高考数学微专题集专题27圆锥曲线与四心问题微点3圆锥曲线与内心问题(原卷版+解析)

专题27园锥曲线与四心问题微点3园锥曲线与

内心问题

专题27圆锥曲线与四心问题

微点3圆锥曲线与内心问题

【微点综述】

三角形的“四心”指重心、外心、内心、垂心，它们是三角形的重要几何点，与之相关的数学

问题是数学竞赛的热点问题，也是解析几何的难点问题，这类问题涉及的知识面较广，富有

挑战性，是考查学生能力的"好'’点，在高考中常充当“把关题”的重要角色.本文对三角形的

“内心”的几何性质加以归纳，旨在探索解题规律，总结解题方法.

一、三角形内心的定义

三角形的内心：三角形内切圆的圆心，称为内心，三角形三条内角平分线的交点，就是内心.

二、三角形内心常见结论

设.A8C的内切圆为圆/,切边A4于P,则有如下重要结论:

（1）/是一ABC的内心U>4./A+/J/8+C・/C=0（其中a、b、c为的三条边）:

(2)ZB/C=90°+-Z4；

2

_b+c-a

八八J

(3)~2-;

tan—

2

'+bxB+cxc

(4)内心/点的坐标为

<a+b+ca+b+c

（5）三角形内切圆的半径求法:

①任意三角形：，.=73（其中CD为二ABC的周长，SD为二ABC的面积）;

%

②直角三角形：，・=号上（其中a,b为直角边，c为斜边）;

<6）焦点三角形内心轨迹方程：

①设点M为椭圆，•+£=的焦点三角形刊第的内心，则点例的轨迹方程为:

'言其中，=后济

14+C

证明：如图1,设连结PM交£乃直线于点。（％,0）,由三角形内角

平分线定性质知幽=四=㈣=及生"_=q又

r力统足加贝如可口恒。|+优。|八

\F.D\\F2D\

•・•归用=4+^2■，忖。|=N+c,X]=.

又由|西4M/得%若，%=担乎，堂+徐=1，*+晅f=1（"°）.

②设点/为双曲线*>f=i3o）>o）的焦点三角形P/M的内心，则有：

（1）当尸在双曲线右支上时，点/的轨迹方程为x=〃（|.y|</，，ywo）：

（2）当。在双曲线左支上时，点/的轨迹方程为1=-4{3</八尸0）.

证明：（1）当。在双曲线右支上时，如图2,设圆/与鸟，耳鸟分别相切于点儿从。，

则有由4=16q,IM=|啊因叫=|因q.・・・/>在双曲线右支上，.•.|「周一归周二2,即

闺A卜内四=2,又忻q-优。=为，设C（九0）,则有犬一（一。）一（。—吗=2々，化简，有

x'=a.从而知总圆/与X轴相切于点C（4,0）,又•・"C_LX轴，故点/的轨迹方程为x=4.

设/的纵坐标为+/P耳鼻=。，则有且=匕吟=且），工0.

c+a2bh

7

综上所述，点/的轨迹为X=4（3<。，yH0）.

（2）仿照（1）的证明可证得：当〃在双曲线左支上时，圆/总与％轴相切于点。（-。，0）,

点/的轨迹为x=-a（|M<b,尸0）.

三、典型例题精析

（―）内心的性质问题

利用椭圆（双曲线）的焦点三角形的内心的基本性质，可以用来破解涉及内心的半径、线段

的距离、夹角、离心率等相关的问题.破解的关键就是充分利用内心的基本性质，合理建立

相应的关系式来分析与求解.

I.已知M是椭圆［+2=1上一点，耳，尸2是椭圆的左，右焦点，点/是鸟的内心,

2516

州

延长M7交线段”用于N,则网的值为（)

22

2.已知双曲线C:二-二=1（a>0,/?>（））的两条渐近线与抛物线）？=2px（〃>0）的

a~h~

准线分别交于A,8两点,。为坐标原点，若双曲线C的离心率为2,一AO8的面积为6，

则-404的内切圆半径为（）

A.y/3-1B.G+lC.20-3D.2舟3

3.已知椭圆/=的左右焦点分别为尸8，〜为椭圆上不与左右顶点重合

的任意一点，，是△P6鸟的内心，当|%|=4|切时（其中以，X分别为点尸与内心/的纵

坐标），椭圆的离心率为（）

A.JB.3C.-D.历

2233

4.过双曲线cU=1（”（U>0）的右焦点尸作直线/,且直线/与双曲线C的一条渐近线

垂直，垂足为A,直线/与另一条渐近线交于点5,已知0为坐标原点，若AQ4A的内切圆

的半径为由二!〃，则双曲线。的离心率为（）

2

A.3叵B.75+1C.逑D.毡或2

333

5.已知耳，工为双曲线c：E-g=ia>o,〃>o）的左右焦点，过点写作一条渐近线的垂线交双

a"b

曲线右支于点P，直线尸网与〉，轴交于点Q（尸，。在x轴同侧），连接行;，如图，若△PQE

内切圆圆心恰好落在以耳区为直径的圆上，则/耳尸鸟=；双曲线的离心率0=

二、内心的轨迹问题

利用椭圆的焦点三角形的内心的基本性质，可以用来破解涉及内心的轨迹方程、参数的取值

范围等相关的问题.破解的关键就是充分利用内心的基本性质，合理引人参数并能巧妙代换

与应用.

6.已知£,人为椭圆。：£+±=1的左、右焦点，点Q在椭圆C上移动时，APE用的内心/

43

的轨迹方程为.

7.点片、尸2分别是双曲线/—]=]的左、右焦点，点P在双曲线上，则APK鸟的内切圆

半径，•的取值范围是

A.（0,75）B.（0,2）C.（0,V2）D.（0,1）

8.已知点P为双曲线二-2=1（“>0力>0）右支上一点，点F/,后分别为双曲线的左右焦点，

a~b'

点/是△PBF2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有S〃4-N立S".,.成立，则双

3"〃•22»•।f2

曲线的离心率取值范围是（）

A.（1,72）B.（1,272）

C.（1,2夜]D.（1,y/2]

三、内心的应用问题

利用椭圆（双曲线）的焦点三角形的内心的基本性质，可以用来破解涉及内心的一些基本应

川问题，包括直线的斜率、三角形的面积等相关问题.破解的关键就是充分利用内心他基本

性质，交汇直线的基本概念、三角形的基本元素等，综合起来破解相应的综合应用问题.

11

9.已知点尸是双曲线工上=1上除顶点外的任意一点，0%分别为左、右焦点，c•为半

crb-

焦距，/巴工的内切圆与ZK切于点M,则衍加卜优网=.

10.已知双曲线M：/-上=1的左，右焦点a,同，点尸在双曲线上左支上动点，则三角

3

形产2的内切圆的圆心为G,若△GP［与的面积分别为S,S二则三取值范围是

22

II.已知B,尸2分别为双曲线3■-1=l（a>0,b>0）的左焦点和右焦点，过尸2的直级/与双

a'b-

曲线的右支交于4.8两点,“产足的内切圆半径为77必6/"2的内切圆半径为2若/7:2,2,

则宜线/的斜率为（）

A.1B.V2C.2D.2a

小结：

涉及椭圆的焦点三角形的内心问题，可以通过多种形式加以变化与应用，多姿多彩，创新新

颖，极富美感.破解涉及焦点三角形的内心问题的关键就是充分利用焦点三角形的内心的基

本性质，有效利用解析几何、平面几何、三角函数等相关知识加以综合，值得我们不断深入

学习，探究分析，拓展思维，提升应用，从而不断开拓学生的解题境界，提升学生的解题能

力，养成良好的数学品质，培养数学核心素养.

【强化训练】

12.椭圆5+/=1（a>〃>0）的两焦点是「、尸2,M为椭圆上与"、入不共线的任意一点，

/为的内心，延长交线段£鸟于点N,则加/|：吃|的值等于（）

aa厂b—c

A.-B.-C.-D.一

bcca

13.如图所示，点。为椭圆工+《=1上任一点，K，F?为其左右两焦点，的内心

43

SIFF

为/，贝1」三幺二=（）

>PF1F2

1

A，3B.1c1

4已知椭圆0：“为左右焦点，点小扬在椭圆。上'△怵

的重心为G,内心为/,且有/G=44鸟（/I为实数），则椭圆方程为（）

X-./.

A.—+——1B.一+—=

8616

L5y2

C.D.一XT+

92710

15.已知点M在椭圆：1+与=1缶＞力＞0）上,%、外为左、右焦点，点7是内

a-b-

连接M7并延长交线段匕K于N,则需的值为

心，

b

A.TD,

b~c7?3a

16.双曲线G：》》S0Q。）的渐近线与抛物线G：xfy"）交于点4。凡若

抛物线。2的焦点恰为AAOS的内心，则双曲线C的离心率为（)

A.I「V227

B.73L•-----

4

17.双曲线1—J=1的左、右焦点分别为F2,尸为双曲线右支上一点，/是APEE的

916

内心,且明=一45八/8,则％=（）

A.-IB-4

D-?

22

18.点A是椭圆*•+专■=l（〃＞/»0）上一点，耳，尸2分别是椭圆的左右焦点，/是△小的

内心.若S»F、=2丘SgjS从&，则该椭圆的离心率为（）

A.1B血

C

44-?

2

19.设椭圆二+丁=1的左、右焦点分别为£，K，M是椭圆上异于长轴端点的一点,

4

Z.FXMF1=20,△加大用的内心为/,则|M/|cos0=()

C近

A.2—5/3B-T

2

v.22

20.已知分别是椭圆「:/+#=1（〃＞人＞0）的左、右焦点，点户是椭圆上一点，/为

APKB的内心,若%＞"2=4S-则该椭圆的离心率是（）

D.辛

1B五

A,3-7c2

21.已知椭圆C:。》叱…）的左、右焦点分别为小&户为C上一点，若,为

△/V；人的内心，且5心格=35则用，则C的方程可能是

„X"21

A.—+y2=1B.--Fy=1

2-3•

22

C.三+汇=1D.3=1

3243

22.已知耳（一1,0）,5（LO）,M是第一象限内的点，且满足|峥|+园段二4,若/是

的内心，G是△例耳入的重心，记△"；死与△G£M的面积分别为邑，则（）

A.S\>S?B.E=S?C.5,<S2D.』与邑大小不确定

23.设厂是双曲线C:二-二=1（。>0⑦>0）的右焦点，。为坐标原点，过产作C的一条渐

ab

近线的垂线，垂足为〃，若二/0〃的内切圆与X轴切于点8,且8/=2OB，则C的离心率

为（）

A3+V17口4+x/17「3+3V17n3+3后

A.------D.------C.------u.-------

4484

24.已知双曲线三-£=1的左右焦点为JE，。为它的中心，产为双曲线右支上的一点，

APZ8的内切圆圆心为/，且圆/与1轴相切于A点，过尸2作直线P/的垂线，垂足为4,

若双曲线的离心率为e,则

A.IO8HQ4IB.\OB\=e\OA\C.\OA\=e\OB\D.1。团与|。4|关系不

确定

25.点尸是双曲线。:工-t=1的上支上的一点,B,尸2分别为双曲线的上、下焦点，则NF/F2

916

的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（）

A.产-3B.产3C.x2+y2=5D.产3f-2

26.已知点。为双曲线,营=1（。>（）,〃>0）右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，

且由用=?,/为三角形ME的内心，若S/F,=S,y*+入SM网成立，则2的值为

A.112^1B.2x/3-lC.V2+1D.V2-I

2

22

27.如图，已知双曲线「一与=1（〃>0,b>0）的左右焦点分别为已、忻K|=8,P

ab"

是双曲线右支上的一点，直线与），轴交于点A,△A/V；的内切圆在边PR上的切点为Q,

若|P0|=2,则该双曲线的窝心率为（）

28.已知点尸为双曲线C:二一上r-l（a>0,〃>0）右支上一点，0乃分别为左右焦点，若

a~b~

双曲线C的离心率为G，AP£鸟的内切圆圆心为/,半径为2,若Su串=5,叫/+26,则〃

的值是

A.2B.72C.x/6D.6

29.点尸是双曲线£-1=1右支上一点，耳、6分别为左、右焦点.AP"用的内切圆与x轴

a'b~

相切于点N.若点N为线段。6中点，则双曲线离心率为（）

A.V2+1B.2C.V2D.3

30.如图，已知椭圆£+£=1（。>〃>0）的左，右焦点分别为不入，/周二厢，P是）'轴

a~b~

正半轴上一点，尸6交椭圆于A,若A5_LP£,且A4P5的内切圆半径为底，则椭偃的离

2

心率为

V.----D

3-f

31.过双曲线夕-}=1化＞"0）右焦点尸的直线交两渐近线于A、8两点，若Q4.4B=0,

。为坐标原点，月...QAB内切圆半径为正二则该双曲线的高心率为

2

A.空B.73C.更D.6+1

33

22

32.已知椭圆。1：£+£=1（4＞〃＞0）的左、右焦点分别是乱义,过点时作圆0:/+丁=从

的一条切线，切点为P,延长交椭圆于点Q,且IMPHPQI,双曲线=1的

'a~b~

左、右焦点分别为06,E是c?右支上一点，与y轴交于点A,二E46的内切圆与的

切点为尸，若|A尸上道，则双曲线G的方程为

A.--^-=1B.—-^-=1C.—-^-=1D.—-^-=1

34439334

33.设耳，工为双曲线二-2=1（。＞0/＞。）的左、右焦点，点P5'）为双曲线上一点，

若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为

A.&B.正C.76D.75

22

,y1

34.已知双曲线。:，-弓=1（〃＞0,。＞0）的左、右焦点为百，八，『为双曲线C右支上异于顶

a-b-

点的一点，耳鸟的内切圆与x轴切于点（1,0）,且P与点£关于直线），=一如对称，则双曲

a

线方程为.

35.点M为椭圆1+《=1上一点，”，入为椭圆的两个焦点，则4KM用的内心轨迹方程

为.

36.设为椭圆。：二+/=］的两个焦点.例为C上点，AMK外的内心/的纵坐标为

4

2-6,则6的余弦值为.

专题27锥曲线与四心问题Zahl.点3园锥曲线与

内心问题

专题27圆锥曲线与四心问题

微点3圆锥曲线与内心问题

【微点综述】

三角形的“四心”指重心、外心、内心、垂心，它们是三角形的重要几何点，与之相关的数学

问题是数学竞赛的热点问题，也是解析几何的难点问题，这类问题涉及的知识面较广，富有

挑战性，是考查学生能力的"好'’点，在高考中常充当“把关题”的重要角色.本文对三角形的

“内心”的几何性质加以归纳，旨在探索解题规律，总结解题方法.

一、三角形内心的定义

三角形的内心：三角形内切圆的圆心，称为内心，三角形三条内角平分线的交点，就是内心.

二、三角形内心常见结论

设.AAC的内切圆为圆/,切边A8于P,则有如下重要结论:

(1)/是A8C的内心=q./A+万./B+c"C=O（其中a、b、c为的三条边）;

(2)ZB/C=90°+-ZA：

2

„rb+c-a

AAP=-------=-----------

(3),A2

tan

2

(4)内心/点的坐标为

(i+b+ca+b+c

(5)三角形内切圆的半行求法:

①任意三角形：3（其中CD为‘ABC的周长，SD为一ABC的面积）;

②直角三角形：（其中a,b为直角边，c为斜边）;

（6）焦点三角形内心轨迹方程:

①设点M为椭圆・■十点■-I（a>>0）的焦点三角形。耳6的内心，贝IJ点M的轨迹方程为:

—+厂M"°），其中”E.

c~he

a+c

证明：如图I,设“（北"/小，），。），连结PM交6鸟直线于点。（3,0）,由三角形内角

平—爵缁翳嚼畸?又

二|=a+詈，=%+c,x}=.

ax(〃+c)yx；Vo,V

又由⑼拳四，得小=T'犷'7+?=h/V+彳=1()，/0)

be

a+c

②设点/为双曲线，■-，=1包>0,/2>0)的焦点三角形可人的内心，则有:

(i)当P在双曲线右支上时，点/的轨迹方程为x=a(|y|〈〃，yw。)；

(2)当P在双曲线左支上时，点/的轨迹方程为x=-al]M<〃，yw()).

证明：(1)当P在双曲线右支上时，如图2,设圆/与巴"P鸟，片鸟分别相切于点A,8,。，

则有忻川=|£。,|%=|刑，优M=|6cl.•・•〃在双曲线右支上，「.|阴|一归段=加，即

\F^-\F2B\=2a,又归C|-怩q=2a,设C(f,0),则有f一(一4一(.吗=%，化简，有

x'=a.从而知总圆/与x轴相切于点。(。,0),又・./C_Lx轴，故点/的轨迹方程为x=〃.

J_£

设/的纵坐标为，/P£E=a,则有儿=tan?<—/=〃且)，/0.

c+a2£Z?

c

综上所述，点/的轨迹为“。(|)卜。，尸0).

(2)仿照(I)的证明可证得：当P在双曲线左支上时.圆/总与x轴相切于点C(-。,0),

点/的轨迹为x=-a(»|vb,y/0).

三、典型例题精析

(-)内心的性质问题

利用椭圆(双曲线)的焦点三角形的内心的基本性质，可以用来破解涉及内心的半径、线段

的距离、夹角、离心率等相关的问题.破解的关键就是充分利用内心的基本性质，合理建立

相应的关系式来分析与求解.

1.已知何是椭圆1+1=1上一点，匕，鸟是椭圆的左，右焦点，点/是鸟的内心，

2516

幽

延长M/交线段耳死于N,则的值为（)

2.已知双曲线C：二-1=1（r/>0,b>0）的两条渐近线与抛物线9=2内（〃>0）的

a~b~'

准线分别交于A，B两点,。为坐标原点，若双曲线C的离心率为2,的面积为石，

则二AO8的内切圆半径为（）

A.V3-1B.G+1C.273-3D.273+3

3.已知椭圆］■+£=1（〃>方>0）的左右焦点分别为巴，外,尸为椭圆上不与左右顶点重合

的任意一点，/是△P/记的内心，当|词=4回|时（其中外,X分别为点尸与内心/的纵

坐标），椭圆的离心率为1）

A.yB.正C.ID.如

2233

4.过双曲线C：E-1=l（a>（）,〃>0）的右焦点尸作直线/,且直线/与双曲线。的一条渐近线

a~b~

垂直，垂足为A,直线，与另一条渐近线交于点3,已知。为坐标原点，若AOAB的内切圆

的半径为更二1。，则双曲线C的离心率为（）

2

A.亚B.百+1C.生叵D.友或2

333

5.已知耳,工为双曲线。：£-《=1（。>0，〃>0）的左右焦点，过点■作一条渐近线的垂线交双

a~b-

曲线右支于点P,直线与），轴交于点Q（P,Q在x轴同侧），连接。耳，如图，若△PQK

内切圆圆心恰好落在以£鸟为直径的圆上，则：双曲线的离心率6=

二、内心的轨迹问题

利用椭圆的焦点三角形的内心的基本性质，可以用来破解涉及内心的轨迹方程、参数的取值

范围等相关的问题.破解的关键就是充分利用内心的基方性质，合理引人参数并能巧妙代换

与应用.

6.已知用人为椭圆。:三+二=1的左、右焦点，点?在椭圆。上移动时，APZ6的内心/

43

的轨迹方程为.

7.点巴、工分别是双曲线/一1=1的左、右焦点，点尸在双曲线上，则△尸尸己的内切圆

半径「的取值范围是

A.（0,73）B.（0,2）C.（0,V2|D.（0,1）

8.已知点。为双曲线二-巳=1（“>0.8>0）右支上一点，点F/,后分别为双曲线的左右焦点，

a'b'

点/是△PBF2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有5行.-5/"之巫S"*成立，则双

।trr\frr22।•2

曲线的离心率取值范围是（）

A.（1,夜）B.（I,2^/2）

C.（1,2&]D.（1,⑸

三、内心的应用问题

利用椭圆（双曲线）的焦点三角形的内心的基本性质，口:以用来破解涉及内心的一些基本应

用问题，包括直线的斜率、三角形的面积等相关问题.破解的关键就是充分利用内心的基本

性质，交汇直线的基本概念、三角形的基本元素等，综合起来破解相应的综合应用问题.

9.已知点Q是双曲线捺-，=1上除顶点外的任意一点，分别为左、右焦点，。为半

焦距，/丹花的内切圆与"尸2切于点M，则.

10.已知双曲线的左，右焦点乃，点P在双曲线上左支上动点，则三角

3

S

形尸F/F2的内切圆的圆心为G,若△GP£与△GKK的而枳分别为SS,则卷取值范围是

22

11.已知B,尸2分别为双曲线「-与=1（。>0,〃>0）的左焦点和右焦点，过尸2的直线/与双

a2lr

曲线的右支交于A,B两点,尸2的内切圆半径为尸2的内切圆半径为2若。二2=2,

则直线/的斜率为（）

A.1B.夜C.2D.2夜

小结:

涉及椭圆的焦点三角形的内心问题，可以通过多种形式加以变化与应用，多姿多彩，创新新

颖，极富美感.破解涉及焦点三角形的内心问题的关键就是充分利用焦点三角形的内心的基

本性质，有效利用解析几何、平面几何、三角函数等相关知识加以综合，值得我们不断深人

学习，探究分析，拓展思维，提升应用，从而不断开拓学生的解题境界，提升学生的解题能

力，养成良好的数学品质，培养数学核心素养.

【强化训练】

点，/为△MG尸2的内心，延长M/交线段片马于点N,则|M7|"N|的值等于（）

a

~b

13.如图所示，点P为椭圆=1上任一点，月,区为其左右两焦点，△。片鸟的内心

S

为I，则了

14-已知椭圆C》》|叱八0）,标为左右焦点’点小石）在椭圆C上'△£也

的重心为G,内心为/,且有/G=/l£6（丸为实数），则椭圆方程为（）

x~y',

A.—4—=1B.

86

15.已知点“在椭圆：*+1=1（4>">°）上，匕、丹为左、右焦点，点了是AMRS

\MT\

心,连接M7并延长交线段耳入于N,则扁的值为

ba

A.

~b~B・77下c77^7

16.双曲线。|：£-==1团>0/>0）的渐近线与抛物线。,：/=2胡（〃>0）交于点4。5,若

crb~

抛物线。2的焦点恰为4108的内心，则双曲线C1的离心率为（）

D-竽

1B.6

17.双曲线（一耳=1的左、右焦点分别为£,F2,P为双曲线右支上一点，/是的

916

内心,且1/户外=-2%5为，则4=（）

18•点A是椭圆，+春•Tg/?〉。）上一点，£,用分别是椭圆的左右焦点，/是△*第的

内心.若S.w：=2夜S’,声-S®,则该椭圆的离心率为（）

2

19.设椭圆工+/=［的左、右焦点分别为R.E，〃是椭圆上异于长轴端点的一点，

4

4F\MF?=20,花的内心为/,KJ|Ml|cos0=（）

A.2-x/3B.|C.—D.

222

20.已知尸”用分别是椭圆「:二+£=1（。>〃>0）的左、右焦点，点户是椭圆上一点，/为

6TD

△尸的内心，若S#6E=4S.”5,则该椭圆的离心率是（）

A.-B.-C.—D.—

3423

21.已知椭圆C:]+点■=l(〃>"0)的左、右焦点分别为尸2，尸为C上一点，若/为

△P片鸟的内心,且Sg"：=3S△卬.?，则C的方程可能是

A.—+/=1B.工+)"1

23

■7272

C.二+上=1D.三+工=1

3243

22.已知己(-1,0),用(L0),“是第一象限内的点，且满足|岬|+|屿|=4,若/是

的内心，G是的重心，记△阴居与△GRM的面积分别为S-8，则()

A.S\>S【B.S、=S,C.S1<S2D.S1与S?大小不确定

22

23.设厂是双曲线C:「-2=l(a>0⑦>0)的右焦点，。为坐标原点，过厂作。的一条渐

ab

近线的垂线，垂足为〃，若AFO”的内切圆与x轴切于点4,且4尸=204，则C的离心率

为()

.3+Vl7u4+V17「3+3。n3+3>/17

4484

24.已知双曲线£-X=l的左右焦点为小工,。为它的中心，P为双曲线右支上的一点，

crb‘

△P"K的内切圆圆心为/，同圆/与x轴相切于A点，过尸2作直线P/的垂线，垂足为“，

若双曲线的离心率为*则

A.\OB\=\OA\B.\OB\=e\OA\C.\OA\=e\OB\D.|OB|与|。4|关系不

确定

25.点P是双曲线C:二-t=1的上支上的一点,F/,石分别为双曲线的上、下焦点，则△PF/F2

916

的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是()

A.y=-3B.>>=3C./+)2=5D.产3/-2

)广

26.已知点尸为双曲线与-=1(〃>0力>0)右支上一点，耳,尸2分别为双曲线的左右焦点，

人2

且恒周=：•，/为三角形尸耳鸟的内心，若SZPF、=S&"2+入SMFH成立,则％的值为

A.1+产B.273-1C.V2+1D.V2-1

22

27.如图，已知双曲线[一二=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为B、乃，忻用=8,

ah~

P是双曲线右支上的一点，直线尸工与），轴交于点A，AAPA的内切圆在边夕片上的切点为

Q,若俨。=2,则该双曲线的离心率为（）

A.V2B.75C.2D.3

28.已知点P为双曲线C:^-^=1（«>0,〃>0）右支上一点，0K分别为左右焦点，若

ab~

双曲线。的离心率为百，A"入的内切圆圆心为/,半径为2,若Sw/=Sf+2百，则

方的值是

A.2B.72C.瓜D.6

y2

29.点尸是双曲线乌-=1右支上一点，斗鸟分别为左、右焦点.△0/,；巴的内切圆与X轴

a~F

相切于点N.若点N为线段。入中点，则双曲线离心率为（）

A.y/2+1B.2C.y/2D.3

30.如图，已知椭圆二十二=1（。">0）的左，右焦点分别为用入，田图二而，/）是丁轴

a~b~

正半轴上一点，「片交椭圆于A,若A八_LP£,且的内切圆半径为直，则椭圆的离

2

31.过双曲线，等=I（a>〃>0）右焦点厂的直线交两渐近线于A、8两点，若04.48=0，

。为坐标原点，且"MB内切圆半径为息。〃，则该双曲线的离心率为

2

A.亚B.73C.迪D.6+1

33

22

32.已知椭圆G：>方=1（稣/»0）的左、右焦点分别是M.N,过点M作圆O：/+J.

的一条切线，切点为尸，延长用?交椭圆于点。，且IMPRPQI,双曲线c,：二一4二1的

•a2b2

左、右焦点分别为耳，人,£是C?右支上一点，£片与）'轴交于点A,以行的内切圆与力鸟的

切点为尸，若［A尸|=6,则双曲线G的方程为

A.—-^-=1B.—＞^-=1C.—-^-=1D.—-^-=1

34439334

33.设士，工为双曲线工-1=1（。＞。6＞。）的左、右焦点，点。（天,2々）为双曲线上一点,

cra

若△尸KK的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为

A.—B.正C.x/6D.逐

22

34.已知双曲线4-。叱叱。）的左、右焦点为6,%P为双曲线C右支上异于

顶点的一点，△尸片行的内切圆与工轴切于点（L0）,且P与点匕关于直线），=-处对称，则双

a

曲线方程为.

35.点M为椭圆2十3-=1上一点,片，工为椭圆的两个焦点，则用的内心轨迹方程

9

为•

36.设0鸟为椭圆C:《+y2=i的两个焦点.M为C上点、,AM与鸟的内心/的纵坐标为

4

2—6,则6的余弦值为.

参考答案:

1.A

22

分析：如图，点M是椭圆工+工=1上一点，过点M作BM垂直直线片死于点4,过点/作

2516

为垂直直线”写于点A,设6的内切圆半径为，则|/A|=r,由

S“%=S呻+5M吟+Sg得：曲玛・|M8|=]〃用+fMg|+91gl

又|M£|+|M段=2〃，故得：^2c\MB\=^r-2a+^r-2c,所以扁=£，由椭圆方程

22

,--------IMIC3

—+—=1a=5,b=4C="T^=3,所以晨=［一=1由-MW与JNA相似,

2516\IVlr5Cl+Co

可得:扁IM=扁|/N下|令3网」=而，则”.|=8〃?,可求\得IN\:扁\IN=\帚不3引m=33

问题得解.

【详解】如图，点M是椭圆工+《=1上一点，过点M作BM垂直直线匕鸟于点4,过点

2516

I作出垂直直线上鸟于点A,设加叫鸟的内切圆半径为，，则|明=，.，由三角形面积相等即：

5，晔=5.+S-+S-得:；,用.网="叫卜9忻周+"”|

乙乙L乙

又lMl+1昨|=2〃，故得：32c小网=卜.2〃+52,所以端=£，由椭圆方程

22

宗£=1得:。=5,b=4,c=yla-b=3»所以磊=£=1由与二/奥相似，

可得：品IMI=局\JN\73，令,网.=.，则.|MN.|=8也可求得：扁\/N\=就网扁=目3m=丁3

故选A.

【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三

角形相似来处理，对于内切圆问题通常利用等面积法列方程.即：即：SA8C=S画+S/AC+

sg（其中/是-A6C的内切圆圆心）05械=］（。+"。），从而解决问题.

2.C

分析：利用离心率求得2,然后由抛物线准线方程和双曲线渐近线方程联立可得4、B坐标，

a

结合二角形面积可得P，再由面积公式S=：（a+）+c）「可得.

【详解】由0=2,可得2=辱号M

所以双曲线的渐近线方程为），=±6x

）,=一氐"

p得8（一？,华）,

由，

x=--22