1)\)，\(B(1,1,0)\)，\(B_{1}(1,1,1)\)，\(C(0,1,0)\)。\(\overrightarrow{A_{1}B}=(0,1,-1)\)，\(\overrightarrow{B_{1}C}=(-1,0,-1)\)。\(\cos\langle\overrightarrow{A_{1}B},\overrightarrow{B_{1}C}\rangle=\frac{\overrightarrow{A_{1}B}\cdot\overrightarrow{B_{1}C}}{|\overrightarrow{A_{1}B}|\cdot|\overrightarrow{B_{1}C}|}=\frac{0\times(-1)+1\times0+(-1)\times(-1)}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}\times\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{2}\)。因为异面直线所成角的范围是\((0,\frac{\pi}{2}]\)，所以异面直线\(A_{1}B\)与\(B_{1}C\)所成角为\(60^{\circ}\)。（三）空间距离计算问题例：在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(PA=2\)，\(AB=3\)，\(AC=4\)，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，求点\(A\)到平面\(PBC\)的距离。解：以\(A\)为原点，分别以\(AB\)，\(AC\)，\(AP\)所在直线为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴建立空间直角坐标系。则\(A(0,0,0)\)，\(B(3,0,0)\)，\(C(0,4,0)\)，\(P(0,0,2)\)。\(\overr