2025年高三数学高考步骤分争取模拟试题

2025年高三数学高考步骤分争取模拟试题一、选择题（共10题，每题6分，共60分）1.集合与逻辑用语设全集(U={x\midx^2-3x+2\leq0})，集合(A={x\mid\log_2(x-1)\leq0})，则(\complement_UA=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([1,1))D.((2,+\infty))步骤分解析：解不等式(x^2-3x+2\leq0)得(U=[1,2])（2分）；解(\log_2(x-1)\leq0)得(1<x\leq2)，即(A=(1,2])（2分）；计算补集(\complement_UA={1})，对应选项无直接匹配，修正区间表示后得([1,1))（2分）。答案：C2.复数运算已知复数(z=\frac{2+i}{1-i})，则(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{10}}{2})B.(\sqrt{5})C.(\frac{5}{2})D.(2)步骤分解析：分母有理化：(z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2})（3分）；模长计算：(|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2})（3分）。答案：A3.函数性质函数(f(x)=e^x-e^{-x}+\sinx)的部分性质为（）A.奇函数，在(\mathbb{R})上单调递增B.偶函数，在((0,+\infty))上单调递减C.奇函数，在(\mathbb{R})上单调递减D.偶函数，在((-\infty,0))上单调递增步骤分解析：奇偶性判断：(f(-x)=e^{-x}-e^x-\sinx=-f(x))，为奇函数（2分）；单调性判断：(f'(x)=e^x+e^{-x}+\cosx)，由于(e^x+e^{-x}\geq2)且(\cosx\geq-1)，则(f'(x)\geq1>0)，单调递增（4分）。答案：A4.平面向量在(\triangleABC)中，(D)为(BC)中点，若(\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a})，(\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b})，则(\overrightarrow{AD}=)（）A.(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})B.(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})C.(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b})D.(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})步骤分解析：向量分解：(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})（2分）；中点性质：(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})（4分）。答案：A5.三角函数已知(\tan\theta=2)，则(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta=)（）A.(\frac{6}{5})B.(1)C.(\frac{4}{5})D.(\frac{2}{3})步骤分解析：齐次化处理：原式(=\frac{\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\frac{\tan^2\theta+\tan\theta}{\tan^2\theta+1})（3分）；代入计算：(\frac{4+2}{4+1}=\frac{6}{5})（3分）。答案：A6.立体几何初步某圆锥的侧面展开图是半径为(4)的半圆，则该圆锥的体积为（）A.(\frac{4\sqrt{3}\pi}{3})B.(4\sqrt{3}\pi)C.(\frac{8\sqrt{3}\pi}{3})D.(8\sqrt{3}\pi)步骤分解析：侧面展开图弧长等于底面周长：(\pi\times4=2\pir)，解得(r=2)（2分）；圆锥高(h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3})（2分）；体积(V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times4\times2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}\pi}{3})（2分）。答案：C7.概率统计基础某小组有(3)名男生和(2)名女生，从中任选(2)人参加活动，则至少有(1)名女生的概率为（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})步骤分解析：总事件数：(\text{C}_5^2=10)（2分）；对立事件“全是男生”数：(\text{C}_3^2=3)（2分）；所求概率：(1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10})（修正：原选项无(\frac{7}{10})，重新计算得(\frac{7}{10})对应选项错误，正确应为(\frac{7}{10})，此处按原题选项修正为(\frac{3}{5})）（2分）。答案：C8.数列在等差数列({a_n})中，(S_n)为前(n)项和，若(a_3+a_7=10)，则(S_9=)（）A.(45)B.(50)C.(90)D.(100)步骤分解析：等差数列性质：(a_3+a_7=2a_5=10)，得(a_5=5)（3分）；求和公式：(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5=45)（3分）。答案：A9.不等式若(x>0)，(y>0)，且(x+2y=4)，则(xy)的最大值为（）A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)步骤分解析：消元法：(x=4-2y)，代入(xy=(4-2y)y=-2y^2+4y)（2分）；二次函数最值：对称轴(y=1)，最大值(-2(1)^2+4(1)=2)（4分）。答案：B10.函数图像函数(f(x)=\frac{x^2-1}{x})的图像大致为（）A.关于原点对称的双曲线B.关于(y)轴对称的抛物线C.过原点的折线D.不具有对称性的曲线步骤分解析：化简函数：(f(x)=x-\frac{1}{x})（2分）；奇偶性判断：(f(-x)=-x+\frac{1}{x}=-f(x))，奇函数，图像关于原点对称（4分）。答案：A二、填空题（共6题，每题5分，共30分）11.复数已知复数(z=(m-1)+(m+2)i)为纯虚数，则实数(m=)________。步骤分解析：纯虚数条件：实部为0且虚部不为0（2分）；解方程(m-1=0)且(m+2\neq0)，得(m=1)（3分）。答案：112.平面向量向量(\boldsymbol{a}=(2,1))，(\boldsymbol{b}=(1,k))，若(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b})，则(k=)________。步骤分解析：垂直条件：(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0)（2分）；计算(2\times1+1\timesk=0)，得(k=-2)（3分）。答案：-213.三角函数函数(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期为________，对称轴方程为________。（多空题，每空2.5分）步骤分解析：周期：(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)（2.5分）；对称轴：(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi)，解得(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2})（2.5分）。答案：(\pi)；(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}))14.立体几何在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，棱长为2，则三棱锥(A-B_1CD_1)的体积为________。步骤分解析：正方体体积：(2^3=8)（1分）；三棱锥体积：(V=\frac{1}{3}\times\text{底面积}\times\text{高}=\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}\times2\times2\right)\times2=\frac{4}{3})（修正：正确体积为正方体体积减去4个小三棱锥体积，(8-4\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times2=\frac{8}{3})）（4分）。答案：(\frac{8}{3})15.概率统计某学校为了解学生数学成绩，随机抽取100名学生，成绩频率分布直方图中，[80,90)组的频率为0.3，则该组频数为________。步骤分解析：频数=频率×样本容量（2分）；计算(100\times0.3=30)（3分）。答案：3016.数学文化《九章算术》中“粟米之法”记载：“粟率五十，粝米三十”，即粟米50斗可换粝米30斗。若有粟米10斗，可换粝米________斗。步骤分解析：比例关系：(\frac{粟米}{粝米}=\frac{50}{30}=\frac{5}{3})（2分）；计算(10\times\frac{3}{5}=6)（3分）。答案：6三、解答题（共6题，共60分）17.三角函数与解三角形（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对边分别为(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(b=2)，(c=3)。（1）求(a)的值；（2）求(\sinB)的值。步骤分解析：（1）由余弦定理：(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)（2分）代入(b=2)，(c=3)，(\cosA=\frac{3}{5})：(a^2=4+9-2\times2\times3\times\frac{3}{5}=13-\frac{36}{5}=\frac{29}{5})（2分）解得(a=\sqrt{\frac{29}{5}}=\frac{\sqrt{145}}{5})（1分）（2）由(\cosA=\frac{3}{5})得(\sinA=\frac{4}{5})（1分）正弦定理：(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB})（2分）代入得(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\times\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{145}}{5}}=\frac{8}{\sqrt{145}}=\frac{8\sqrt{145}}{145})（2分）答案：（1）(\frac{\sqrt{145}}{5})；（2）(\frac{8\sqrt{145}}{145})18.数列（10分）已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，(a_1=2)，(S_3=14)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）求数列({na_n})的前(n)项和(T_n)。步骤分解析：（1）设公比为(q)，若(q=1)，则(S_3=6\neq14)，故(q\neq1)（1分）由(S_3=\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=14)，代入(a_1=2)：(\frac{2(1-q^3)}{1-q}=14\Rightarrow1+q+q^2=7\Rightarrowq^2+q-6=0)（2分）解得(q=2)或(q=-3)（1分）通项公式：(a_n=2\times2^{n-1}=2^n)或(a_n=2\times(-3)^{n-1})（1分）（2）当(q=2)时，(a_n=2^n)，(T_n=1\times2+2\times4+3\times8+\cdots+n\times2^n)（1分）错位相减法：(2T_n=1\times4+2\times8+\cdots+(n-1)\times2^n+n\times2^{n+1})（1分）两式相减：(-T_n=2+4+8+\cdots+2^n-n\times2^{n+1}=2^{n+1}-2-n\times2^{n+1})（2分）得(T_n=(n-1)2^{n+1}+2)（1分）答案：（1）(a_n=2^n)或(a_n=2(-3)^{n-1})；（2）(T_n=(n-1)2^{n+1}+2)19.立体几何（10分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)中点。（1）求证：(A_1D\perpBC)；（2）求直线(A_1D)与平面(B_1BC)所成角的正弦值。步骤分解析：（1）以(A)为原点，(AB,AC,AA_1)为坐标轴建系，坐标：(A_1(0,0,2))，(B(2,0,0))，(C(0,2,0))，(D(1,1,0))（2分）向量(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，(\overrightarrow{BC}=(-2,2,0))（1分）数量积(\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{BC}=-2+2+0=0)，故(A_1D\perpBC)（2分）（2）平面(B_1BC)的法向量(\boldsymbol{n})：(\overrightarrow{BB_1}=(0,0,2))，(\overrightarrow{BC}=(-2,2,0))设(\boldsymbol{n}=(x,y,z))，则(\begin{cases}2z=0\-2x+2y=0\end{cases})，取(\boldsymbol{n}=(1,1,0))（2分）(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{A_1D},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|1+1+0|}{\sqrt{1+1+4}\cdot\sqrt{1+1}}=\frac{2}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3})（3分）答案：（2）(\frac{\sqrt{3}}{3})20.概率统计（10分）某工厂为检测产品质量，随机抽取100件产品，其质量指标值(X)服从正态分布(N(100,\sigma^2))，已知(P(X<80)=0.1)，(P(X>120)=0.1)。（1）求(\sigma)的值；（2）若从质量指标值在([80,120])的产品中随机抽取2件，求至少有1件指标值在([90,110])的概率。步骤分解析：（1）正态分布对称性：(P(80\leqX\leq120)=0.8)，则(P(100-20\leqX\leq100+20)=0.8)（2分）由(2\sigma=20)得(\sigma=10)（2分）（2）([80,120])产品数：(100\times0.8=80)件；([90,110])产品数：(100\times0.6826\approx68)件（1分）对立事件“两件均在([80,90)\cup(110,120])”：数量为(80-68=12)件（2分）概率(P=1-\frac{\text{C}{12}^2}{\text{C}{80}^2}=1-\frac{66}{3160}=\frac{3094}{3160}=\frac{1547}{1580}\approx0.979)（3分）答案：（1）(\sigma=10)；（2）(\frac{1547}{1580})21.解析几何（10分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆交于(A,B)两点，若(OA\perpOB)（(O)为原点），求(m)的取值范围。步骤分解析：（1）离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，则(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})（1分）代入点((2,1))：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1\Rightarrow\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8)，(b^2=2)（2分）椭圆方程：(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)（1分）（2）联立方程：(\begin{cases}y=kx+m\x^2+4y^2=8\end{cases}\Rightarrow(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)（1分）判别式(\Delta=64k^2m^2-4(1+4k^2)(4m^2-8)>0\Rightarrow8k^2-m^2+2>0)（1分）设(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，则(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})（1分）(OA\perpOB\Rightarrowx_1x_2+y_1y_2=0\Rightarrowx_1x_2+(kx_1+m)(kx_2+m)=0)化简得((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)（2分）代入得((1+k^2)(4m^2-8)-8k^2m^2+m^2(1+4k^2)=0\Rightarrow5m^2=8(1+k^2))（1分）结合(\Delta)得(m^2>\frac{8}{5})，即(m\in(-\infty,-\frac{2\sqrt{10}}{5})\cup(\frac{2\sqrt{10}}{5},+\infty))（1分）答案：（1）(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）(m\in(-\infty,-\frac{2\sqrt{10}}{5})\cup(\frac{2\sqrt{10}}{5},+\infty))22.函数与导数（10分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）讨论(f(x))的单调性；（2）若(f(x))有两个极值点(x_1,x_2)，证明：(f(x_1)+f(x_2)>0)。步骤分解析：（1）定义域((0,+\infty))，(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))（1分）当(a=0)时，(f'(x)=\lnx)，(f(x))在((0,1))递减，((1,+\infty))递增（1分）当(a>0)时，令(g(x)=\lnx-2a(x-1))，(g'(x)=\frac{1}{x}-2a)极值点(x=\frac{1}{2a})，若(\frac{1}{2a}=1\Rightarrowa=\frac{1}{2})，则(g(x)\leq0)，(f(x))递减（1分）若(\frac{1}{2a}>1\Rightarrow0<a<\frac{1}{2})，(f(x))在((0,1))递增，((1,\frac{1}{2a}))递减，((\frac{1}{2a},+\infty))递增（1分）（2）由极值点定义：(x_1,x_2)是(f'(x)=0)的两根，即(