山东省烟台市牟平第一中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页山东省烟台市牟平第一中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．2．已知直线和直线平行，则实数的值为（

）A． B． C． D．或3．为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（

）A． B． C． D．4．已知点，若向量，则点的坐标是（

）A． B． C． D．5．若，，则等于（

）A． B． C．5 D．76．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B． C． D．7．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．8．若点，到直线的距离相等，则（

）A．4 B． C．4或 D．或二、多选题9．下列命题正确的有（

）A．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底C．已知向量，若，则为钝角D．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为10．设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（

）A．直线与圆C可能相离B．直线不可能将圆C的周长平分C．当时，直线被圆C截得的弦长为D．直线被圆C截得的最短弦长为11．空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（

）A．平面的一个法向量为B．若且，则C．点到直线的距离为D．四点共面三、填空题12．直线的倾斜角为.13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则.14．已知向量在向量上的投影向量是，且，则．四、解答题15．已知，根据下列条件，分别求与的数量积.(1)；(2)；(3)与的夹角为16．如图，正方体的棱长为1，分别为的中点．(1)求证：;(2)求与所成角的余弦值17．如图，在三棱锥中，两两垂直，.(1)求点到直线的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．如图，在长方体中，.

(1)求证：平面平面.（使用向量方法）(2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.19．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动.(1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程.《山东省烟台市牟平第一中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题》参考答案题号12345678910答案ABCAAAACBDBD题号11答案AD1．A【分析】根据关于面对称的点的特征求解即可.【详解】点关于面对称的点的坐标为.故选：A.2．B【分析】根据直线一般方程的平行关系列式求解即可.【详解】因为直线和直线平行，所以，解得，当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去.故选：B3．C【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线，若、、、四点共面，则，因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，所以，，解得.故选：C.4．A【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果.【详解】设，因为，且，则，所以，即.故选：A5．A【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可．【详解】，，则，，，，故选：A6．A【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径.【详解】，即，故该圆的圆心坐标为，半径为．故选：A．7．A【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程.【详解】根据已知条件，：，化为：，：，化为：，因为两圆相交，所以两圆方程相减得：，所以直线的方程为：.故选：A8．C【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解.【详解】若，在直线的同侧，则，解得；若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得．故选：C9．BD【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正误；当时，可得，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量，可得斜率k，代入点斜式方程，可判断D的正误，即可得答案.【详解】选项A：直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，故A错误；选项B：若为空间的一个基底，则不共面，假设共面，则，此时共面，与已知条件矛盾，故假设不成立，即不共面，则可构成空间的另一个基底，故B正确；选项C：当时，，此时，即，夹角为，不符合题意，故C错误；选项D：因为直线的一个方向向量为，所以斜率，又过点，所以的方程为，整理得，故D正确；故选：BD10．BD【分析】对于A，由直线过圆内的定点即可判断；对于B，直线不可能过圆心即原点，由此即可判断；对于CD，由点到直线距离公式、圆的弦长公式验算即可.【详解】因为直线过定点，且点在圆内，所以直线与圆必相交，A错误；若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，但这是不可能的，所以B正确；当时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为，所以直线被截得的弦长为，C错误；因为圆心到直线的距离为，所以直线被截得的弦长为，等号成立当且仅当，即，D正确，故选：BD.11．AD【分析】求出平面的一个法向量可判断A；设，利用求出可判断B；利用点到直线的距离向量求法可判断C；设，求出可判断D.【详解】对于A，，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，故A正确；对于B，，因为，设，若，则，解得，则或，故B错误；对于C，，则点到直线的距离为，故C错误；对于D，设，因为，，则有，，解得，故，则四点共面.故D正确.故选：AD.12．【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角.【详解】由题意得，，即直线的斜率为，所以直线的倾斜角的正切值为，则直线的倾斜角为.故答案为：.13．【分析】由向量的减法可得，，由向量的加法可得，最后根据，求解即可.【详解】解：因为，所以，，因为是正方形，所以，又因为为的中点，所以.故答案为：14．【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入公式计算即可.【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以，故答案为：.15．(1)或(2)(3)【分析】（1）设与的夹角为，分反向与同向分别计算即可得；（2）（3）根据向量数量积的定义式可得.【详解】（1）设与的夹角为.若与同向，则；若与反向，则.（2）若，则与夹角为.（3）与的夹角为.16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据向量的加减法证明即可；（2）根据向量数量积的定义求即可.【详解】（1）证明：令，分别是的中点，，而，所以有，且不过同一点，

所以，即.（2）分别是的中点，，正方体的棱长为1，，，，，，，

设的夹角为，则有，即与所成角的余弦值为.17．(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到直线的距离即可；（2）求出平面的法向量，利用向量法求解即可.【详解】（1）由题意两两垂直，所以以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：，所以，设，所以，所以点到直线的距离为：；（2）设平面的一个法向量为，则，令，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)证明见解析(2)存在，为线段的中点【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可；（2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出.【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，则.设平面的法向量为，则，所以，取，则，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，所以，取，则，所以平面的一个法向量为，因为，即，所以平面平面.（2）设线段上存在点，使得平面，设，由（1）得，平面的一个法向量为，所以，令，解得，所以当为线段的中点时，平面.19．(1)，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.(2).【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解；（2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：由圆，可