线性代数考试公示题及答案

线性代数考试公示题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设矩阵\(A\)为\(3\times3\)矩阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert-2A\vert=(\)\)A.-16B.-4C.4D.162.若\(A\)，\(B\)均为\(n\)阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）A.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)B.\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)C.\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)D.\(\vert-A^{-1}\vert=-\vertA\vert^{-1}\)3.向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，\(\alpha_3=(3,6,9)^T\)的秩为（）A.1B.2C.3D.04.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2=A\)，则下列结论不一定成立的是（）A.\(A\)可逆B.\(A\)的特征值为0或1C.\(A\)可以相似对角化D.\((I-A)A=0\)5.若\(A\)为\(n\)阶正交矩阵，则\(\vertA\vert=(\)\)A.1B.-1C.\(\pm1\)D.06.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，齐次线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充分必要条件是（）A.\(A\)的行向量组线性相关B.\(A\)的列向量组线性相关C.\(A\)的行向量组线性无关D.\(A\)的列向量组线性无关7.矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)的伴随矩阵\(A^\)的行列式\(\vertA^\vert=(\)\)A.6B.12C.24D.368.设\(\lambda\)是方阵\(A\)的一个特征值，则\(A^2+I\)的一个特征值是（）A.\(\lambda^2\)B.\(\lambda^2+1\)C.\(\lambda+1\)D.\(\lambda-1\)9.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2\)，则其矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)10.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)等价B.\(A\)与\(B\)合同C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量二、多项选择题（每题2分，共20分）1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.若\(A\)可逆，则\(AB\)可逆当且仅当\(B\)可逆2.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是（）A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一个向量可由其余向量线性表示C.\(R(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)<s\)D.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意一部分组线性相关3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaI)\xi=0\)C.对于任意非零常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量D.\(\lambda\)是\(A^T\)的特征值4.下列关于正交矩阵的说法正确的是（）A.正交矩阵的行列式为\(\pm1\)B.若\(A\)是正交矩阵，则\(A^T=A^{-1}\)C.两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵D.正交矩阵的列向量组是正交单位向量组5.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，\(Ax=b\)为非齐次线性方程组，则（）A.若\(R(A)=R(A|b)\)，则方程组有解B.若\(R(A)<R(A|b)\)，则方程组无解C.若\(m<n\)，则方程组有无穷多解D.若\(R(A)=n\)，则方程组有唯一解6.对于\(n\)阶方阵\(A\)，下列说法正确的是（）A.若\(A\)可相似对角化，则\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量B.若\(A\)有\(n\)个不同的特征值，则\(A\)可相似对角化C.若\(A\)是实对称矩阵，则\(A\)可相似对角化D.若\(A\)可相似对角化，且\(P^{-1}AP=\Lambda\)（\(\Lambda\)为对角阵），则\(P\)的列向量是\(A\)的特征向量7.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3\)，其矩阵\(A\)，则（）A.\(A\)是对称矩阵B.\(f\)经正交变换可化为标准形C.\(f\)的秩等于\(A\)的秩D.\(f\)正定当且仅当\(A\)的各阶顺序主子式都大于08.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)合同，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的秩B.\(A\)与\(B\)有相同的正负惯性指数C.存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)D.\(A\)与\(B\)相似9.向量组\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\alpha_4=(1,1,1)^T\)，则（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关B.\(\alpha_4\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示C.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的秩为3D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(A\)的特征多项式为\(f(\lambda)=\vert\lambdaI-A\vert=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0\)，则（）A.\(f(A)=0\)B.\(A\)的所有特征值之和等于\(-a_{n-1}\)C.\(A\)的所有特征值之积等于\((-1)^na_0\)D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(f(\lambda)=0\)三、判断题（每题2分，共20分）1.若矩阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（）2.对于任意两个\(n\)阶方阵\(A\)和\(B\)，都有\((A-B)(A+B)=A^2-B^2\)。（）3.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，\(\beta\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性表示，则\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta\)线性无关。（）4.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(A\)有\(n\)个不同的特征值，则\(A\)一定可以相似对角化。（）5.正交矩阵一定是可逆矩阵。（）6.齐次线性方程组\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数等于\(n-R(A)\)，其中\(n\)是未知数个数，\(R(A)\)是系数矩阵\(A\)的秩。（）7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2\)是正定二次型。（）8.若矩阵\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)有相同的秩。（）9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则对于任意非零常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量。（）10.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则\(A=0\)或\(B=0\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述矩阵可逆的充要条件。答案：矩阵\(A\)可逆的充要条件是\(\vertA\vert\neq0\)，或存在矩阵\(B\)使得\(AB=BA=I\)，或\(A\)的秩等于其阶数，或\(A\)的列（行）向量组线性无关等。2.如何判断向量组的线性相关性？答案：可通过定义，看是否存在不全为零的数使线性组合为零向量；也可求向量组的秩，若秩小于向量个数则线性相关；还可根据行列式（向量个数与维数相等时），行列式为零则线性相关。3.简述实对称矩阵的性质。答案：实对称矩阵的特征值都是实数，不同特征值对应的特征向量正交，一定可以相似对角化，且存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ\)为对角阵。4.说明非齐次线性方程组\(Ax=b\)有解、无解、有唯一解的条件。答案：有解条件是\(R(A)=R(A|b)\)；无解条件是\(R(A)\ltR(A|b)\)；有唯一解条件是\(R(A)=R(A|b)=n\)（\(n\)为未知数个数）。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论相似矩阵和合同矩阵的联系与区别。答案：联系：都保持矩阵的秩不变。区别：相似是\(P^{-1}AP=B\)，关注特征值；合同是\(C^TAC=B\)，关注正负惯性指数。相似矩阵不一定合同，合同矩阵不一定相似，实对称矩阵相似必合同。2.探讨线性代数在实际生活中的应用领域及实例。答案：应用领域如工程技术、经济管理、计算机图形学等。实例：在工程中用于结构力学分析受力；经济领域中投入产出模型分析产业关系；计算机图形学里进行图形的变换与处理。3.说说求