山西省长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山西省长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知复数，则下列结论正确的是（

）A．z在复平面对应的点位于第三象限 B．C．z的虚部是 D．3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（

）A． B． C． D．4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（

）A．第85百分位数为18 B．众数为12C．中位数为17 D．平均成绩为145．已知正实数满足，则下列说法不正确的是（）A．的最小值是4 B．的最大值是C．的最大值是 D．的最大值是6．已知直线，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知，，，，，则直线到平面的距离为（

）A． B． C． D．8．函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（

）A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]二、多选题9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．下列论述正确的是（

）A．若事件，则B．必然事件与任意事件相互独立C．若事件M，N互斥，且，，则D．若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥11．已知关于的不等式的解集为或，则（

）A．B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为三、填空题12．写出同时满足下列条件的一个函数的解析式.①为幂函数；②为偶函数；③在区间上单调递减.13．，，则向量在向量上的投影向量是．14．已知函数的图象经过点，则；若在区间上单调递增，则的取值范围为．四、解答题15．设的内角所对的边分别是，且向量与共线，(1)求；(2)若，，求边上的高.16．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值.17．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数；(2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？(3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．18．如图，四棱锥中，平面，，，，.

(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，①求线段的长；②求平面与平面所成角的余弦值.19．已知定义在上的函数是奇函数.(1)求a，b的值；(2)判断并证明函数在定义域中的单调性；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《山西省长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题》参考答案题号12345678910答案CBBABCDDADBCD题号11答案BCD1．C【分析】解绝对值不等式，再根据集合交集运算求解即可.【详解】由，则，故选：C.2．B【分析】根据复数的运算法则，可得，结合复数的几何意义，复数的模、复数的概念及共轭复数的概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数，可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，所以A错误；又由，所以B正确；由复数的基本概念，可得复数的虚部为，所以C错误；由共轭复数的概念，可得，所以D错误.故选：B.3．B【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与.【详解】因为，，所以，因为与垂直，所以，解得，所以，所以，故选：B.4．A【分析】由百分位数、众数、中位数、平均数的定义求出即可.【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，对于A：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A正确；对于B：众数为17，故B错误；对于C：中位数为：，故C错误；对于D：平均数，故D错误；故答案为：A.5．B【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断．【详解】因为正实数满足，对于A：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确；对于B：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是，故B错误；对于C：因为，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确；对于D：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故D正确.故选：B．6．C【分析】根据两直线平行求出参数的值，再根据充要条件的定义判断可得；【详解】解：直线，直线，时，，，即，，当时，，解得，“”是“”的充要条件．故选：．7．D【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可.【详解】，，，，显然，所以，而平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离．设平面的法向量为，则,令，得，所以点到平面的距离为，所以直线到平面的距离是．故选：D8．D【分析】由函数的单调性可求解．【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，则，解得．故选：D．9．AD【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案.【详解】若，则，即有，即，即有3，故A正确，C错误；若，则，即有，可得，解得，则，故B错误，D正确.故选：AD.10．BCD【分析】利用概率的性质判断A；利用相互独立事件的意义判断B；利用事件的运算及概率运算判断C；利用相互独立事件的意义、互斥事件的意义判断D.【详解】对于A，由事件，得，当且仅当取等号，A错误；对于B，对任意事件，，，B正确；对于C，由事件M，N互斥，得，，C正确；对于D，由事件M，N相互独立，，，因此M，N不互斥，D正确.故选：BCD11．BCD【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误.【详解】A：因为关于的不等式的解集为或，所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错；B：由A得，，所以，，因为，，所以，对；C：不等式可化为，因为，所以，对；D：不等式可化为，又，所以，即，解得，对.故选：BCD12．（答案不唯一）【分析】根据幂函数、偶函数、函数的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，是幂函数，偶函数，且在区间上单调递减，所以中，是偶数且为负数，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）13．【分析】由投影向量计算公式即可直接求解.【详解】向量在向量上的投影向量是：．故答案为：14．【分析】点代入，得，求得；利用整体思想是的子集，列不等式求出，并赋值求解即可.【详解】因为函数的图象经过点，所以，因为，所以．时，，因为在区间上单调递增，所以，所以，解得，，因为，所以，当时，，又因为，所以．当时，这样的不存在.故答案为：；.15．(1)(2)【分析】（1）利用向量共线的坐标表示以及正弦定理求解；（2）利用余弦定理和面积公式求解.【详解】（1）因为向量与共线，所以，边化角可得，，因为，所以，所以，即，因为，所以.（2）由余弦定理，可得，整理得，解得或（舍），所以，即，解得.16．（1）；（2）.【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出的长；（2）分别求出的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线与所成角的余弦值．【详解】解：（1），（2），所以直线BD1与AC所成角的余弦值为.17．(1)，平均数约为74(2)6人(3)，36【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可；（2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可；（3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可.【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得，样本成绩的平均数约为．（2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人），其中样本答卷成绩在的市民人数为，用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）．（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以总平均数，总方差.18．(1)证明见解析；(2)①；②【分析】（1）先由题设依次求出、，再由线面垂直判定定理即可得证；（2）①取中点，连接、，求证平面得到为直线与平面所成角，接着由正弦函数定义求出即可求解；②建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量即可由空间角的向量法公式计算求解.【详解】（1）因为，，所以，又，所以，，所以，所以，则，即，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面；（2）①取中点，连接、，则由（1）得，且，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，所以，②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，

所以，所以平面与平面所成角的余弦值为.19．(