浙江省湖州市南太湖双语学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页浙江省湖州市南太湖双语学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合,,则A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．3．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．4．双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．5．若是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C． D．7．将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（

）A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种8．已知，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．如图，平面，为正方形，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．设函数，则（

）A．的图象有对称轴 B．是周期函数C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称11．已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．的最小值为1C．若，则的最小值为8D．若恒成立，则的最小值为三、填空题12．的展开式中的常数项为．13．若非零向量满足，则．14．已知，，且，则的最小值为.四、解答题15．为了研究高中学生平时的数学成绩和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取名学生进行调查统计，数据如下：整理数学错题习惯数学成绩合计优秀非优秀有没有合计(1)依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；(2)在调查统计有整理数学错题集习惯的名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取人组建研讨小组，再从人研讨小组中随机抽取人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列、数学期望及方差．附：，16．在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，，求的面积.17．如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.18．某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题．(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望：(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？19．已知函数，．（1）曲线在处的切线方程；（2）设函数．①若在定义域上恒成立，求a的取值范围；②若函数有两个极值点为，，证明：．《浙江省湖州市南太湖双语学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CCCAABBDABDABD题号11答案AC1．C【解析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合,,故.故选：C【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题.2．C【分析】利用复数的四则运算计算即可.【详解】由得故选：C.3．C【分析】利用正弦型三角函数的周期公式即可求解.【详解】最小正周期为.故选：C.4．A【分析】根据双曲线的渐近线方程的形式进行求解即可.【详解】由，且该双曲线的焦点在纵轴，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A5．A【分析】解不等式可得且，可得结论.【详解】由，可得且，所以是的充分不必要条件.故选：A.6．B【分析】由及函数单调性即可得到答案.【详解】偶函数在上单调递增，且，所以，，解得或故的解集是或.故选：B7．B【分析】首先计算分组方法，再按照分组分配的方法，列式求解.【详解】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式，1，1，1，3的分组包含种情况，1，1，2，2的分组包含种情况，这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法.故选：B8．D【分析】由指数函数及对数函数性质比较．【详解】因为，，，且，所以.故选：D.9．ABD【分析】根据线面垂直判定定理证明平面，由此判断A，证明平面，可判断B，由条件直接证明判断D，证明判断C.【详解】因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，平面，，正确，因为，平面，所以平面，又平面，所以，B正确；平面，平面，，故D正确，，，平面，，平面，平面，，所以为等腰三角形，且，与不垂直，故C不正确．故选：ABD.10．ABD【分析】A选项由偶函数得到轴是其中一条对称轴；B选项用周期的定义找到其中一个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间不是单调递增；D选项由中心对称的定义验证是否成立即可.【详解】∵，∴是偶函数，关于轴对称，故A正确；∵，∴是函数的一个周期，故B正确；，∵，，显然，故在区间上不单调递增，故C错误；，∴的图象关于点中心对称.故选：ABD.11．AC【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可.【详解】对于A，，当且仅当时取等号，即，得到，解得．故A正确；对于B，，当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误；对于C，因为，所以，由基本不等式得，当且仅当时取等，此时解得，则的最小值为8，故C正确，对于D，因为恒成立，且，，所以恒成立，而，令，则可化为，令，则，化简得，而该一元二次方程一定有实数根，得到，解得，当时，，故，故即，得到，则的最小值为，故D错误.故选：AC12．【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项.【详解】展开式通项为：；令，解得：，展开式中的常数项为.故答案为：.13．【分析】根据已知及数量积的运算律得，再由及已知，即可求模长.【详解】由题设，可得，则，由，则.故答案为：14．【解析】先变形：，再根据基本不等式求最值.【详解】当且仅当时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15．(1)能，理由见解析(2)分布列答案见解析，，【分析】（1）零假设数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关，计算出的观测值，结合临界知表可得出结论；（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得、的值.【详解】（1）零假设数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关，由列联表中的数据可得，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联，此推断犯错误的概率不超过.（2）由分层抽样可知，人研讨小组中，成绩非优秀的人数为人，成绩优秀的人数为人，由题意可知，随机变量的可能取值有、、，，，，故随机变量的分布列如下表所示：所以，，.16．（1）（2）【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cosA，结合范围A∈（0，π），可求A．（2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）因为，由正弦定理得.再由余弦定理得，又因为，所以．（2）因为a=3，，代入得,解得.故△ABC的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）在内任取点，作，交于点，作，交于点，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由线线垂直证得线面垂直即得；（2）根据题设条件建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得.【详解】（1）如图1，取为内一点，作，交于点，作，交于点，因为平面平面且平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，同理，因为，且平面，所以平面.（2）因为两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图2所示.依题意.则.设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成的角为，则.因，故，故直线与平面所成角的余弦值为.18．(1)分布列见解析，期望为；(2)小明同学在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大.【分析】（1）根据已知有并求出对应概率，写出分布列，进而求期望；（2）根据（1）及已知，记闯关成功的次数为，则，应用二项分布的概率公式及不等式法求概率最大对应参数值，即可得.【详解】（1）由题意，，小明能答对10道题中的6道题且每答对一道题积1分，所以，，，，所以X的分布列如下，0123所以；（2）参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为，若小明在10轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则，故，若，则，所以，则，可得，即故小明在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大.19．（1）；（2）①；②证明见解析．【分析】（1）先求导函数，计算和，再利用斜率和切点写直线方程即可；（2）①先化简整理即，再构造函数，利用导数求其最大值，即得；②求导函数，先说明讨论时不符合题意，得到，再利用，整理得，利用分析法只需证时，构造函数，利用导数判断单调性证明，即证结论.【详解】解：（1），则，，所以切线斜率为2，切点为（1，1），切线方程为y-1=2（x-1），在