2025年高三数学高考面向核心素养的综合评价模拟试题

2025年高三数学高考面向核心素养的综合评价模拟试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.集合与逻辑推理的融合应用已知集合(A={x|x^2-3x+2\leq0})，(B={x|\log_2(x-a)<1})，若“(x\inA)”是“(x\inB)”的必要不充分条件，则实数(a)的取值范围是（）A.((-\infty,0])B.([0,1])C.([1,2])D.([2,+\infty))素养考查：数学抽象（集合概念的准确理解）、逻辑推理（充分必要条件的判定）。命题思路：通过不等式求解与集合关系分析，考查学生将文字条件转化为数学符号的抽象能力，以及利用逻辑推理判断参数范围的思维严谨性。2.函数与数学文化的创新结合魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”如图1，圆内接正(n)边形的边长为(a_n)，半径为(R)，则(a_n=2R\sin\frac{\pi}{n})。若(R=1)，记正(n)边形的周长为(L_n)，则(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{L_n}{n\cdota_n^2})的值为（）A.(\frac{1}{2})B.(1)C.(\pi)D.(2\pi)素养考查：数学文化（传统文化中的数学思想）、数学运算（极限运算与三角恒等变换）。命题思路：以古代数学成就为背景，引导学生从文化情境中抽象出数学模型，通过极限思想考查对“无限逼近”概念的理解，体现数学文化与理性思维的融合。3.立体几何与直观想象的动态探究在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(P)在棱(CC_1)上运动（不含端点），过点(P)作平面(\alpha)平行于平面(AB_1D_1)，则平面(\alpha)截正方体所得截面多边形的周长的最小值为（）A.(4\sqrt{2})B.(2\sqrt{2}+2\sqrt{5})C.(6\sqrt{2})D.(3\sqrt{6})素养考查：直观想象（空间几何体的动态截面分析）、数学运算（距离与周长的计算）。命题思路：通过动态点的运动，考查学生在三维空间中构建平面与几何体交线的能力，要求利用空间坐标系或几何性质转化问题，体现直观想象与逻辑推理的结合。4.概率统计与数据分析的生活实践某社区为评估“垃圾分类”宣传效果，随机抽取100户居民进行调查，得到如下列联表：了解分类知识不了解分类知识总计青年（≤40岁）351550中老年（>40岁）252550总计6040100附：(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)。(P(\chi^2\geqk))0.100.050.01(k)2.7063.8416.635根据表中数据，下列结论正确的是（）A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“了解分类知识与年龄有关”B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“了解分类知识与年龄无关”C.有99%以上的把握认为“了解分类知识与年龄有关”D.有99%以上的把握认为“了解分类知识与年龄无关”素养考查：数据分析（列联表与独立性检验）、数学建模（实际问题的统计模型构建）。命题思路：结合社会热点问题，考查学生对统计工具的应用能力，要求通过数据计算与临界值比较，做出合理推断，体现数学在解决现实问题中的决策价值。5.三角函数与物理情境的跨学科应用如图2，某简谐运动的位移(y)（单位：m）与时间(t)（单位：s）的关系满足(y=A\sin(\omegat+\varphi))（(A>0)，(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）。若该运动的振幅为2，图像经过点((0,1))，且在(t=\frac{\pi}{6})时首次到达最大值，则(\omega)的值为（）A.1B.2C.3D.4素养考查：数学建模（物理情境的数学化）、直观想象（三角函数图像的性质分析）。命题思路：以物理中的简谐运动为背景，要求学生从图像与文字信息中提取参数，建立三角函数模型，考查数学知识在跨学科问题中的迁移能力。6.数列与数学探究的开放设计已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+2^n)，记(b_n=\frac{a_n}{2^n})，则下列结论正确的是（）①数列({b_n})是等差数列②(a_n=n\cdot2^{n-1})③数列({a_n})的前(n)项和(S_n=(n-1)2^n+1)④若(c_n=\frac{a_n}{n})，则数列({c_n})的前(n)项和为(2^{n+1}-2)A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④素养考查：逻辑推理（数列递推关系的转化）、数学运算（错位相减法求和）。命题思路：通过构造新数列考查学生对递推公式的变形能力，同时设置多选项开放性问题，要求对多个结论进行严谨论证，体现思维的全面性。7.解析几何与优化思想的综合应用已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，过点(M(4,0))的直线(l)与(C)交于(A,B)两点，设(\overrightarrow{MA}=\lambda\overrightarrow{MB})（(\lambda>0)），则(\lambda+\frac{1}{\lambda})的最小值为（）A.2B.(\frac{9}{4})C.4D.(\frac{25}{9})素养考查：数学建模（直线与抛物线位置关系的参数化）、数学运算（韦达定理与函数最值求解）。命题思路：通过向量关系引入参数(\lambda)，将几何问题转化为代数运算，考查学生利用方程思想解决动态最值问题的能力，体现解析几何的核心素养。8.创新题型：结构不良问题的探究问题：已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)，若函数(f(x))在(x=-1)处取得极值，且在点((1,f(1)))处的切线斜率为4。请从以下两个条件中任选一个补充在横线上，求函数(f(x))的解析式。条件①：(f(0)=0)条件②：函数(f(x))的图像与(x)轴有且仅有一个交点素养考查：逻辑推理（极值与切线的条件转化）、数学探究（开放条件的选择与论证）。命题思路：借鉴PISA测试理念，设置结构不良问题，要求学生自主选择条件并完成解答，考查思维的灵活性与问题解决的创新性。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.向量与几何意义的结合在(\triangleABC)中，(AB=2)，(AC=3)，(\angleBAC=60^\circ)，点(D)在线段(BC)上，且(\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC})，则(xy)的最大值为________。素养考查：直观想象（向量的几何表示）、数学运算（基本不等式求最值）。10.概率与统计的实际应用某工厂为检测产品质量，从一批产品中随机抽取100件进行检验，发现有2件次品。若用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取3件，记次品数为(X)，则(E(X)=)，(D(X)=)。（本小题第一空2分，第二空3分）素养考查：数据分析（二项分布的期望与方差）、数学建模（实际问题的概率模型构建）。11.立体几何与空间向量的综合在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，则异面直线(A_1B)与(B_1C)所成角的余弦值为________。素养考查：直观想象（空间几何体的线线位置关系）、数学运算（空间向量的数量积）。12.数学建模：实际问题的抽象某快递公司为优化配送路线，在一个边长为10km的正方形区域内设置两个配送点(P,Q)，区域内任意一点到最近配送点的距离不超过5km。若(P)的坐标为((a,b))，(Q)的坐标为((c,d))，则(|a-c|+|b-d|)的最小值为________km。素养考查：数学建模（几何概型与区域覆盖问题）、直观想象（平面图形的位置关系分析）。三、解答题（本大题共6小题，共70分）13.三角函数与解三角形的综合（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(\sinA+\sinB=2\sinC)，且(\cos2C+2\cos(A+B)=-\frac{3}{2})。（1）求角(C)的大小；（2）若(\triangleABC)的面积为(\frac{3\sqrt{3}}{2})，求边(c)的长。素养考查：逻辑推理（三角恒等变换与正弦定理的应用）、数学运算（方程求解与面积公式）。14.立体几何与空间想象的深化（12分）如图3，在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)为菱形，(\angleBAD=60^\circ)，(PA\perp)平面(ABCD)，(PA=AB=2)，(E)为(PC)的中点。（1）证明：平面(BDE\perp)平面(ABCD)；（2）求二面角(A-BE-D)的余弦值。素养考查：直观想象（空间垂直关系的证明）、数学运算（空间向量法求二面角）。15.概率统计与决策分析（12分）为评估某款新能源汽车的续航性能，某检测机构进行了如下试验：随机选取10辆汽车，在不同温度(x(^\circC))下测试其续航里程(y(km))，得到数据如下表：(x)-100102030(y)280300320350380（1）根据表中数据，建立(y)关于(x)的线性回归方程(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a})；（2）若某地区冬季平均温度为(-5^\circC)，夏季平均温度为(25^\circC)，估计该地区冬季与夏季续航里程的差值（结果保留整数）；（3）为进一步优化电池性能，厂家计划在温度(x=-20^\circC)时进行测试，试分析用（1）中回归方程预测该温度下的续航里程是否合理，并说明理由。附：(\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2})，(\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x})。素养考查：数据分析（线性回归方程的求解）、数学建模（回归预测与结果评价）。16.函数与导数的综合应用（12分）已知函数(f(x)=e^x-ax-\sinx)（(a\in\mathbb{R})）。（1）当(a=1)时，证明：(f(x)\geq0)；（2）若函数(f(x))在((0,+\infty))上单调递增，求实数(a)的取值范围。素养考查：逻辑推理（导数与函数单调性的关系）、数学运算（导数不等式的求解）。17.解析几何与动态问题探究（12分）已知椭圆(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(E)的标准方程；（2）过点(P(0,1))的直线(l)与椭圆(E)交于(M,N)两点，是否存在直线(l)，使得以(MN)为直径的圆过点(Q(1,0))？若存在，求出直线(l)的方程；若不存在，说明理由。素养考查：数学建模（椭圆方程与直线方程的联立）、逻辑推理（存在性问题的探究与论证）。18.创新题型：数学建模与综合实践（12分）某物流公司计划在一个矩形区域(OABC)内建立两个快递分拣中心，如图4，(O(0,0))，(A(4,0))，(B(4,3))，(C(0,3))。为提高效率，要求两个分拣中心(P,Q)到原点(O)的距离之和不超过5km，且到边界(AB)的距离均不小于1km。设(P(x_1,y_1))，(Q(x_2,y_2))，其中(x_1,x_2\in[0,4])，(y_1,y_2\in[0,3])。（1）写出满足条件的约束条件（用不等式组表示）；（2）若每个分拣中心的日均处理量与到原点的距离成反比（比例系数为100），求两个分拣中心总日均处理量的最大值。素养考查：数学建模（实际问题的条件转化）、数学运算（不等式组表示与函数最值求解）。四、附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，选做一题）19.数列与不等式的综合（选做）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2+a_n})。（1）证明：数列({\frac{1}{a_n}+1})是等比数列；（2）设(b_n=\frac{a_n}{n})，证明：(b_1+b_2+\cdots+b_n<2)。20.矩阵与变换（选做）已知矩阵(M=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，向量(\alpha=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix})。（1）求矩阵(M)的特征