2025年初等数论考试题库及答案

2025年初等数论考试题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若a，b都是整数，且b≠0，a=bq+r（0≤r＜|b|），则（）A.r是a除以b的余数B.q是a除以b的余数C.r是a除以b的商D.q是a除以b的最大整数答案：A2.两个整数a，b互素的充要条件是（）A.存在整数s，t，使得sa+tb=1B.(a，b)=0C.a能整除bD.b能整除a答案：A3.以下哪个数是质数（）A.4B.9C.11D.15答案：C4.模5的最小非负完全剩余系是（）A.0，1，2，3，4B.1，2，3，4，5C.-2，-1，0，1，2D.5，6，7，8，9答案：A5.若a≡b（modm），c≡d（modm），则（）A.a+c≡b+d（modm）B.a-c≡b-d（modm）C.ac≡bd（modm）D.以上都对答案：D6.同余方程3x≡6（mod9）的解的个数是（）A.1B.2C.3D.0答案：C7.欧拉函数φ(8)的值为（）A.2B.4C.8D.16答案：B8.整数18的正约数个数是（）A.4B.5C.6D.7答案：C9.若p是质数，a是整数，且(a，p)=1，则a^(p-1)≡（）（modp）A.0B.1C.pD.a答案：B10.以下哪个不是中国剩余定理所解决的问题类型（）A.同余方程组求解B.线性方程组求解C.关于模运算的方程组求解D.余数问题求解答案：B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是整除的性质（）A.若a|b，b|c，则a|cB.若a|b，a|c，则a|(b+c)C.若a|b，m为整数，则a|mbD.若a|b，b|a，则a=b答案：ABC2.以下哪些数是合数（）A.6B.8C.10D.13答案：ABC3.以下哪些属于完全剩余系的性质（）A.一个模m的完全剩余系中元素个数为mB.任意m个连续整数构成模m的完全剩余系C.若x1，x2，…，xm是模m的完全剩余系，(a，m)=1，则ax1+b，ax2+b，…，axm+b也是模m的完全剩余系（b为整数）D.完全剩余系中元素两两模m不同余答案：ABCD4.关于同余方程ax≡b（modm），以下说法正确的是（）A.当(a，m)|b时，方程有解B.当(a，m)=1时，方程有唯一解C.方程解的个数可能为0D.方程解的个数可能大于1答案：ABCD5.以下哪些是欧拉函数φ(n)的性质（）A.若p是质数，则φ(p)=p-1B.若p，q是不同质数，则φ(pq)=(p-1)(q-1)C.φ(n)是积性函数D.φ(1)=1答案：ABCD6.以下哪些数对模7同余（）A.3和10B.4和11C.5和12D.6和13答案：ABCD7.整数的因数分解方法有（）A.试除法B.埃拉托色尼筛法C.辗转相除法D.分解质因数法答案：ABD8.以下哪些属于同余关系的性质（）A.自反性：a≡a（modm）B.对称性：若a≡b（modm），则b≡a（modm）C.传递性：若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）D.可加性：若a≡b（modm），c≡d（modm），则a+c≡b+d（modm）答案：ABCD9.以下哪些是不定方程的求解方法（）A.穷举法B.利用整除性质C.利用同余理论D.配方法答案：ABC10.以下哪些关于质数分布的说法是正确的（）A.质数有无穷多个B.相邻质数之间的间隔可以任意大C.存在任意长的连续合数区间D.孪生质数有无穷多对答案：ABC三、判断题（每题2分，共10题）1.若a|b且b|a，则a=b。（）答案：错误2.所有偶数都不是质数。（）答案：错误3.模6的一个简化剩余系是1，5。（）答案：正确4.同余方程2x≡4（mod6）有唯一解。（）答案：错误5.欧拉函数φ(12)=4。（）答案：正确6.若a≡b（modm），则a^2≡b^2（modm）。（）答案：正确7.整数15的正约数之和为24。（）答案：正确8.不定方程x+y=1有无数组整数解。（）答案：正确9.若p是质数，a是整数，则a^p≡a（modp）。（）答案：正确10.任意两个整数都有最大公因数。（）答案：正确四、简答题（每题5分，共4题）1.简述整除的定义。答案：设a，b是整数，b≠0，如果存在整数q，使得a=bq，则称b整除a，记作b|a，此时称b是a的因数，a是b的倍数。2.什么是模m的简化剩余系？答案：在模m的一个完全剩余系中，所有与m互素的数构成的子集，叫做模m的一个简化剩余系。它的元素个数为φ(m)，其中φ(m)是欧拉函数。3.简述辗转相除法求最大公因数的原理。答案：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。此时的除数就是两数的最大公因数。4.写出中国剩余定理的基本内容。答案：设m1，m2，…，mk是两两互素的正整数，M=m1m2…mk，Mi=M/mi，Mi'满足MiMi'≡1（modmi）。则同余方程组x≡ai（modmi）（i=1，2，…，k）有唯一解x≡a1M1M1'+a2M2M2'+…+akMkMk'（modM）。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论质数在数论中的重要性。答案：质数是数论的基石。许多数论定理和问题都基于质数，如整数的唯一分解定理。它在密码学等领域有重要应用，RSA算法就依赖大质数的性质，确保信息安全。研究质数分布规律等有助于深入理解整数性质和数学结构。2.探讨同余理论在实际生活中的应用。答案：同余理论在生活中应用广泛。如在日历计算中确定星期几，在循环规律问题中分析周期现象。在计算机领域用于数据校验、哈希函数设计，保证数据准确性和存储效率，提高系统性能和稳定性。3.分析不定方程求解的困难与方法多样性。答案：不定方程求解困难在于其解的不确定性和多样性。方法多样，穷举法适用于范围小的情况；利用整除性质可缩小解的范围；同余理论能通过取模简化方程找解。但复杂不定方