人教版高二数学上册期末复习试题解析

人教版高二数学上册期末复习试题解析一、引言高二数学上册的知识内容丰富且具有一定的深度，涵盖了多种重要的数学概念和方法。通过期末复习试题的解析，我们可以系统地回顾和巩固所学知识，加深对知识点的理解和运用能力。本文将对人教版高二数学上册期末复习中常见的试题类型进行详细解析，帮助同学们更好地应对期末考试。二、试题涉及的主要知识点回顾（一）直线与圆1.直线的方程-点斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)（其中\((x_1,y_1)\)为直线上一点，\(k\)为斜率）。-斜截式：\(y=kx+b\)（\(k\)为斜率，\(b\)为直线在\(y\)轴上的截距）。-两点式：\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)（\(x_1\neqx_2\)，\(y_1\neqy_2\)）。-截距式：\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)（\(a\neq0\)且\(b\neq0\)，\(a\)为\(x\)轴上的截距，\(b\)为\(y\)轴上的截距）。-一般式：\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）。2.两条直线的位置关系-平行：\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，\(l_1\parallell_2\LeftrightarrowA_1B_2-A_2B_1=0\)且\(B_1C_2-B_2C_1\neq0\)（或\(A_1C_2-A_2C_1\neq0\)）。-垂直：\(l_1\perpl_2\LeftrightarrowA_1A_2+B_1B_2=0\)。3.圆的方程-标准方程：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（圆心为\((a,b)\)，半径为\(r\)）。-一般方程：\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)（\(D^2+E^2-4F>0\)），圆心为\((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)，半径\(r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\)。4.直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离\(d\)与半径\(r\)的大小关系判断：\(d>r\)时，相离；\(d=r\)时，相切；\(d<r\)时，相交。（二）圆锥曲线1.椭圆-定义：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹。-标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)（焦点在\(x\)轴上），\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\)（焦点在\(y\)轴上），其中\(c^2=a^2-b^2\)，\(c\)为半焦距。2.双曲线-定义：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹。-标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)（焦点在\(x\)轴上），\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)（焦点在\(y\)轴上），其中\(c^2=a^2+b^2\)，\(c\)为半焦距。3.抛物线-定义：平面内与一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(F\notinl\)）的距离相等的点的轨迹。-标准方程：\(y^2=2px(p>0)\)（开口向右），\(y^2=-2px(p>0)\)（开口向左），\(x^2=2py(p>0)\)（开口向上），\(x^2=-2py(p>0)\)（开口向下）。（三）常用逻辑用语1.命题能够判断真假的陈述句叫做命题。2.充分条件与必要条件-若\(p\Rightarrowq\)，则\(p\)是\(q\)的充分条件，\(q\)是\(p\)的必要条件。-若\(p\Leftrightarrowq\)，则\(p\)是\(q\)的充要条件。3.全称量词与存在量词-全称命题：\(\forallx\inM,p(x)\)，它的否定是\(\existsx_0\inM,\negp(x_0)\)。-特称命题：\(\existsx_0\inM,p(x_0)\)，它的否定是\(\forallx\inM,\negp(x)\)。三、典型试题解析（一）直线与圆相关试题例1：已知直线\(l:3x+4y-12=0\)与圆\(C:x^2+y^2-4x-4y+7=0\)，求直线\(l\)与圆\(C\)的位置关系。解析：1.首先将圆\(C\)的方程化为标准方程：-对\(x^2+y^2-4x-4y+7=0\)进行配方，\(x^2-4x+4+y^2-4y+4=4+4-7\)，即\((x-2)^2+(y-2)^2=1\)。-所以圆心\(C(2,2)\)，半径\(r=1\)。2.然后求圆心\(C\)到直线\(l\)的距离\(d\)：-根据点\((x_0,y_0)\)到直线\(Ax+By+C=0\)的距离公式\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，这里\(A=3\)，\(B=4\)，\(C=-12\)，\(x_0=2\)，\(y_0=2\)。-则\(d=\frac{|3\times2+4\times2-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|6+8-12|}{5}=\frac{2}{5}<1\)。3.最后判断位置关系：-因为\(d<r\)，所以直线\(l\)与圆\(C\)相交。例2：求过点\(P(2,3)\)且与直线\(l:2x+y-1=0\)垂直的直线方程。解析：1.先求所求直线的斜率：-已知直线\(l:2x+y-1=0\)，可化为\(y=-2x+1\)，其斜率\(k_1=-2\)。-设所求直线的斜率为\(k\)，因为两条垂直直线的斜率之积为\(-1\)，所以\(k\times(-2)=-1\)，解得\(k=\frac{1}{2}\)。2.再根据点斜式求直线方程：-已知所求直线过点\(P(2,3)\)，斜率\(k=\frac{1}{2}\)，由点斜式\(y-y_1=k(x-x_1)\)（这里\(x_1=2\)，\(y_1=3\)）可得\(y-3=\frac{1}{2}(x-2)\)。-整理得\(x-2y+4=0\)。（二）圆锥曲线相关试题例3：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((2,1)\)，求椭圆的标准方程。解析：1.由离心率公式\(e=\frac{c}{a}\)求\(c\)与\(a\)的关系：-已知\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，又\(c^2=a^2-b^2\)，所以\((\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2=a^2-b^2\)，化简得\(b^2=\frac{1}{4}a^2\)。2.把点\((2,1)\)代入椭圆方程：-因为椭圆方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，将\(b^2=\frac{1}{4}a^2\)和点\((2,1)\)代入可得\(\frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{\frac{1}{4}a^2}=1\)。-即\(\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\)，\(\frac{8}{a^2}=1\)，解得\(a^2=8\)。3.求\(b^2\)的值：-因为\(b^2=\frac{1}{4}a^2\)，\(a^2=8\)，所以\(b^2=2\)。4.得出椭圆标准方程：-所以椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\)。例4：已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，且过点\((4,\sqrt{3})\)，求双曲线的标准方程。解析：1.由渐近线方程求\(b\)与\(a\)的关系：-对于双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，所以\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)，即\(b=\frac{3}{4}a\)。2.把点\((4,\sqrt{3})\)代入双曲线方程：-双曲线方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，将\(b=\frac{3}{4}a\)和点\((4,\sqrt{3})\)代入可得\(\frac{4^2}{a^2}-\frac{(\sqrt{3})^2}{(\frac{3}{4}a)^2}=1\)。-即\(\frac{16}{a^2}-\frac{3}{\frac{9}{16}a^2}=1\)，\(\frac{16}{a^2}-\frac{16}{3a^2}=1\)，\(\frac{48-16}{3a^2}=1\)，\(\frac{32}{3a^2}=1\)。-解得\(a^2=\frac{32}{3}\)。3.求\(b^2\)的值：-因为\(b=\frac{3}{4}a\)，\(b^2=\frac{9}{16}a^2\)，把\(a^2=\frac{32}{3}\)代入得\(b^2=6\)。4.得出双曲线标准方程：-所以双曲线的标准方程为\(\frac{3x^2}{32}-\frac{y^2}{6}=1\)。（三）常用逻辑用语相关试题例5：判断命题“若\(x^2-3x+2=0\)，则\(x=1\)”的真假，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假。解析：1.判断原命题的真假：-解方程\(x^2-3x+2=0\)，即\((x-1)(x-2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)。-所以当\(x^2-3x+2=0\)时，不一定\(x=1\)，原命题为假命题。2.写出逆命题并判断真假：-逆命题为“若\(x=1\)，则\(x^2-3x+2=0\)”。-把\(x=1\)代入\(x^2-3x+2\)得\(1^2-3\times1+2=1-3+2=0\)，逆命题为真命题。3.写出否命题并判断真假：-否命题为“若\(x^2-3x+2\neq0\)，则\(x\neq1\)”。-因为\(x^2-3x+2\neq0\)时，\(x\neq1\)且\(x\neq2\)，所以否命题为真命题。4.写出逆否命题并判断真假：-逆否命题为“若\(x\neq1\)，则\(x^2-3x+2\neq0\)”。-当\(x=2\)时，\(x\neq1\)，但\(x^2-3x+2=0\)，所以逆否命题为假命题。例6：已知\(p:x^2-8x-20\leqslant0\)，\(q:x^2-2x+1-m^2\leqslant0(m>0)\)，若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件，求实数\(m\)的取值范围。解析：1.解不等式\(p\)：-解\(x^2-8x-20\leqslant0\)，即\((x-10)(x+2)\leqslant0\)，解得\(-2\leqslantx\leqslant10\)，