高数考试题试卷及答案

高数考试题试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.当\(x\to0\)时，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小3.设\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\)（）A.\(f'(x_0)\)B.\(2f'(x_0)\)C.\(0\)D.\(f'(2x_0)\)4.曲线\(y=x^3-3x\)的拐点是（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.无拐点5.\(\int\frac{1}{x^2}dx=\)（）A.\(\frac{1}{x}+C\)B.\(-\frac{1}{x}+C\)C.\(\ln|x|+C\)D.\(x^2+C\)6.若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，则\(\intf(x)dx=\)（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)7.设\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(2y\)8.级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)，当（）时收敛。A.\(p\leq1\)B.\(p>1\)C.\(p<1\)D.\(p\geq1\)9.微分方程\(y'+y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Ce^{-x}\)C.\(y=Cx\)D.\(y=C\)10.设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}f(t)dt=\)（）A.\(f(x)-f(t)\)B.\(0\)C.\(f(x)\)D.\(f(t)\)答案：1.C2.A3.B4.A5.B6.B7.A8.B9.B10.B二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在\(x=0\)处连续的有（）A.\(y=|x|\)B.\(y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x<0\end{cases}\)C.\(y=\frac{\sinx}{x}\)D.\(y=\begin{cases}e^x,x\neq0\\1,x=0\end{cases}\)2.下列函数中，是奇函数的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)D.\(y=x^2+1\)3.设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导，则（）A.\(f(x)\)在\(x_0\)处连续B.\(f(x)\)在\(x_0\)处可微C.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(f(x)\)在\(x_0\)的某邻域内有界4.下列积分中，值为\(0\)的有（）A.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)C.\(\int_{-\pi}^{\pi}\cosxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)5.对于二元函数\(z=f(x,y)\)，下列说法正确的是（）A.若\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)在\((x_0,y_0)\)处连续，则\(z\)在\((x_0,y_0)\)处可微B.若\(z\)在\((x_0,y_0)\)处可微，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)在\((x_0,y_0)\)处连续C.若\(z\)在\((x_0,y_0)\)处可微，则\(z\)在\((x_0,y_0)\)处连续D.若\(z\)在\((x_0,y_0)\)处连续，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)在\((x_0,y_0)\)处存在6.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)7.微分方程\(y''+3y'+2y=0\)的解有（）A.\(y=e^{-x}\)B.\(y=e^{-2x}\)C.\(y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}\)D.\(y=Ce^{-x}\)8.设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)是一个确定的常数D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)与积分变量无关9.下列极限中，结果为\(1\)的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)C.\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)10.已知\(f(x)\)的一个原函数是\(F(x)\)，则（）A.\(\intf(x)dx=F(x)+C\)B.\(F'(x)=f(x)\)C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)D.\(dF(x)=f(x)dx\)答案：1.AD2.ABC3.ABC4.AD5.AC6.ABD7.ABC8.ACD9.ABC10.ABCD三、判断题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定义域为空集。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，则\(f(x)\)在\(x_0\)处一定有定义。（）3.函数\(y=x^3\)在\(R\)上是单调递增的。（）4.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定连续。（）5.二元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处的偏导数\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)都存在，则\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处一定可微。（）6.级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是收敛的。（）7.微分方程\(y'=2x\)的通解是\(y=x^2+C\)。（）8.若\(f(x)\)为偶函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）9.函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是凹函数。（）10.若\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)，则级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\)一定收敛。（）答案：1.×2.×3.√4.×5.×6.×7.√8.√9.×10.×四、简答题（每题5分，共20分）1.求极限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)答案：将\(\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}\)代入原式得\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{\sinx}{\cosx}-\sinx}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx(1-\cosx)}{x^3\cosx}\)。利用等价无穷小\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)，\(\sinx\simx\)，可得\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3\cosx}=\frac{1}{2}\)。2.求函数\(y=x^3-3x^2+1\)的极值。答案：对\(y\)求导得\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x<0\)时，\(y'>0\)；\(0<x<2\)时，\(y'<0\)；\(x>2\)时，\(y'>0\)。所以极大值\(y(0)=1\)，极小值\(y(2)=-3\)。3.计算\(\intxe^xdx\)答案：用分部积分法，设\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，则\(du=dx\)，\(v=e^x\)。由\(\intudv=uv-\intvdu\)可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。4.求函数\(z=x^2+y^2\)在点\((1,2)\)处的全微分。答案：先求偏导数，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)。在点\((1,2)\)处，\(\frac{\partialz}{\partialx}|_{(1,2)}=2\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}|_{(1,2)}=4\)。全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)，所以在点\((1,2)\)处\(dz=2dx+4dy\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\2x+1,x>0\end{cases}\)在\(x=0\)处的连续性与可导性。答案：连续性：\(\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)=0^2+1=1\)，\(\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=2\times0+1=1\)，\(f(0)=0^2+1=1\)，所以连续。可导性：左导数\(f_-'(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0\)，右导数\(f_+'(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2\)，左右导数不等，不可导。2.讨论级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)的敛散性。答案：当\(p>1\)时，\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收敛，原级数绝对收敛；当\(0<