黑龙江省哈尔滨兆麟中学、阿城一中、尚志中学等六校2025-2026学年高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

黑龙江省哈尔滨兆麟中学、阿城一中、尚志中学等六校2025-2026学年高二数学第一学期期末调研模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（）A. B.C. D.2．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（）A. B.C. D.3．已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1 B.C.1或 D.4．已知双曲线E的渐近线为，则其离心率为（）A. B.C. D.或5．已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为A. B.C. D.6．在三棱锥中，，，，若，，则（）A. B.C. D.7．如图为学生做手工时画的椭圆(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为，则（）A. B.C. D.8．若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，9．已知向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.11．已知，，若，则（）A.6 B.11C.12 D.2212．已知函数在处取得极值，则的极大值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数据：1，1，3，4，6的方差是______.14．秦九韶出生于普州（今资阳市安岳县），是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个次多项式写成个一次式相组合的形式，如可将写成，由此可得__________15．点为椭圆上的一动点，则点到直线的距离的最小值为___________.16．双曲线的左焦点到直线的距离为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，且（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前n项和18．（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥C—PBD的体积.19．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上（1）经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；（2）设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点20．（12分）已知数列满足，，.（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆E于A，B两点．当轴时，（1）求椭圆E的方程；（2）求的范围22．（10分）已知O为坐标原点，点P在抛物线C：上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线的距离为d，且.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若过点的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据角终边上有一点，得到，再根据为锐角，且，求得，再利用两角差的正切函数求解.【详解】因为角终边上有一点，所以，又因为为锐角，且，所以，所以，故选：C2、B【解析】利用求解.【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B3、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A4、D【解析】根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可求解.【详解】当双曲线焦点在x轴上时，渐近线为，故离心率为；当双曲线焦点在y轴上时，渐近线为，故离心率为；故选：D.5、B【解析】先根据离心率得，再根据抛物线定义得最小值为（为抛物线焦点），解得，即得结果.【详解】因为双曲线的离心率，所以，设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，即双曲线的方程为，选B.【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.6、B【解析】根据空间向量的基本定理及向量的运算法则计算即可得出结果.【详解】连接,因为，所以，因为，所以，所以,故选：B7、D【解析】根据图知分别得到椭圆、、的半长轴和半短轴，再由求解比较即可.【详解】由图知椭圆的半长轴和半短轴分别为：，椭圆的半长轴和半短轴分别为：，椭圆的半长轴和半短轴分别为：，所以，，，所以，故选：D8、C【解析】根据空间向量共面的条件即可解答.【详解】对于A，由，所以，，共面；对于B，由，所以，，共面；对于D，，所以，，共面，故选：C.9、A【解析】根据得出，根据充分必要条件的定义可判断.【详解】解：∵，向量，，∴，即，根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件，故选：A.10、A【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】依题意，，设平面的法向量，则，令，得，则点到平面的距离为，所以点到平面的距离为.故选：A11、C【解析】根据递推关系式计算即可求出结果.【详解】因为，，，则，，，故选：C.12、B【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；【详解】解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##3.6【解析】先计算平均数，再计算方差.【详解】该组数据的平均数为，方差为故答案为：14、【解析】利用代入法进行求解即可.【详解】故答案为：15、【解析】设与平行的直线与相切，求解出此时的方程，则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.【详解】设与平行的直线，当与椭圆相切时有：，所以，所以，所以，由题意取时，到直线的距离较小此时与（即）的距离为，所以点到直线距离的最小值为，故答案为：.16、【解析】根据双曲线方程求得左焦点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线的方程为，设其左焦点的坐标为，故可得，解得，故左焦点的坐标为，则其到直线的距离.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，（2）【解析】（1）根据公式得到，得到，再根据等比数列公式得到答案.（2）根据等差数列定义得到，再利用错位相减法计算得到答案.【小问1详解】，当时，，得到；当时，，两式相减得到，整理得到，即，故，数列是首项为，公比为的等比数列，，即，验证时满足条件，故.【小问2详解】，故，，，两式相减得到：，整理得到：，故.18、(1)见解析（2）【解析】本试题主要是考查了线面平行的判定和三棱锥体积的求解的综合问题．培养了同学们的推理论证能力和计算能力（1）根据已知的条件关键是分析出EF//PA，利用线面平行判定定理得到（2）根据上一问中的结论可知PM⊥平面ABCD.然后利用转换顶点的思想求解棱锥的体积解：（Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在CPA中，EF//PA，且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD（Ⅱ）取AD的中点M，连接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD.在直角PAM中，求得PM=，∴PM=19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的方程为代入点的坐标求出椭圆的方程，再利用点差法求解；（2）由题得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得韦达定理，根据和韦达定理得到，即得证.【小问1详解】解：由题设椭圆的方程为因为椭圆经过点，所以所以椭圆的方程为.设，所以，所以，由题得，所以，所以，所以，所以直线的斜率为.【小问2详解】解：由题得当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组y=kx+nx24所以，解得①，设，，，，则②，因为，则，，，又，，所以③，由②③可得（舍或满足条件①，此时直线的方程为，故直线过定点20、（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）由已知条件，可得为常数，从而得证数列是等比数列，进而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用错位相减法即可求解数列的前项和.【小问1详解】证明：由题意，因为，，，所以，，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以；【小问2详解】解：由（1）可得，又，所以，所以，所以，所以，，所以，所以.21、（1）（2）【解析】（1）根据离心率及通径长求出椭圆方程；（2）分直线AB斜率存在和斜率不存在两种情况得到的范围，进而得到答案.【小问1详解】当轴时，取代入椭圆方程得：，得，所以，又，解得，，所以椭圆方程为【小问2详解】由，记，当轴时，由（1）知：，所以，当AB斜率为k时，直线AB为，，消去y得，所以，，所以，综上，的范围是.22、（1）；（2）或.