2025年高三数学高考批判性思维能力模拟试题

2025年高三数学高考批判性思维能力模拟试题一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合与逻辑推理的严谨性判断已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|ax-2=0})，命题(p)：“若(B\subseteqA)，则实数(a)的值为1或2”。下列说法正确的是（）A.命题(p)为真命题B.命题(p)的逆命题为假命题C.命题(p)的否命题为“若(B\nsubseteqA)，则实数(a)的值不为1且不为2”D.命题(p)的逆否命题为真命题批判性思维考查点：忽略空集的特殊情况：当(a=0)时，(B=\varnothing)，此时(B\subseteqA)仍成立，但命题(p)未考虑(a=0)的情形，因此原命题为假命题；四种命题的逻辑关系：逆命题为“若实数(a)的值为1或2，则(B\subseteqA)”，此时(B={2})或({1})，均满足(B\subseteqA)，逆命题为真命题；否命题的正确表述：“若(B\nsubseteqA)，则实数(a)的值不为1且不为2”，但因原命题为假，否命题与原命题真假性无关，需独立判断；逆否命题与原命题等价性：原命题为假，故逆否命题为假。正确选项：C2.函数性质的多角度辨析已知函数(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2})，(g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2})，下列命题中正确的是（）①(f(x)g(x)=g(2x))②对任意(x\in\mathbb{R})，(f(-x)=-f(x))且(g(-x)=g(x))③若(f(x_1)=f(x_2))，则(x_1=x_2)④方程(f(x)=g(x))有且仅有一个实数解A.①②B.②③C.②④D.③④批判性思维考查点：代数变形的严谨性：(f(x)g(x)=\frac{(e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})}{4}=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{4}=\frac{1}{2}f(2x)\neqg(2x))，故①错误；奇偶性的定义验证：(f(-x)=-f(x))（奇函数），(g(-x)=g(x))（偶函数），②正确；单调性与方程解的关系：(f(x))为(\mathbb{R})上的增函数（导数(f'(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0)），故若(f(x_1)=f(x_2))，则(x_1=x_2)，③正确；方程求解的全面性：(f(x)=g(x))即(\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2})，化简得(-e^{-x}=e^{-x})，即(e^{-x}=0)，无解，④错误。正确选项：B二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.统计数据的合理性分析某学校为评估学生数学学习能力，随机抽取100名学生进行测试，成绩（满分100分）分布如下表：成绩区间[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51020302510该校宣传称“本校学生数学成绩平均分为75分”，若此说法成立，则[70,80)区间的实际人数应为________（精确到整数）。批判性思维考查点：平均数计算的隐含条件：设[70,80)区间人数为(x)，则[80,90)和[90,100]区间人数需调整为(55-x)（总人数100）。加权平均数公式：[\frac{45\times5+55\times10+65\times20+75x+85(55-x)+95\times10}{100}=75]解得(x\approx33)，需验证调整后各区间人数非负（(55-x=22\geq0)），故答案为33。15.立体几何的动态问题探究在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(P)在棱(CC_1)上运动，当二面角(P-AB-D)的平面角为(45^\circ)时，(CP)的长度为________。批判性思维考查点：动态问题的静态转化：以(D)为原点建立空间直角坐标系，设(P(2,2,t))（(0\leqt\leq2)），平面(ABD)的法向量为(\vec{n_1}=(0,0,1))，平面(PAB)的法向量(\vec{n_2}=(0,2,-t))。二面角公式的应用：[\cos\theta=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{t}{\sqrt{4+t^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}]解得(t=2)（(t=-2)舍），此时(P)与(C_1)重合，(CP=2)。需验证二面角的平面角与法向量夹角的关系（锐角或钝角），此处(\theta=45^\circ)符合题意。三、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）函数与导数的批判性证明已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a>0)）。（1）讨论(f(x))的单调性；（2）若(f(x))在(x=1)处取得极大值，求证：(a>\frac{1}{2})。批判性思维考查点：导数计算的准确性：(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))，需避免求导符号错误；极值点的必要条件：(f'(1)=0)是(x=1)为极值点的必要条件，但需验证二阶导数或导数符号变化。反证法的应用：假设(a\leq\frac{1}{2})，当(x\in(1,+\infty))时，(\lnx>0)，(-2a(x-1)\geq-(x-1))，则(f'(x)\geq\lnx-(x-1))。令(g(x)=\lnx-x+1)，(g'(x)=\frac{1}{x}-1<0)，故(g(x)<g(1)=0)，即(f'(x)<0)，(x=1)为极大值点矛盾，因此(a>\frac{1}{2})。21.解析几何的多解性探究已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，探究直线(l)是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由。批判性思维考查点：椭圆方程的求解：由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(a^2=4b^2)，代入点((2,1))得(b^2=2)，(a^2=8)，椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。联立方程的韦达定理应用：设(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，联立(\begin{cases}y=kx+m\x^2+4y^2=8\end{cases})得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，判别式(\Delta=64k^2m^2-4(1+4k^2)(4m^2-8)>0)。(OA\perpOB)的转化：(x_1x_2+y_1y_2=0)，代入(y_1y_2=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2)，化简得(5m^2=8(1+k^2))，即(m=\pm\frac{2\sqrt{10}}{5}\sqrt{1+k^2})。定点的验证：直线(l:y=kx\pm\frac{2\sqrt{10}}{5}\sqrt{1+k^2})，当(x=0)时，(y=\pm\frac{2\sqrt{10}}{5}\sqrt{1+k^2})，随(k)变化，故直线不过定点，需强调“定点与参数无关”的核心条件。四、附加题（共1小题，10分，不计入总分，供学有余力的学生选做）23.数学建模的批判性评估某工厂生产一种零件，已知生产(x)个零件的成本为(C(x)=2x+\frac{10000}{x}+500)（元），销售收入为(R(x)=10x-0.001x^2)（元）。工厂提出“当产量为1000个时，利润最大”的结论，试用导数工具分析该结论是否正确，并说明理由。批判性思维考查点：利润函数的定义：(L(x)=R(x)-C(x)=8x-0.001x^2-\frac{10000}{x}-500)（(x>0)）。导数求极值：(L'(x)=8-0.002x+\frac{10000}{x^2})，令(L'(1000)=8-2+0.01=6.01>0)，故(x=1000)不是极值点，原结论错误。实际意义的考量：成本函数中(\frac{10000}{x})为固定成本分摊，需验证(x)的定义域（正整