初中一元一次方程专题试题解析及答案精讲

初中一元一次方程专题试题解析及答案精讲一、引言一元一次方程是初中数学的重要基础内容，它是后续学习二元一次方程组、一元二次方程以及函数等知识的基石。熟练掌握一元一次方程的解法、应用，对于提升数学思维和解决实际问题的能力有着至关重要的作用。本文将对初中一元一次方程的各类专题试题进行详细解析，并对答案进行精讲，帮助同学们更好地掌握这一知识点。二、一元一次方程的基本概念与解法（一）基本概念一元一次方程指只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。其一般形式为\(ax+b=0\)（\(a\neq0\)），其中\(a\)是未知数的系数，\(b\)是常数项。（二）解法步骤解一元一次方程的一般步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。下面通过具体试题来详细讲解。试题1：解方程\(\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{6}=1\)解析：1.去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数6，得到\(6\times\frac{2x-1}{3}-6\times\frac{x+2}{6}=6\times1\)。根据分数乘法法则，化简为\(2(2x-1)-(x+2)=6\)。2.去括号：运用乘法分配律去括号，\(2\times2x-2\times1-x-2=6\)，即\(4x-2-x-2=6\)。3.移项：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，注意移项要变号，得到\(4x-x=6+2+2\)。4.合并同类项：等号左边\(4x-x=3x\)，等号右边\(6+2+2=10\)，方程变为\(3x=10\)。5.系数化为1：方程两边同时除以3，得到\(x=\frac{10}{3}\)。答案精讲：在去分母时，要注意给方程两边每一项都乘以最小公倍数，不能漏乘。去括号时，要正确运用乘法分配律，注意符号变化。移项变号是容易出错的地方，一定要牢记。最后系数化为1时，要根据等式的性质进行计算。试题2：解方程\(3(2x-1)+2=2(2x-1)+3\)解析：本题可采用整体思想来求解，把\(2x-1\)看作一个整体。1.移项：将含有\(2x-1\)的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得到\(3(2x-1)-2(2x-1)=3-2\)。2.合并同类项：等号左边\(3(2x-1)-2(2x-1)=(3-2)(2x-1)=2x-1\)，等号右边\(3-2=1\)，方程变为\(2x-1=1\)。3.继续求解：移项得\(2x=1+1\)，即\(2x=2\)，系数化为1得\(x=1\)。答案精讲：当方程中出现相同的式子时，可将其看作一个整体进行运算，这样能简化计算过程。本题若先去括号再求解，计算会相对复杂。三、一元一次方程的应用（一）行程问题行程问题的基本公式为：路程=速度×时间，即\(s=vt\)。试题3：甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地同时相向而行，甲的速度是4千米/小时，乙的速度是6千米/小时，问经过几小时两人相遇？解析：设经过\(x\)小时两人相遇。甲走的路程为\(4x\)千米，乙走的路程为\(6x\)千米。由于两人是相向而行，他们走过的路程之和等于两地的距离20千米，可列方程\(4x+6x=20\)。合并同类项得\(10x=20\)，系数化为1得\(x=2\)。答案精讲：在行程问题中，要明确相遇问题的等量关系是两人的路程之和等于总路程。根据题目中的已知条件，设出合适的未知数，列出方程求解。试题4：小明骑自行车从家到学校，若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，则比预定时间迟到15分钟，问小明家到学校的距离是多少千米？解析：设预定时间为\(x\)小时。因为15分钟=\(\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\)小时。当速度为15千米/小时，所用时间为\((x-\frac{1}{4})\)小时，根据路程公式，路程为\(15(x-\frac{1}{4})\)千米；当速度为9千米/小时，所用时间为\((x+\frac{1}{4})\)小时，路程为\(9(x+\frac{1}{4})\)千米。由于家到学校的距离是固定的，所以可列方程\(15(x-\frac{1}{4})=9(x+\frac{1}{4})\)。去括号得\(15x-\frac{15}{4}=9x+\frac{9}{4}\)。移项得\(15x-9x=\frac{9}{4}+\frac{15}{4}\)。合并同类项得\(6x=6\)，系数化为1得\(x=1\)。那么小明家到学校的距离为\(15\times(1-\frac{1}{4})=15\times\frac{3}{4}=\frac{45}{4}=11.25\)（千米）。答案精讲：本题的关键是找到等量关系，即两种速度下行驶的路程相等。同时要注意时间单位的换算，将分钟转化为小时。设出预定时间为未知数，根据路程公式列出方程求解。（二）工程问题工程问题的基本公式为：工作总量=工作效率×工作时间，通常把工作总量看作单位“1”。试题5：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，若甲先做3天，然后甲、乙合作完成剩下的工程，问甲、乙合作还需要多少天完成？解析：设甲、乙合作还需要\(x\)天完成。甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)。甲先做3天的工作量为\(\frac{1}{10}\times3\)，甲、乙合作\(x\)天的工作量为\((\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x\)。因为整个工程的工作总量为1，所以可列方程\(\frac{1}{10}\times3+(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x=1\)。先计算\(\frac{1}{10}\times3=\frac{3}{10}\)，\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{1}{6}\)，方程变为\(\frac{3}{10}+\frac{1}{6}x=1\)。移项得\(\frac{1}{6}x=1-\frac{3}{10}\)，即\(\frac{1}{6}x=\frac{7}{10}\)。系数化为1得\(x=\frac{7}{10}\times6=\frac{21}{5}=4.2\)。答案精讲：在工程问题中，要明确工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。把工作总量看作单位“1”，根据不同阶段的工作量之和等于工作总量列出方程。本题中先求出甲单独做的工作量，再求出甲、乙合作的工作量，两者相加等于1。（三）利润问题利润问题的基本公式为：利润=售价-进价，利润率=\(\frac{利润}{进价}\times100\%\)。试题6：某商品的进价是1000元，标价为1500元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，问最低可以打几折出售此商品？解析：设最低可以打\(x\)折出售此商品。商品的售价为\(1500\times\frac{x}{10}\)元，利润为\(1500\times\frac{x}{10}-1000\)元。已知利润率不低于5%，根据利润率公式可列不等式\(\frac{1500\times\frac{x}{10}-1000}{1000}\geq5\%\)。先化简不等式左边，\(\frac{150x-1000}{1000}\geq5\%\)。不等式两边同时