2020年第16届泛珠三角奥林匹克竞赛力学基础物理试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12020年第16届泛珠三角物理奥林匹克竞赛力学基础试题选择题1至16（答案唯一共32分）和简答题17至20（共68分），做在答题纸上。若有需要可以取重力加速度1.图标某人做不同类型运动的速度向量v和加速度向量a、哪种情况下此人放慢速度并向右转？（）A. B. C.D. E F.【答案】C【解析】将加速度沿速度方向和垂直与速度方向正交分解，由题意可知此人放慢速度并向右转，即有与初速度垂直水平向右的分加速度和与初速度相反的分加速度，故C正确，ABDEF错误。故选C。一质量为m的无动力飞船以初速度从远处飞向一质量为的行星。如果行星周围不存在引力场，飞船会在离行星最近距离处以直线航线飞过（如图中虚线所示）。2.设，飞船实际离行星最近的距离为（飞船的实际航线如实线所示）（）A.B.C.D.E.F.【答案】A【解析】飞船的距离最近时在椭圆轨道的近日点上，由角动量守恒可得解得机械能守恒可得联立可得即由题意，解得，故选A。3.设，当飞船飞过并远离行星后的最终速率是（）A.B.C.D.E.F.【答案】E【解析】由机械能守恒可知从很远来到飞离的过程中引力势能都可以看成零，因此速度还是。故选E。一质量为m的滑块，静止在轨道上距离地面高度为h处，其下端是半径为R的圆形轨道，问题中所有摩擦力忽略不计。4.若滑块能够到达圆形轨道的最高点P，则初始高度的最小值（）A. B. C.D. E. F.5.当时，滑块会在轨道上某点Q离开轨道做斜抛运动，并且击中圆心O点。设滑块在Q点做斜抛运动的速度和倾斜角为，则k和为（）A.0.84和 B.0.80和 C.0.76和D.0.73和 E.0.71和 F.0.70和6.若滑块最后击中O点，其在轨道上初高度（）A. B. C.D. E. F.【答案】4.D5.C6.B【解析】【4题】轨道最高点时，机械能守恒定律可得解得【5题】在轨道上有时有在圆心O点，则有抛物线方程为联立可得即，将时速度代入可得即解得所以【6题】由机械能守恒可得可得到一质量为M的光滑大圆环用细绳挂在天花板上。两个质量同为m的小圆圈从环顶由静止开始同时向两边下滑，已知质量比。7.当细绳张力时圆圈位置的余弦函数满足方程（）A.B.C.D.E.F.8.参量K的取值范围为（）A.B.C.D.E.F.9.当小圆圈的质量m是大圆环质量M的2倍且细绳张力时，圆圈位置（）A.B.C.D.E.F.【答案】7.E8.C9.DE【解析】【7题】设两小圆圈滑至某位置，绳子的张力为零时，对大圆环受力分析，设小圆圈对大圆环的弹力大小为，根据平衡条件可得隔离其中一个小圆圈受力分析，根据牛顿第二定律，可得其中联立以上式子求得把，代入上式，求得，故选E。【8题】根据上面的分析，绳子的张力要等于零，向心力一定要大有小圆圈重力在向心加速度的方向的分力，故有解得同时，当小圆环运动到下半圈时，向心加速度向上，属于超重，绳子的张力不可能为零，所以综合可得也就是K要保证一元二次方程在［］上有解。根据一元二次方程有解的要求根据抛物线的特点一元二次方程在［］上有解，那就一定是由两个正解，故有（此处也可以根据质量一定是大于等于零的，故K必须大于等于零）综合可得，故选C。【9题】m是M的两倍，故，代入方程有解方程可得也就是，故选DE。10.刚度和质量的弹簧振子在光滑水平面上往复运动。当时振子处于平衡位置O并以速度向右运动。现有另一座墙，到原点O的距离为。若振子与墙的撞击是完全弹性碰撞，则振子首次回到原点O的时间为（）A.B.C.D.E.F.【答案】D【解析】振子运动的位移为，其中速度为初始时刻速度为解得振幅位移可以写成，则当t时刻与墙壁相撞则有可得振子首次回到O点的时间为，故选D。11.高度为H和横截面积为A的均匀柱体，悬浮在液体中。A. B. C.D. E. F.（1）分层液体的密度分别为和。当柱体保持平衡时，设其质量中心C与分层液体接口的距离，则________.（2）设柱体受到微小干扰后的振荡频率，则________.【答案】（1）A（2）C【解析】（1）物体平衡时受力分析可得合力为解得可得（2）如果有微小位移则有回复力可得，其中12.在密度为的液体中，静止地浸有密度为P及质量为M的高度为H、底面半径为和R的倒立圆台。A. B. C. D. E. F.（1）若液体浸到圆台的高度处，圆台与液体的密度之比______；（2）若设圆台受到微小干扰后的振荡频率，则______；（3）若液体浸到圆台的高度处并设，则______；（4）若液体浸到圆台的高度处并设，则______。【答案】（1）B（2）D（3）F（4）E【解析】密度为的圆台的体积的为则质量为液体对物体的浮力为，由力平衡可得密度之比为圆台的不同浸入高度的各物理量计算见下表液体浸到圆台高度倒立圆台平衡时圆台向下微小位移x后浸在液体内体积变化13.已知外接圆半径为r和质量为m的均匀正n边形，对过其中心O且垂直于所在平面的轴的转动惯量，设等边三角形薄板PAB的外接圆半径和质量为R和M。（1）（a）试求薄板对其中心轴O和角点P的转动惯量和；（b）将薄板P端悬挂于天花板构成一个复合摆，设薄板在其平面内简谐振动的频率为，试求。（2）如图所示，在对称轴POD上以OD为直径，挖去半径为r的圆洞而形成一个新系统。（a）试确定新系统的质量中心C位置；（b）计算它关于P点的转动惯量；（c）将该系统P端悬挂于天花板构成一个复合摆，设它在其平面内简谐振动的频率为，试求。【答案】（1）a.;b.;(2)a.;b.;c.【解析】（1）a．由题意可得，对中心轴的转动惯量为，对角点P的转动惯量为b．频率为(2)薄板面积为面密度为系统的面积为则新系统的两部分的各物理量如下表a.系统的质心为b．系统转动惯量为c．系统的质量为频率为14.长度为L水平细绳不计质量和不可伸长，右端系有一个质量为m的小球，左端绕过半径为R和圆心为O的固定圆筒顶端的A点，连结个质量为M的重物，并且设质量比。（1）静止的小球m被释放后，细绳与圆筒表面之间的动摩擦力可以忽略不计，致使重物M滑落，落下距离为D时停下来，假设此时它们之间的静摩擦力足够大，致使之后重物M处于静止状态。另一方面，小球m绕圆筒摆动到P点时摆线与圆筒表面在Q点相切，设切线PQ长度为和圆心角AOQ为。若，试求重物M落下距离D后再次静止时的（a）小球的机械能；（b）切线PQ长度；（c）小球在竖直方向的位移（下降高度）h；（d）摆球在垂直于PQ方向的速度v和沿着PQ方向的加速度a；（e）细绳的张力T。（2）小球随后可以围绕圆筒摆动至，而来自圆筒表面的两段细绳一直保持拉直状态。若设定长度比，则比值必须不小于某一个临界值。试求（a）临界值；（b）若长度L是距离D的5倍，试计算质量比K。若有需要，可使用三角方程和。【答案】见解析【解析】（1）a．静止重物下落距离D后再次静止，系统的机械能为b．圆筒表面左段的初始长度为l，绳子的总长度为切线长度为c．下降高度为d．由机械能守恒可得垂直于PQ方向的速度为沿PQ方向的加速度为e．绳子上的张力为可继续化简为其中和，因，有其中（2）f．细绳的最小张力大于等于零即G．若长度L是距离D的五倍即长度比为，质量比15.如图中实线所示，质量为m的飞船于半径为的地球圆形轨道上运行。（1）试求飞船在圆形轨道上运行的速度和周期。（2）飞船来到轨道上的P点时被点火改变速度，瞬间将其动能变为原来动能的K倍（时减速和时加速）。飞船在此之后沿椭圆轨道飞行，如图中虚线所示。试求（a）椭圆轨道长轴PQ的半轴长a；（b）飞船在椭圆形轨道上运行的周期T。（3）已知万有引力常数、地球的质量和半径；飞船质量和位于地球表面的高度。（a）试计算飞船在圆形轨道上运行的速度和周期。（b）现在有两艘飞船先后来到P点，飞船1比较飞船2领先时间。飞船2试图超越飞船1，向前进方向点火，瞬间飞船2的速度减少为原来速度的0.9487倍。试求飞船2之后沿椭圆轨道飞行的周期T和早于飞船1返回轨道上P点的时间。【答案】见解析【解析】(1)由万有引力定律可得解得（2）a．飞船的动能为飞船的势能为飞船的机械能为飞船点火后的动能为点火后的势能为点火后的总能量为飞船之后在椭圆轨道上运行，总能量为，其中a为椭圆轨道的半长轴，由能量守恒可得解得b．开普勒第三定律可得（3）a．由第一问代入数据解得周期代入数据解得b．飞船前进瞬间点火后沿椭圆轨道运动的周期为飞船2早于飞船1返回轨道P点的时间16.如图所示。（1）试（a）写出质量为M和边长为a的均匀正N边形（）空心棱柱（薄壁厚），绕中心轴O的转动惯量。（b）使用问题（a）结果，或其它方法，（1）求正方形空心棱柱绕O轴的转动惯量；以及使用以上空心棱柱结果，或其它方法，（2）求正方形实心棱柱绕O轴的转动惯量。（c）分别求出正方形（1）空心棱柱和（2）实心棱柱，绕棱边角点P轴的转动惯量。（2）设有（1）空心棱柱和（2）实心棱柱的均匀正方形，最初静止在倾角为的斜面上，其中心轴线是水平的。现在令棱柱沿斜面不均匀地自由滚动下来，而且在滚下过程中，摩擦力足以阻止该棱柱的任何滑动，使得其棱边在P处与斜面保持良好的接触。（a）设棱边P撞击斜面之前和之后的瞬时角速度分别为和。若，试求系数（b）设棱边P撞击斜面之前和之后的动能分别为和。若，试求系数k。（c）为使棱柱能够进行接下来的碰撞，必须超过一个最小值。试以参量k和表示系数。（d）如题（c）条件满足时，动能将接近一个固定值，使得薄壁棱柱能够滚下斜面。试以参量k和表示系数。（e）试求出斜面的最小倾斜角度，使得棱柱的不均匀滚动一旦启动，将无限地继续下去。若有需要，可使用积分方程。【答案】见解析【解析】（1）解答（a）解法1平行移轴法棱柱一条边的质量，中心点到该边的距离绕点的的转动惯量则正边形棱柱绕其中心轴线的的转动惯量解法2微积分法（b）解法1使用问题(a)结果当时，棱柱绕轴的转动惯量解法2微积分法（c）解法1微积分法正方形实心棱柱的面密度.对于边长为的薄壁棱柱则实体棱柱绕其中心轴线的的转动惯量解法2垂直轴法对于质量为和边长为的正方形薄板则对于质量为和边长为的正方形厚板(实体棱柱)（d）如下（i）空心棱柱（ii）实心棱柱（2）解答如下（a）某一棱边撞击斜面之前关于点的角动量为

刚体关于质心的转动角动量与质心的平动