2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练(新高考专用)-专题2.3 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】(讲义)(解析版)

专题2.3函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】【新高考专用】1、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性本节是高考的重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，综合性强，考查难度较大.【知识点1函数的单调性与最值的求法】1．求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.3．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4．复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.2．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.3．常见奇偶性函数模型(1)奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．(2)偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．④常数函数.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2024·全国·模拟预测）下列函数中，在区间0,+∞上是减函数的是（

）A．y=−3x+2 B．y=x3 C．y=x【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果.【解答过程】选项A：任取x1>x又x2−x1<0，所以y1−选项B：任取x1>x又x1−x2>0,x12+选项C：任取x1>x又x1−x2>0,x1+x选项D：任取x1>x又x1−x2>0,x1x2故选：A.【变式1-1】（2024·海南海口·模拟预测）函数f(x)=x2−4|x|+3A．(−∞,−2) B．(−C．(−2,2) D．(−2,0)和(2,+【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【解答过程】fx则由二次函数的性质知，当 x≥0时，y=x2当x<0，y=x2+4x+3=故fx的单调递减区间是(−∞,−2)故选：B.【变式1-2】（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间(−∞,0)上单调递减的是（A．f(x)=x B．f(x)=−C．f(x)=x2+2x【解题思路】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断．【解答过程】在(−∞,0)上，f(x)=x是增函数，f(x)=x2+2x在(−x<0时，f(x)=x故选：D．【变式1-3】（2024·江西·二模）已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+∞C．12,+∞【解题思路】先根据题目条件求出a的值，再根据二次函数的性质求出g(x)的单调递增区间【解答过程】解：依题意，a+3=a+32−2,a<0≤a+3,解得a＝－1，故gx=−故选：D.【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1在2,6A．2,6 B．−C．4,12 D．−【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【解答过程】函数fx=−x2+ax+1的图象对称轴为x=所以a的取值范围为4,12.故选：C.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若函数f(x)=4|x−a|+3在区间[1,+∞)上不单调，则a的取值范围是（A．[1,+∞) C．(−∞,1) 【解题思路】先分析f(x)的单调性，再列不等式即可求解.【解答过程】因为函数f(x)=4|x−a|+3在(−∞,a)上单调递减，在又函数fx在区间[1,+∞)故选：B．【变式2-2】（2024·天津河北·一模）设a∈R，则“a>−2”是“函数fx=2x2+4ax+1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.【解答过程】函数fx=2x由函数fx=2x2+4ax+1在2,+所以“a>−2”是“函数fx=2x故选：A.【变式2-3】（23-24高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知函数fx=−x2+2ax+4,x⩽1,1A．−1,−12 C．−1,−12 【解题思路】首先分析知，x>1，函数单调递减，则x⩽1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x>1时，fx=当x⩽1时，fx=−x2若fx是−12,+∞故选：A.【题型3函数的最值问题】【例3】（2024·安徽淮北·二模）当实数t变化时，函数fx=xA．2 B．4 C．6 D．8【解题思路】先对内函数y=x2+t对应的方程的根的情况分类讨论，得出t≥0【解答过程】若△=−4t≤0，即t≥0时，f(x)=x2+t，其对称轴为x=0此时，因t≥0，故g(t)=t+16的最小值为16；若t<0，由y=x2+t=0（Ⅰ）如图1，当−t≤4时，即−16≤t<0时，fx=在[−−t在[0,−t]上递减，在[−t①当−16≤t≤−8时，t+16≤−t，故fxmax=−t，而g(t)=−t减，则此时，g(t)②当−8<t<0时，t+16>−t，故fxmax=t+16，而ℎ(t)=t+16递增，则此时，g(t)>ℎ(−8)=8.（Ⅱ）如图2，当−t>4，即t<−16时，fx=x2则此时fxmax=f(0)=|t|=−t，而φ(t)=−t在(−综上，函数fx故选：D.【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）若fx=x+2+3x−aA．6或−18 B．−6或18C．6或18 D．−6或−18【解题思路】分a>−6，a<−6，a=−6三种情况，得出每种情况下fx的最小值，令其为4，解出a【解答过程】当a>−6时，fx∴fxmin=f当a<−6时，fx∴fxmin=f当a=−6时，fx=4x+2故选：A.【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若对于任意的x，y∈(0,+∞)，都有f(x)+f(y)=f(xy)+2，当x>1时，都有f(x)>2，且f(3)=3，则函数f(x)在区间A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】令x=y=1可得f(1)=2，再令x=y=3可得f(9)=4，再令x=3,y=9即可得f(27)，再利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数，故f(27)的值即为所求.【解答过程】令x=y=1，则f(1)=2，令x=y=3有f(3)+f(3)=f(9)+2，又f(3)=3，所以f(9)=4，令x=3,y=9，所以f(3)+f(9)=f(27)+2，所以f(27)=5，设x2>x1>0所以fx则fx1<fx2所以函数f(x)在区间[1,27]上的最大值为f(27)=5.故选：D.【变式3-3】（2024·全国·三模）已知函数fx=bx−b+3x3在−1,1上的最小值为−3A．−∞,−4 B．9,+∞ C．−4,9【解题思路】由已知可得当−1≤x<1时，可得bx【解答过程】因为f1=−3，函数fx=bx−b+3所以对∀x∈−1,1，f所以bx−b+3x3当x=1时，b∈R当−1≤x<1当x=0或x=当0<x<1时，b≥−3因为x2+x∈0,2，所以1x2所以b≥−9当−1<x<0时，b≤−31+因为x2+x∈−14,0，所以所以b≤9.综上可得，实数b的取值范围是−9故选：D.【题型4函数的奇偶性及其应用】【例4】（2024·广东惠州·模拟预测）已知f(x)在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x−1，则f(f(−1))=A．2 B．−2 C．1 D．−1【解题思路】利用函数奇偶性，由内向外求值即可.【解答过程】由题意f(−1)=−f(1)=2，所以f(f(−1))=f(2)=−1.故选：D.【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）若函数f(x)=lnx+12(x−1)+a是奇函数，则实数A．2 B．−2 C．ln2 D．【解题思路】根据f(−x)=−f(x)得到a的方程求解即可【解答过程】f(−x)=ln−x+12(−x−1)+a=lnlnx−12(x+1)+a=−因此a=ln故选：C．【变式4-2】（2024·河南·模拟预测）已知fx是定义在R上的偶函数，∀x∈R,f4−x=fx，当x∈−2,0时，fA．−2 B．0 C．−6 D．−4【解题思路】根据题意，推得fx+4=fx，得到fx是周期为4的函数，结合x∈−2,0【解答过程】因为fx是定义在R上的偶函数，∀x∈R,f可得f4−x=fx所以函数fx可得f2023又因为当x∈−2,0时，f可得f−1=f1故选：C.【变式4-3】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx满足：对任意实数x，y，都有ffx+y=fxA．fx+1为奇函数 B．fC．fx+1为偶函数 D．f(x)−1【解题思路】由题意令x=y=0，可得f1=2，令y=−x，可得2=fx+f−x【解答过程】令x=y=0，则ff0=f0+f令y=−x，则ff即f1=fx所以y=f(x)关于(0,1)对称，所以fx+1关于(−1,1)f(x)+1关于(0,2)对称，故B不正确；由A可知|fx+1|关于由A可知f(x)−1关于(0,0)对称，故f(x)−1为奇函数，所以|f(x)−1|为偶数，故D正确.故选：D.【题型5函数的对称性与周期性综合】【例5】（2024·河北·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且f2x+1为奇函数，f2x+4A．fx的周期为2 B．fx图象关于直线C．fx+1为偶函数 D．f【解题思路】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.【解答过程】f2x+1为奇函数，得f即fx+1+f−x+1且fx图象关于点1,0f2x+4=f2xfx=fx+4，又fx图象关于点所以fx+4=−f2−x，得f则fx+3关于点0,0对称，所以f故选：D.【变式5-1】（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数fx的定义域为R，ffx+y=fxA．f0=0 B．C．f2024=2024 D．fx【解题思路】利用赋值法x=1,y=0可得f0=0，即可判断A，利用y=−x，即可根据奇函数的定义判断B，利用ffx+1−x=f【解答过程】取x=1,y=0，则ff1=f1+f取y=−x，则ffx−x=fx+f对任意的x都有ffx+1−x=f因此fx的图象关于点1由于1=fx+f1−x且fx是奇函数，得因此f2故选：D.【变式5-2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数fx满足：fx+fx+2+fA．fxB．fC．fD．fx图象的一个对称中心为【解题思路】先证明fx+4=fx【解答过程】对于A，由于fx+1f从而fx+2+1fx+4+1=2，这就得到所以fx对于B，C，D，取fx=0,x∈4k−1k∈Z1,x∈4k+1k∈Z2−1,x∉2k−1k∈Z，则fx满足条件，但f故选：A.【变式5-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足f2x+6=f−2x，且①f(2024)=1；②fx的图象关于直线x=−3③fx④k=12025其中结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可.【解答过程】因为fx−1所以fx+1所以fx−1=fx+3所以fx令x=−1，得f−2则f0=0，从而因为f2x+6所以fx+6所以f−x所以fx的图象关于直线x=−3易得fx的周期为4，且其图象关于直线x=−3及x=3则直线x=−3+4n及x=3+4nn∈Z均为f从而f−2令x=32，得即f1则f1故k=1=1−2−3+4故选：C.【题型6利用函数的性质比较大小】【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x=f1−x，且fx在A．f4<f1C．f1<f2【解题思路】由f3+x=f1−x【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f又因为fx在2，+所以f4<f3故选：A．【变式6-1】（2024·河北·三模）已知a=112−115,b=115A．a>b>c B．a>c>bC．a<b<c D．c>a>b【解题思路】分子有理化，化简后根据函数y=−3【解答过程】由题意可知，a=112c=118−11=−3118+121，由故选：C.【变式6-2】（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在R上的函数fx满足f1−x=f3+x，且在−∞,2上单调递增，a=fπA．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【解题思路】由题意确定对称轴为x=2，进而确定函数单调性，由单调性即可判断.【解答过程】由已知得函数fx的图象关于直线x=2所以fx在−∞,2所以f0<f3．又2<因为π−2>2−3，所以故f0<fπ故选：D.【变式6-3】（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数y=f(x)为定义在R上的偶函数，且对任意x1,x2∈[0,+A．f(−3)>f(−2)>f(1) B．f(−2)>f(1)>f(−3)C．f(−3)>f(1)>f(−2) D．f(1)>f(−2)>f(−3)【解题思路】由函数y=f(x)为定义在R上的偶函数可得f(−3)=f3,f(−2)=f2【解答过程】因为函数y=f(x)为定义在R上的偶函数，所以f(−3)=f3因为对任意x1,x2∈[0,+即有y=f(x)在[0,+∞所以f(−3)=f3故选：D.【题型7利用函数的性质解不等式】【例7】（2024·陕西商洛·一模）已知函数f(x)=−2x3−3x+2，若不等式fa2A．(−∞,−2)∪(3,+∞) B．(−2,3) C．【解题思路】构造函数g(x)，验证其为奇函数，再将问题转化为ga【解答过程】设g(x)=f(x)−2=−2x3−3x，则g(−x)=2不等式fa2即不等式g因为g(x)是奇函数，所以g易证g(x)是R上的减函数，则a2−1<a+5，即a2故选：B.【变式7-1】（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数fx在0,+∞上单调递增，则不等式f2x+1A．−∞,−2∪C．−2,0 D．−1,0【解题思路】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可.【解答过程】由f2x+1−fx−1令gx=fx+x2，因为fx是偶函数，且在0,+∞上单调递增，所以gx故选：A.【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数y=f(x)的定义域是−∞,0∪0,+∞，对任意的x1，x2∈0,+∞，x1≠xA．−1,0∪0,1 C．−∞,−1∪【解题思路】由题意，构造函数g(x)=xf(x)，判断函数g(x)的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【解答过程】由函数y=f(x+1)图象关于点(−1,0)中心对称，知函数f(x)图象关于点(0,0)中心对称，所以f(x)为奇函数.令g(x)=xf(x)，则g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)为偶函数，对于∀x1,x2∈(0,+∞所以g(x)在(−∞由f(1)=4，得g(1)=4，g(−1)=4，当x>0时，f(x)>4x变形为xf(x)>4，即g(x)>g(1)，解得当x<0时，f(x)>4x变形为xf(x)<4，即g(x)<g(−1)，解得综上，不等式f(x)>4x的解集为故选：B.【变式7-3】（2024·广西柳州·三模）设函数fx是定义在R上的奇函数，且对于任意的x，y∈R，都有fx−fy<x−yA．−1,2 B．1,2C．−∞,−1∪【解题思路】由f(x)的奇偶性可判断g(x)也为奇函数，然后结合|f(x)−f(y)|<|x−y|，及单调性的定义可判断g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．【解答过程】∵g(x)−f(x)=x，∴g(x)=f(x)+x，由于fx是定义在R上的奇函数，即f∴g(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=−g(x)，故gx∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)−f(y)|<|x−y|∴g(x)−x当x≠y时，有g(x)−g(y)−(x−y)|x−y|即g(x)−g(y)x−y∴0<g(x)−g(y)x−y<2，∵g(2x−x∴g(2x−x∴2x−x整理可得，x2解可得，x>2或x<1，故选：D.【题型8抽象函数的性质综合】【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对于任意实数x，y满足fx+y+fx−y=fA．f0=2 B．C．fx为奇函数 D．【解题思路】由条件等式通过取特殊值求f0，f2由此判断A，D，再取特殊值确定f(x)，【解答过程】因为∀x,y∈R，f取x=1，y=0可得f1+f1=f1取x=0，y=x可得fx+f−x=f0fx取x=1，y=1可得f2+f0=f1所以f2故选：C.【变式8-1】（2024·安徽·二模）已知函数y=fxx≠0满足fxy=fx+fyA．fx为奇函数 B．若f2x+1C．若f2=12，则f1024【解题思路】根据赋值法可得f1=1，f−1=1，进而可得f−x【解答过程】令x=1，y=−1，f−1=f1令x=−1，y=−1，f令y=−1，得f−x=fx任取x1，x2∈0,+∞则fx2=fx1由已知f2x+1>1，可得f2x+1>f1，故2x+1若f2=1若f12=2，则ff125故选：C．【变式8-2】（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fy=fxA．f23=6C．fx为奇函数 D．fx在区间【解题思路】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.【解答过程】令x=y=13，则所以2f23f13所以2f2令x=23，即2f23由题意，函数fx的定义域为(−令y=−2x，则fx−2xf令−x代换x,y，则f−x−xf−x所以2f−2x=f−x，令−x代换x由将2f−2x=f−x可得f−xfx所以f(x)为奇函数，故C正确；令x=y=1，则f2f1+f1故选：C.【变式8-3】（2024·广西玉林·三模）函数fx对任意x，y∈R总有fx+y=fx+fy，当x<0A．fx是偶函数 B．fC．fx在−6,6上的最小值为−2 D．若fx+fx−3【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；不等式转化为f2x−3【解答过程】解：取x=0，y=0，则f0=f0+f0则f0=fx+f−x令x1，x2∈R，且x1<x2，则则fx1−f函数fx因为函数fx是R上的增函数，所以函数fx在−6,6上的最小值为f−6=f−3+f−3故f−6=−2，fxfx+fx−3因为函数fx是R上的增函数，所以2x−3≥−3，所以x≥0所以实数x的取值范围为0,+∞故选：C．【题型9函数性质的综合应用】【例9】（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx+1=3fx，当x∈−1,0时，fx=2x+1−1A．103,+∞ B．103,11【解题思路】根据题意可得当x∈−1,0时，fx的单调性和最值，进而结合【解答过程】由题意可知：当x∈−1,0时，f可知fx在−1,−12上单调递减，在−12,0上单调递增，当x∈0,1时，x−1∈−1,0，当x∈1,2时，x−2∈−1,0，当x∈2,3时，x−3∈−1,0，当x∈3,4时，x−4∈−1,0，令272x−7−27=−18，解得x=10因为∀x∈−∞,t，f故选：D.【变式9-1】（2024·河南新乡·三模）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x).若对任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤38成立，则A．72,+∞C．−∞,−3【解题思路】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出m的取值范围.【解答过程】因为当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x)；f(x−2)=2f(x)，所以f(x)=12f(x−2)，即若f(x)在(0,2]上的点的横坐标增加2，则对应y值变为原来的1当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x)=−(x−1)2+1故当a<0时，对任意x∈[a,+∞)，当x∈(2,4]时，f(x)=1同理当x∈4,6时，f(x)=−以此类推，当x>4时，必有f(x)≤3函数fx和函数y=因为当x∈(2,4]时，f(x)=−1令−12(x−3)2+因为当x∈a,+∞时，f(x)≤3故选：A.【变式9-2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数fx=x−1A．fxB．fx在0,+C．fx的图象关于直线x=1D．fx的图象与x【解题思路】去掉绝对值，得到fx【解答过程】A选项，fx画出其函数图象，如下：故fxB选项，fx在0,1C选项，fx的图象关于直线x=1D选项，fx的图象与x轴围成的三角形面积为2×1故选：C.【变式9-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数y=fx是定义在R上的函数，f1+x=f1−x，函数fx+1的图象关于点−1,0对称，且对任意的x1,①fx+2②f−③函数y=fx在2,4④不等式fx≥0的解集为A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据题意可知函数fx是以4为周期的周期函数，且在−1,1上单调递增，在1,3上单调递减，3,5【解答过程】由函数fx+1的图象关于点−1,0对称，得fx的图象关于点0,0对称，即函数由f1+x=f1−x，得ff(x+4)=f[(x+3)+1]=f[1−(x+3)]=f(−x−2)=−f(x+2)=−f[(x+1)+1]=−f[1−(x+1)]=−f(−x)=f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，①正确；对任意的x1,x不妨设x1>x2，则x13−f(−132)=f(−由函数fx是R上的奇函数，在0,1上单调递增，得函数fx在在1,3上单调递减，3,5上单调递增，③错误；由f(2)=f(0)=0，fx在−1,1上单调递增，在1,3上单调递减，得当x∈[−1,3]时，fx≥0又函数fx是以4为周期的周期函数，因此不等式fx≥0故选：C.1．（2022·天津·高考真题）函数y=x2−1A． B．C． D．【解题思路】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在−∞【解答过程】函数y=fx=x且f−x函数fx又当x<0时，fx故选：A.2．（2022·全国·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（A．−3 B．−2 C．0 D．1【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f【解答过程】[方法一]：赋值加性质因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f−y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+f所以一个周期内的f1所以k=122[方法二]：【最优解】构造特殊函数由fx+ycosx+y+cosx−y=2cosxcosy，可设f所以fxfx+y+fx−y=2cosπ3x+π3y+2cos由于22除以6余4，所以k=122故选：A．3．（2022·全国·高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fkA．−21 B．−22 C．−23 D