2026年中考数学一轮复习不等式与不等式组含解析1

2026年中考数学一轮复习不等式与不等式组[含解析]1一、引言在中考数学的知识体系中，不等式与不等式组是重要的组成部分。它不仅是代数知识的关键内容，还在实际生活和其他学科领域有着广泛的应用。在2026年中考数学一轮复习中，深入理解和掌握不等式与不等式组的相关知识，对于提高学生的数学成绩和解决实际问题的能力至关重要。本文将对不等式与不等式组的知识点进行全面梳理，并通过详细的例题解析，帮助同学们更好地复习这部分内容。二、不等式的基本概念与性质（一）不等式的定义用不等号（大于“>”、小于“<”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。例如：$3x+5>10$，$2-y≤7$等。（二）不等式的解与解集1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。例如，对于不等式$x+3>5$，$x=3$就是它的一个解，因为当$x=3$时，$3+3=6>5$，不等式成立。2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。例如，不等式$x+3>5$的解集是$x>2$，表示所有大于2的数都是这个不等式的解。（三）不等式的基本性质1.性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果$a>b$，那么$a±c>b±c$。-解析：例如，已知$5>3$，在不等式两边同时加2，得到$5+2>3+2$，即$7>5$，不等号方向不变。这是因为在数轴上，两个数同时加上或减去同一个数，它们的相对大小关系不会改变。2.性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果$a>b$，$c>0$，那么$ac>bc$（或$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$）。-解析：比如，已知$4>2$，两边同时乘以3，得到$4×3>2×3$，即$12>6$。因为正数是大于0的数，乘以或除以一个正数相当于对原数进行等比例的放大或缩小，不会改变数的大小顺序。3.性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果$a>b$，$c<0$，那么$ac<bc$（或$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$）。-解析：例如，已知$6>3$，两边同时除以-3，得到$\frac{6}{-3}<\frac{3}{-3}$，即$-2<-1$。在数轴上，乘以或除以一个负数会使数的位置关于原点对称，从而改变它们的大小顺序。三、一元一次不等式（一）一元一次不等式的定义只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。其一般形式为$ax+b>0$或$ax+b<0$（$a≠0$）。例如：$2x-5>3$就是一个一元一次不等式。（二）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但要注意在不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。1.去分母：根据不等式的性质2或3，在不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。-例1：解不等式$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}>1$。-解析：首先，找到2和3的最小公倍数6，不等式两边同时乘以6，得到$6×\frac{x+1}{2}-6×\frac{2x-1}{3}>6×1$，即$3(x+1)-2(2x-1)>6$。2.去括号：根据去括号法则，去掉不等式中的括号。-继续解例1：对$3(x+1)-2(2x-1)>6$去括号，得到$3x+3-4x+2>6$。3.移项：根据不等式的性质1，把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。-接着解例1：移项可得$3x-4x>6-3-2$。4.合并同类项：将同类项进行合并。-继续解例1：合并同类项得$-x>1$。5.系数化为1：根据不等式的性质2或3，将未知数的系数化为1。-最后解例1：因为系数是-1，不等式两边同时除以-1，不等号方向改变，得到$x<-1$。（三）一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际生活中有很多应用，如方案设计、利润问题、行程问题等。1.例2：某商场为了促销，推出两种优惠方案。方案一：购物满100元，超出部分打8折；方案二：购物满150元，超出部分打7折。若顾客购物金额为$x$元（$x>150$），问选择哪种方案更优惠？-解析：-方案一的费用$y_1$：当$x>100$时，$y_1=100+0.8(x-100)=100+0.8x-80=20+0.8x$。-方案二的费用$y_2$：当$x>150$时，$y_2=150+0.7(x-150)=150+0.7x-105=45+0.7x$。-若方案一更优惠，则$y_1<y_2$，即$20+0.8x<45+0.7x$。-移项可得$0.8x-0.7x<45-20$。-合并同类项得$0.1x<25$。-系数化为1得$x<250$。-若方案二更优惠，则$y_1>y_2$，即$20+0.8x>45+0.7x$，解得$x>250$。-若两种方案一样优惠，则$y_1=y_2$，即$20+0.8x=45+0.7x$，解得$x=250$。-综上，当$150<x<250$时，选择方案一；当$x=250$时，两种方案一样；当$x>250$时，选择方案二。四、一元一次不等式组（一）一元一次不等式组的定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。例如：$\begin{cases}x+2>3\\2x-1<5\end{cases}$（二）一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程叫做解不等式组。（三）一元一次不等式组的解法1.分别解出不等式组中各个不等式的解集。2.利用数轴找出这些解集的公共部分。（四）一元一次不等式组解集的四种情况设$a<b$，则：1.同大取大：$\begin{cases}x>a\\x>b\end{cases}$的解集为$x>b$。-解析：在数轴上表示$x>a$和$x>b$，因为$b>a$，所以大于大的数，公共部分就是$x>b$。2.同小取小：$\begin{cases}x<a\\x<b\end{cases}$的解集为$x<a$。-解析：在数轴上表示$x<a$和$x<b$，由于$a<b$，所以小于小的数，公共部分就是$x<a$。3.大小小大中间找：$\begin{cases}x>a\\x<b\end{cases}$的解集为$a<x<b$。-解析：在数轴上表示$x>a$和$x<b$，公共部分就是$a$和$b$之间的部分，即$a<x<b$。4.大大小小找不到：$\begin{cases}x<a\\x>b\end{cases}$无解。-解析：在数轴上表示$x<a$和$x>b$，因为$a<b$，两个解集没有公共部分，所以不等式组无解。（五）一元一次不等式组的应用1.例3：某工厂有13名工人生产甲、乙两种零件，每人每天能生产甲零件3个或乙零件4个，已知2个甲零件和3个乙零件配成一套，问如何安排生产才能使每天生产的零件刚好配套？-解析：-设安排$x$名工人生产甲零件，则有$(13-x)$名工人生产乙零件。-每天生产甲零件的数量为$3x$个，生产乙零件的数量为$4(13-x)$个。-因为2个甲零件和3个乙零件配成一套，所以要使零件刚好配套，则$\frac{3x}{2}=\frac{4(13-x)}{3}$。-交叉相乘得$9x=8(13-x)$。-去括号得$9x=104-8x$。-移项得$9x+8x=104$。-合并同类项得$17x=104$。-解得$x=6\frac{2}{17}$。-因为人数必须是整数，所以我们可以通过不等式组来确定人数范围。-设生产的甲、乙零件能配套且甲零件数量为$m$，乙零件数量为$n$，则$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}$，即$3m=2n$。-又因为$m=3x$，$n=4(13-x)$，所以$3×3x=2×4(13-x)$。-同时要满足零件数量为非负数，即$\begin{cases}3x≥0\\4(13-x)≥0\end{cases}$。-解不等式$3x≥0$得$x≥0$；解不等式$4(13-x)≥0$得$13-x≥0$，即$x≤13$。-由$9x=8(13-x)$解得$x=\frac{104}{17}≈6.12$。-因为$x$为整数，所以$x=6$时，生产甲零件的数量为$3×6=18$个，生产乙零件的数量为$4×(13-6)=28$个，$18÷2=9$，$28÷3=9\frac{1}{3}$，此时乙零件有剩余；$x=7$时，生产甲零件的数量为$3×7=21$个，生产乙零件的数量为$4×(13-7)=24$个，$21÷2=10.5$，$24÷3=8$，此时甲零件有剩余。所以安排6名工人生产甲零件，7名工人生产乙零件能使生产的零件尽量配套。五、总结在20