2025年高三数学高考传统文化中的数学知识模拟试题

2025年高三数学高考传统文化中的数学知识模拟试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.《九章算术》中的粟米比例《九章算术》卷二“粟米”章记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七……”若现有粟米15斗，欲换粺米（粺米率27），则可换粺米的斗数为（）A.8.1B.9.0C.10.5D.12.6解析：根据古算比例“今有术”公式：所求数=（所有数×所求率）÷所有率。代入得粺米斗数=（15×27）÷50=8.1，故选A。本题考查比例计算，体现中国古代粮食换算中的数学智慧。2.祖冲之圆周率的近似计算祖冲之在《缀术》中提出圆周率π的近似值为3.1415926~3.1415927。若某圆的直径为10尺，用“祖率”（355/113）计算其周长，则结果保留两位小数为（）A.31.42尺B.31.41尺C.31.40尺D.31.39尺解析：圆周长C=πd=（355/113）×10≈31.4159≈31.42，故选A。本题结合祖冲之的密率，考查分数与小数的转化及近似计算。3.《周髀算经》中的勾股定理《周髀算经》记载：“勾广三，股修四，径隅五。”若某直角三角形的“股”比“勾”长5，弦长为25，则该三角形的面积为（）A.120B.144C.150D.216解析：设勾为x，股为x+5，由勾股定理得x²+(x+5)²=25²，解得x=15（x=-20舍去），则股为20，面积=（15×20）/2=150，故选C。本题以“勾股弦”术语为背景，考查方程思想与几何计算。4.赵爽弦图与不等式赵爽在《周髀算经注》中创造“弦图”（如图），其中四个全等直角三角形与中间小正方形构成大正方形。若直角三角形的两直角边为a、b（a>b），大正方形面积为25，小正方形面积为1，则a+b的值为（）A.7B.√49C.9D.√81解析：由题意得(a-b)²=1，a²+b²=25。展开(a+b)²=a²+2ab+b²=25+2ab，又(a-b)²=a²-2ab+b²=1，两式相加得2(a²+b²)=26，即ab=12，故(a+b)²=25+24=49，a+b=7，故选A。本题通过弦图直观性考查完全平方公式的应用。5.《孙子算经》中的剩余问题《孙子算经》载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”若该数在100~200之间，则其值为（）A.128B.158C.167D.173解析：由“三三数之剩二，七七数之剩二”知该数为21k+2（k∈N），再满足“五五数之剩三”，即21k+2≡3mod5，解得k=7时，21×7+2=149（不符）；k=8时，21×8+2=170（不符）；k=7+5=12时，21×12+2=254（超范围）。修正：21k+2=5m+3→21k=5m+1→k=1时，23；k=6时，128（128÷5=25…3），符合100~200，故选A。本题考查中国剩余定理的简单应用。6.秦九韶算法与多项式求值秦九韶在《数书九章》中提出“增乘开方法”（秦九韶算法）。用该算法计算多项式f(x)=2x⁴+3x³+5x²+7x+1在x=2时的值，需进行加法运算的次数为（）A.3B.4C.5D.6解析：秦九韶算法将多项式改写为f(x)=((2x+3)x+5)x+7)x+1，计算过程：v0=2；v1=2×2+3=7（1次加法）；v2=7×2+5=19（2次）；v3=19×2+7=45（3次）；v4=45×2+1=91（4次），共4次加法，故选B。本题考查算法历史与程序思想。7.古代建筑中的黄金分割山西应县木塔（佛宫寺释迦塔）的底层檐柱高与柱间距之比接近黄金分割比（√5-1)/2≈0.618。若塔底层某柱间距为6米，则对应的檐柱高约为（）A.3.52米B.3.71米C.3.83米D.4.02米解析：檐柱高=6×0.618≈3.708≈3.71米，故选B。本题结合古建筑实例，考查黄金分割的实际应用。8.朱世杰垛积术与数列求和朱世杰在《算学启蒙》中研究“三角垛”：“三角垛，下广，一面十二个，问计几何？”其公式为S=n(n+1)(n+2)/6（n为层数）。若某三角垛有10层，则该垛物体总数为（）A.220B.330C.450D.560解析：代入n=10，得S=10×11×12/6=220，故选A。本题考查高阶等差数列求和，体现中国古代对数列的系统性研究。二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.《海岛算经》中的测量问题刘徽《海岛算经》第一题：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，与表末参合。问岛高及去表各几何？”（注：1步=6尺，1丈=10尺）下列说法正确的有（）A.岛高公式为：岛高=（表高×表距）/（后表却行-前表却行）+表高B.若表高3丈=30尺，表距1000步=6000尺，前表却行123步=738尺，后表却行127步=762尺，则岛高为1255尺C.该问题通过两次相似三角形对应边成比例建立方程D.刘徽的“重差术”是现代三角测量学的雏形解析：由重差术原理，岛高=（表高×表距）/（后表却行-前表却行）+表高，代入数据得岛高=（30×6000）/（762-738）+30=7500+30=7530尺=753丈，故B错误，A、C、D正确。本题综合考查古代测量术与几何建模。10.《张丘建算经》中的等差数列《张丘建算经》载：“今有女子善织，日益功疾，初日织五尺，今一月（30日）织九匹三丈。”（注：1匹=4丈，1丈=10尺）若该女子每天织布尺数成等差数列，则（）A.公差为16/29尺B.第10天织布15尺C.前15天织布总量为60丈D.最后一天织布超过30尺解析：30日织布总量=9×40+30=390尺，由等差数列求和公式S₃₀=30×5+(30×29/2)d=390，解得d=16/29≈0.55，A正确；第10天织布a₁₀=5+9d≈5+4.95=9.95尺，B错误；前15天S₁₅=15×5+(15×14/2)×(16/29)=75+(105×16)/29≈75+58.62=133.62尺=13.36丈，C错误；最后一天a₃₀=5+29d=5+16=21尺，D错误，故选A。本题考查等差数列在古代纺织问题中的应用。三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.《九章算术》中的体积计算《九章算术》“商功”章载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广。”刍甍（如图）是五面体，下底为矩形，上棱平行于下底长棱。若下底长a=6，宽b=4，上棱c=2，高h=3，则其体积V=________。解析：刍甍体积公式V=(h/6)[(2a+c)b]，代入得V=(3/6)[(12+2)×4]=(1/2)×56=28。答案：28。12.《夏侯阳算经》中的分数运算《夏侯阳算经》提出“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。”用更相减损术求105与63的最大公约数，步骤为：105-63=42，63-42=21，42-21=21，故最大公约数为21。若某分数约分为3/7，且分母比分子大20，则原分数为________。解析：设分子为3k，分母为7k，7k-3k=20→k=5，原分数=15/35。答案：15/35。13.古代计时中的角度问题中国古代用“十二地支”计时，将一天分为12时辰，每个时辰对应现在2小时。若“午时”（11:00-13:00）的“午正”（12:00）时针与分针夹角为0°，则“巳时”（9:00-11:00）的“巳正”（10:00）时针与分针的夹角为________度。解析：10点时，分针指向12（0°），时针指向10（每小时30°，10×30=300°），夹角为|300-0|=300°，取最小角为60°。答案：60。14.《四元玉鉴》中的方程问题朱世杰《四元玉鉴》有题：“今有直田积（面积）八百六十四步，只云长阔（长与宽）和六十步，问长多阔几何？”设长为x步，宽为y步，则可列方程组为________，长比宽多________步。解析：由题意得x+y=60，xy=864，解得x=36，y=24，x-y=12。答案：(\begin{cases}x+y=60\xy=864\end{cases})；12。四、解答题（本大题共6小题，共70分）15.《九章算术》中的“方程术”（10分）“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”（注：“秉”为量词，“实”为粮食数量）解析：设上、中、下禾每秉实分别为x、y、z斗，列方程组：[\begin{cases}3x+2y+z=39\2x+3y+z=34\x+2y+3z=26\end{cases}]用加减消元法解得x=9，y=4，z=3。答：上禾一秉实9斗，中禾一秉实4斗，下禾一秉实3斗。16.古代建筑中的几何计算（12分）故宫太和殿的屋顶为“庑殿顶”，其侧面轮廓可近似看作等腰梯形（如图），上底长a=6米，下底长b=12米，腰长c=5米，求：（1）梯形的高h；（2）该侧面梯形的面积；（3）若屋顶斜面与水平面夹角为θ，求tanθ的值。解析：（1）过梯形上底顶点作高，得直角三角形，底边长=(b-a)/2=3米，由勾股定理h=√(c²-3²)=4米；（2）面积S=(a+b)h/2=(6+12)×4/2=36平方米；（3）tanθ=h/3=4/3。答：（1）高4米；（2）面积36平方米；（3）tanθ=4/3。17.《算学启蒙》中的等比数列（12分）“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问各几何？”（1）写出“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛、色”的数量构成的数列通项公式；（2）计算所有数量之和。解析：（1）该数列为首项a₁=9，公比q=9的等比数列，共8项，通项公式aₙ=9ⁿ（n=1,2,…,8）；（2）总和S₈=9(9⁸-1)/(9-1)=(9⁹-9)/8=387,420,489/8=48,427,561。答：（1）aₙ=9ⁿ；（2）总和为48,427,561。18.《海岛算经》中的测量问题（12分）“今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。问邑方及邑去表各几何？”（注：1步=6尺，1丈=10尺，结果保留整数）解析：设邑方（正方形边长）为x，邑去东表距离为y，由相似三角形得：[\frac{x}{y}=\frac{22.65}{30},\quad\frac{x}{y+x}=\frac{22.65}{30+60}]解得x=100步=600尺=60丈，y=80步=480尺=48丈。答：邑方60丈，邑去表48丈。19.秦九韶算法的现代应用（12分）用秦九韶算法求多项式f(x)=x⁵-2x⁴+3x³-4x²+5x-6在x=2时的值，并说明该算法与《数书九章》中“增乘开方法”的联系。解析：f(x)=((((x-2)x+3)x-4)x+5)x-6，v0=1，v1=2-2=0，v2=0×2+3=3，v3=3×2-4=2，v4=2×2+5=9，v5=9×2-6=12，故f(2)=12。联系：秦九韶算法通过反复“乘加”运算简化多项式求值，与“增乘开方法”开高次方时的迭代思想一致，均体现程序化计算的早期雏形。答：f(2)=12；算法联系见解析。20.传统文化中的概率思想（12分）《孔子家语》载：“哀公问于孔子曰：‘吾闻夔一足，信乎？’孔子曰：‘夔非一足也，……’”古代“占卜”用三枚铜钱，每枚铜钱有“正面”（有字）和“反面”（无字）两种状态，投掷后出现的所有可能结果称为“卦象”。（1）求三枚铜钱投掷一次，出现“两正一反”的概率；（2）若某“吉卦”要求至少两枚正面，求一次投掷出现吉卦的概率。解析：（1）总结果8种，“两正一反”有3种，概率P=3/8；（2）“至少