高三数学理科 客观题专练 (12)解析几何

解析几何(12)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·贵州遵义期中]已知直线l：eq\r(3)x＋y＋2017＝0，则直线l的倾斜角为()A．150°B．120°C．60°D．30°答案：B解析：设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π)．则tanα＝－eq\r(3)，可得α＝120°.故选B.2．[2019·浙江金华模拟]过点(－10，10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为()A．x－y＝0B．x＋4y－30＝0C．x＋y＝0或x＋4y－30＝0D．x＋y＝0或x－4y－30＝0答案：C解析：该直线经过原点即横截距与纵截距均为0时，它的方程为eq\f(y－0,10－0)＝eq\f(x－0,－10－0)，即x＋y＝0.当它不经过原点时，设它的方程为eq\f(x,4a)＋eq\f(y,a)＝1，把点(－10，10)代入可得eq\f(－10,4a)＋eq\f(10,a)＝1，求得a＝eq\f(15,2).此时它的方程为eq\f(x,30)＋eq\f(2y,15)＝1，即x＋4y－30＝0.综上可得，直线方程为x＋y＝0或x＋4y－30＝0，故选C.3．[2019·浙江宁波调研]已知圆C的圆心坐标为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝4B．(x－2)2＋(y－1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16答案：C解析：根据圆C的圆心坐标为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径为4，故所求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16，故选C.4．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0答案：A解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－eq\f(1,kPQ)＝－eq\f(1,\f(4－2,1－3))＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.5．[2019·广东江门一模]“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行的充要条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a×a＋1＝2×3，,a×－2≠2a×2，))即a＝2或a＝－3.又“a＝2”是“a＝2或a＝－3”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的充分不必要条件，故选A.6．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2eq\r(6)B．8C．4eq\r(6)D．10答案：C解析：通解设圆心为P(a，b)，由点A(1，3)，C(1，－7)在圆上，知b＝eq\f(3－7,2)＝－2.再由|PA|＝|PB|，得a＝1.则P(1，－2)，|PA|＝eq\r(1－12＋3＋22)＝5，于是圆P的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.令x＝0，得y＝－2±2eq\r(6)，则|MN|＝|(－2＋2eq\r(6))－(－2－2eq\r(6))|＝4eq\r(6).优解由题意可知AC为圆的直径，|AC|＝10，∴r＝5.AC的中点(1，－2)为圆心，到y轴距离为1.∴|MN|＝2eq\r(52－12)＝4eq\r(6).7．[2019·湖南益阳模拟]点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＜－1或a＞1D．a＝±1答案：A解析：因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，即eq\r(1－a2＋[1－－a]2)＜2，两边平方得(1－a)2＋(a＋1)2＜4，化简得a2<1，解得－1＜a＜1，故选A.8．直线l过点(2，2)，且点(5，1)到直线l的距离为eq\r(10)，则直线l的方程是()A．3x＋y＋4＝0B．3x－y＋4＝0C．3x－y－4＝0D．x－3y－4＝0答案：C解析：由已知，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以eq\f(|5k－1＋2－2k|,\r(k2＋－12))＝eq\r(10)，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0.9．[2019·安徽皖东四校联考]若直线l：4x－ay＋1＝0与圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4相切，则实数a的值为()A.eq\f(15,28)B.eq\f(28,15)C.eq\f(15,28)或1D.eq\f(28,15)或1答案：A解析：据题意，得圆心C(－2，2)到直线l：4x－ay＋1＝0的距离d＝eq\f(|－2×4＋－a×2＋1|,\r(16＋a2))＝2，解得a＝eq\f(15,28).故选A.10．[2018·全国卷Ⅲ]直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)]D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]答案：A解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝eq\r(2)，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2eq\r(2)，可得dmax＝2eq\r(2)＋r＝3eq\r(2)，dmin＝2eq\r(2)－r＝eq\r(2).由已知条件可得AB＝2eq\r(2)，所以△ABP面积的最大值为eq\f(1,2)×AB×dmax＝6，△ABP面积的最小值为eq\f(1,2)×AB×dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．故选A.11．[2019·湖南省湘东五校联考]圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.12．[2019·南昌市NCS0607摸底调研考试]已知动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，若M是线段AB的中点，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的值为()A．3B．2eq\r(3)C．2D．－3答案：A解析：解法一动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接OA，OB.因为|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形，于是不妨设动直线l为y＝eq\r(3)(x＋2)，如图所示，根据题意可得B(－2，0)，A(－1，eq\r(3))，因为M是线段AB的中点，所以M(－eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))．设C(x，y)，因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，所以(－2－x，－y)＝eq\f(5,2)(－1－x，eq\r(3)－y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－x＝\f(5,2)－1－x，,－y＝\f(5,2)\r(3)－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(5\r(3),3)，))所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(5\r(3),3)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(5\r(3),3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(5,2)＝3.故选A.解法二连接OA，OB，因为直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形．因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，又M为AB的中点，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)\o(OA,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(OB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\f(5,6)eq\o(OA2,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB2,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos60°＝eq\f(5,6)×4－eq\f(1,3)×4＋eq\f(1,2)×2×2×eq\f(1,2)＝3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2019·江苏扬州期末]若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则l1，l2间的距离为________．答案：eq\f(\r(5),2)解析：因为两直线平行，所以eq\f(m,4)＝eq\f(1,2)，解得m＝2.在直线x－2y＋4＝0上取一点(0，2)，点(0，2)到直线l2：2x－4y＋3＝0的距离d＝eq\f(|0－8＋3|,\r(22＋－42))＝eq\f(\r(5),2).14．与直线x－y－4＝0和圆A：x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：如图，易知所求圆C的圆心在直线y＝－x上，故设其坐标为C(c，－c)，半径为r，又其直径为圆A的圆心A(－1，1)到直线x－y－4＝0的距离减去圆A的半径eq\r(2)，即2r＝eq\f(6,\r(2))－eq\r(2)＝2eq\r(2)⇒r＝eq\r(2)，即圆心C到直线x－y－4＝0的距离等于eq\r(2)，故有eq\f(|2c－4|,\r(2))＝eq\r(2)⇒c＝3或c＝1，当c＝3时圆C在直线x－y－4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.15．[2019·浙江舟山模拟]已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是________．答案：{1，－1，3，－3}解析：因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．16．[2019·昆明市高三复习教学质量检测]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．答案：5解析：通解∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，∴A(0，0)，B(1，3)．当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△A