浙江省名校协作体2025-2026学年高二上学期返校联考数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页浙江省名校协作体2025-2026学年高二上学期返校联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，则（

）A．2 B． C． D．3．已知是两个不重合的平面，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．在平面直角坐标系中，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（

）A．11 B． C． D．5．袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个黑球，2个白球，3个黄球，从中不放回地随机摸出2个球，能摸到白球的概率为（

）A． B． C． D．6．在中，分别为角的对边，已知，则（

）A．5 B．8 C． D．7．已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．8．在三棱锥中，是等边三角形，，则与平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，其中，为虚数单位，则（

）A．若，则 B．若，则C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则10．中，已知，则（

）A．B．可以取值为C．取最大时，边上的中线长为D．面积的最大值为311．若四面体各棱长均为1或2，但不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（

）A． B． C． D．三、填空题12．已知函数，则．13．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则四面体的体积为．14．在中，分别为角的对边，且，设的内切圆半径为，圆心为，则．四、解答题15．已知函数．(1)若，求不等式的解集；(2)若对于任意，都有，求实数的取值范围．16．某市为了迎接全国文明城市的复查，文明办随机抽取了位市民进行问卷调查，调查项目是对该市各方面文明情况的满意度，现统计他们的问卷分数，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为24，回答下列问题：(1)求的值，若规定问卷调查的满意度的第60百分位数不大于88分，则通过复查；否则，视为不通过．试判断该调查是否通过复查；(2)在统计该问卷调查中，通过分层随机抽样得到前两组样本的平均数分别为76，82，方差分别为5，2，求这两组数据总的平均数及方差．17．已知函数．(1)将的图象向右平行移动个单位长度后，得到的图象，求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数在时取得最大值为，求非零实数和的值．18．如图，在三棱锥中，且的中点分别为，且．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求二面角的余弦值．19．定义：对于函数，若存在常数，使得函数定义域内的任意都有成立，则称为广义偶函数．其中的对称轴为．特别地，当时，就是偶函数．设为正实数，已知函数．(1)当时，证明函数是广义偶函数，并求其对称轴；(2)若存在正实数使得对任意，都有，求的取值范围；(3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围．《浙江省名校协作体2025-2026学年高二上学期返校联考数学试题》参考答案题号12345678910答案BCADCABAACACD题号11答案ABC1．B【分析】利用补集和交集运算即可求得结果.【详解】由，又因为，所以，故选：B.2．C【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示，列式求出.【详解】依题意，，由，得，所以.故选：C3．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系、面面关系的性质定理及判定定理判断可得；【详解】解：因为是两个不重合的平面，直线，若，则存在直线，满足，因为，所以，所以，故充分性成立；若，，则，或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件；故选：A4．D【分析】根据给定条件，求出及，再利用齐次式法求出目标值.【详解】依题意，，而，解得，因此，所以.故选：D5．C【分析】根据给定条件，利用组合计数问题，结合古典概率求解.【详解】依题意，从袋子里不放回地随机摸出2个球的试验有个基本事件，能摸到白球的事件含有基本事件个数为，所以能摸到白球的概率为.故选：C6．A【分析】设外接圆半径为，根据正弦定理和二倍角公式化简求出，即，再根据余弦定理，求得，即得答案.【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得，，因为，所以，即，即，在，，，所以，所以，即，所以，即，解得或（舍），故选：A.7．B【分析】根据给定条件，构造函数并确定单调性，再利用单调性比较大小.【详解】令函数，则，而函数在R上单调递增，，则，又，于是，而函数在上单调递增，，因此，所以的大小关系是.故选：B8．A【分析】取的中点，连接，利用线面垂直、面面垂直的判定性质确定线面角，再结合余弦定理求解.【详解】在三棱锥中，取的中点，连接，由是等边三角形，得，由，平面，得平面，而平面，则平面平面，平面平面，所以是直线在平面内的射影，又平面，则，因此是直线与平面所成的角或其补角，令，则，由，得，在中，由余弦定理得，则，所以直线与平面所成角的正弦值是.故选：A

9．AC【分析】根据给定条件，利用复数模、复数的乘除法运算，结合复数的概率逐项求解.【详解】对于A，当时，，，A正确；对于B，，无解，B错误；对于C，，由为实数，得，C正确；对于D，，由为纯虚数，得且，解得，D错误.故选：AC10．ACD【分析】利用正弦定理边化角判断A；求出的范围求解判断BC；利用余弦定理及三角形面积公式列式，再借助辅助角公式求出最大值.【详解】对于A，在中，由及正弦定理，得，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，则，因此不可以取，B错误；对于C，由选项B得取最大值，此时，则，C正确；对于D，由余弦定理得，解得，则的面积，而，则，解得，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为3，D正确.故选：ACD11．ABC【分析】设四面体的外接球的球心为，半径为，分三种情况讨论①若一条棱长，其余各棱棱长均为2，②若其中一组对棱相等且长度为1，其余棱长为2，③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为2，是边长为1的等边三角形.根据对称性确定球心位置，由球心到各顶点距离相等列式可求半径，进而得到四面体外接球的表面积.【详解】设四面体的外接球的球心为，半径为，表面积为，依题意，四面体长为1的棱最多有3条，分以下三种情况讨论：①若，其余各棱棱长均为2，取的中点，连接、，由，为的中点，得，,，则，，根据对称性，球心在上，设，则，由，得，解得，因此，B可能；②若其中一组对棱相等，不妨设，其余各棱棱长均为2，取的中点，连接，由，，为的中点，得，则，，，根据对称性，球心为中点，因此，A可能；③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为2，是边长为1的等边三角形，设顶点在底面内的射影点为，连接、，则是底面正三角形的中心，且，，根据对称性，球心在直线上，设，则，由得，解得，因此，C可能.故选：ABC12．28【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算分段代入求出函数值.【详解】依题意，，所以.故答案为：2813．【分析】连接交于点，利用线面垂直证明为四面体的高，进而利用等体积法求得答案.【详解】

如图，连接交于点，因为平面，平面，平面，所以，，又因为，所以四边形为矩形，而在平面内，又因为，，，所以面，所以为四面体的高，因为正方体棱长为2，所以，所以，故答案为：.14．【分析】根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换求得，再利用三角形内心性质及数量积的定义，结合积化和差公式求解即得.【详解】在中，由，及余弦定理，得，则，解得或，由正弦定理得或，而，由，得，即，整理得，又，则，又，因此，，，同理由，得，由为的内心，得，令内切圆切边于，连接，则，，所以.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）解一元二次不等式可得结果；（2）分离参数可得，由基本不等式求得，从而可得的范围.【详解】（1）当时，，不等式，即，整理得，解得，故此不等式的解集为．（2）由题意，，得，即恒成立，又，（当且仅当取等号），即，所以，解得．16．(1)，通过复查(2)80，11【分析】（1）根据给定的频率分布直方图求出第2小组的频率即可求出，再利用第60百分位数的定义求解判断.（2）利用分层抽样的平均数公式及方差公式列式计算.【详解】（1）由后2组的频率和为，得前3组的频率和为，又前3个小组的频率之比为，则第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，因此；而前二组的频率和为，前三组的频率和为，因此第60百分位数为，所以该调查通过复查．（2）依题意，这两组数据的平均数，方差，所以这两组数据总的平均数及方差分别为80和11.17．(1)，(2)，【分析】（1）根据给定条件，利用平移变换求出解析式，再利用正弦函数性质求解.（2）求出函数，利用二倍角公式及辅助角公式化简，再利用给定最值条件列式求解.【详解】（1）依题意，，所以函数的最小正周期为；由，得，所以的单调递增区间为.（2）依题意，，其中由确定，由函数在时取得最大值为，得，所以.18．(1)证明见解析，(2)证明见解析，(3)【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证.（2）法1，根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证；法二，根据给定条件，借助空间向量数量积，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.（3）作出并确定二面角的平面角，再利用余弦定理求解.【详解】（1）在中，是的中点，则，同理，因此，而平面，平面，所以平面.（2）法一：由，，得，，由勾股定理得，在中，由，得，则，同理，则，由，得，则，即，又，得，在中，，则，于是，由平面，得平面，又平面，所以平面平面.法二：由，，得，由勾股定理得，在中，由，得，由，得得，又平面，得平面，又由面，所以平面平面.（3）连接，是的中点，得，由，得，则的平面角为．中，，由（1）同理得，则，所以二面角的余弦值.19．(1)证明见解析，(2)(3)【分析】（1）计算得到，由题干定义可得结果；（2）由的单调性可得，再令，求得，从而可得结果；（3）解法一：由绝对值不等式可得，从而有零点等价于，分析的解析式可知需满足，最后证明当时，存在使得函数有唯一零点．解法二：先分析得到和时，无零点，即在上有唯一零点，由的解析式分类讨论可得结果.