（人教A版）必修二高一数学下学期同步考点讲与练6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例（解析版）

6.4.3课时3余弦定理、正弦定理应用举例重点：正弦定理、余弦定理在解决距离、高度、角度等实际问题中的应用；难点：理解题意，从实际问题中抽象出三角形模型，并综合运用正弦定理和余弦定理解三角形一、基线1、定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。2、性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。二、实际测量中的有关名称、术语：1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角三、利用解三角形解决实际问题的方法步骤1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。四、测量距离问题常见题型及解决办法1、常见题型与解决方法（1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).（2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.（3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.2、求距离问题的注意事项（1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解；（2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。五、测量高度问题需要注意3个问题1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．六、测量角度问题需要注意3个问题1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。题型一测量距离问题【例1】某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离.综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.故选：C【变式1-1】如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，故，由正弦定理，，故m故选：D【变式1-2】如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为____________（结果用m表示）.【答案】【解析】因为，所以.因为，所以，所以为等边三角形，所以.在中，,,所以.由正弦定理得：，即，解得：.在中，,,,由余弦定理解得：.故答案为：【变式1-3】一条河流从某城市中穿过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点，，并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，由正弦定理得，所以，如图所示过点向做垂线交与：所以该段河流的宽度.故选：A.【变式1-4】如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（）．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，作矩形，因为从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，所以，，因为气球的高是，所以，则，，，，，，，故选：A.题型二测量高度问题【例2】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在，，，，又，由正弦定理得：，，树的高度为(m).故选：A．【变式2-1】杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑.小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在直角三角形ABM中，在△ACM中，，故由正弦定理，，故在直角三角形CDM中，，∵∴.故选：D【变式2-2】如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，，因为，则为等腰直角三角形，故，在中，，，则，由正弦定理可得，，在中，，又因为，则.故选：C.【变式2-3】平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（）A．25米B．米C．30米D．米【答案】C【解析】在中，，，在中，，，在中，由余弦定理得，即，解得米.故选：C.【变式2-4】如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山CD的高度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.根据正弦定理，得，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝.即山的高度为.故选：C.题型三测量角度问题【例3】如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东方向上B．北偏西方向上C．南偏东方向上D．南偏西方向上【答案】D【解析】由条件及题图可知，为等腰三角形，所以，又，所以，所以，因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．故选：D．【变式3-1】一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，，海里，由正弦定理可得=，代入数据得.故选：C.【变式3-2】甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示：设在点处相遇，设，则，由题知：，由正弦定理得：，解得.因为，所以，即.故选：B【变式3-3】某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，由正弦定理可得在中，易知，则整理可得故选：D【变式3-4】在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为______．【答案】【解析】如图，∵，，∴，∴．∵，，∴，∴．在中，由，得，∴，∴．∵，∴，∴．故答案为：.6.4.3课时3余弦定理、正弦定理应用举例【题型1测量距离问题】1、如图，为了测量某障碍物两侧A，B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理知，所以只要测量出，且这三个数据便于测量．故选：C2、如图，设，两点在河的两岸，在点所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（）（其中，，精确到）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，由正弦定理可知，即，解得，故选：C3、欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin75°≈0.97）【答案】95【解析】如图，在中，，由正弦定理得：，，，到的距离（米）．故答案为：954、如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在中，，，则，在中，，，则，在，由余弦定理得：，即，解得，所以两山顶A，C之间的距离为．故选：B5、如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是，桥头（C）的俯角是，则桥BC的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示：由题意得：，在中，，即，整理得：；在中，，即，整理得：，则.故选:A.【题型2测量高度问题】1、一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施的高度，选择点和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从点测得M点的仰角，C点的俯角以及，从C点测得，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为在中，，，所以，，又因为在中，，，所以,由正弦定理可得，所以m,又因为在中，，所以m.故选：D.2、如图，一栋建筑物AB的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高（单位：米）为（）A．B．30C．D．60【答案】C【解析】依题意，，在中，，在中，，，由正弦定理得：，在中，（米），所以通信塔CD的高为米.故选：C3、真武阁是我国古代建筑史上罕见的一颗明珠，它位于广西容县城东的容州古城内，是一座没有经过重建而原貌原址保存下来的纯木结构建筑，如图所示，真武阁呈方塔状，分三层三檐，为了测量真武阁的高度，选取了与真武阁底部在同一水平而上的，两点，测得米，，，，则真武阁的高的长度是______米.【答案】13【解析】设，在中，，，在，，，，，在中，，，，，即的长度是13米．4、如图，在与水平方向成角的斜坡上有一塔，从测得塔的张角分别是，，若，求塔高．【答案】【解析】在中,,所以,即，所以，在中,,所以,所以，则塔高AD为.5、文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D．测得，在点C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．（1）求；（2）求塔高AB（结果保留整数）．【答案】（1）；（2）47【解析】（1）在中，因为，所以，则，所以，所以，又，所以，则；（2）在中，因为，所以米，则中，米，所以塔高AB为47米.【题型3测量角度问题】1、一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（）A．北偏东B．北偏东或南偏东C．南偏东D．以上方位都不对【答案】B【解析】如