专题09 对数运算（竞赛培优专项训练）（原卷版）高一数学竞赛培优系列（全国通.用）

PAGE专题09对数运算目录概览A考点精研・竞赛考点专项攻坚考点一对数定义的理解 3考点二对数式与指数式的互化 3考点三解对数方程 4考点四用已知对数表示其他对数 4考点五利用对数运算化简或求值（无限制条件） 4考点六利用对数运算化简或求值（有限制条件） 5考点七利用换底公式证明恒等式 5考点八对数的实际应用 6B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题13道）【归纳重点知识】知识点01对数的基本概念1.对数的定义一般地，如果ax＝Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，且a≠1))，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.几种特殊的对数(1)常用对数：以10为底，记作lgN；(2)自然对数：以e为底，记作lnN．3.指数与对数的互化当a>0，a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x．用图表示为：【知识剖析】为什么规定底数a>0,且a≠1?(1)当a＝0时，ax恒等于0，没有研究的必要．(2)当a<0时，对于某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充．(3)当a＝1时，则无论x取何值，ax恒等于1，没有研究的必要．知识点02对数的性质(1)零和负数没有对数；(2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；(3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1).(4)对数恒等式:＝N＝x.(a>0，且a≠1，N>0).知识点03对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数(n∈R)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数知识点04换底公式1.一般形式：＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)；2.常用形式：logab＝eq\f(lgb,lga)，logab＝eq\f(lnb,lna).【熟记重要结论（二级结论）】1．解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．2.换底公式的推论：(1)=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

(2)(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

(3)(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).3.熟记以下特殊对数值可速解部分比较大小的试题：.考点一对数定义的理解1.(多选)下列说法正确的有（）A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可以化成对数式C．以为底的对数叫做常用对数D．以为底的对数叫做自然对数2．在对数式中，实数的取值范围是（）A． B． C． D．3.（2023·上海·高一专题练习）在对数式中，实数的取值范围是．考点二对数式与指数式的互化4.将化为对数式正确的是（）A．B．C．D．5．下列说法等式正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则6.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A．与B．与C．与D．与7．(多选)下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则考点三解对数方程8.已知，求x的值．9.方程的解为．10.方程的解是．11.方程的实数解为.12已知a，b是方程的两个实数根，则．考点四用已知对数表示其他对数13．已知，，则（

）A．0 B．2 C．-1 D．114.若，则．15.已知，，试用、表示．16.用，，表示下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．考点五利用对数运算化简或求值（无限制条件）17．对于，，，，下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．18．求值：.19．计算：.20．计算：（1）（2）.21.求值：（1）；（2）．考点六利用对数运算化简或求值（有限制条件）22．若，，则（

）A． B． C． D．23．若，，则（

）A．3 B．6 C．9 D．1024．(多选)已知，则满足条件，且的正数可能为（

）A． B．C． D．25．（多选）设正数，满足，，则（）A． B． C． D．26．已知，则．27．已知，则.28．若函数，，则．考点七利用换底公式证明恒等式29．已知.(1)求的值；(2)设，求证：.30．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：．31．已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1，(1)求证：；(2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明．32．已知为正实数，(1)若，求证:；(2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围.考点八对数的实际应用33．某种生物的数量与时间（单位：天）之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过10天后，种群数量变为原来的2倍.求至少经过多少天，使该生物数量超过初始数量的10倍（参考数据：）（

）A．23 B．24 C．33 D．3434．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（

）天.（参考数据：，，A．9 B．15 C．25 D．3535．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（

）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%36．本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则实数的最大值为（

）A．6 B．5 C．4 D．337．为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个.(1)求a，k的值；(2)根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份.1．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）方程的实数解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知，，，，则（

）A．2 B．5 C．10 D．203．（2024·安徽省示范高中培优联盟冬季联赛）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．4．(2024·河北保定高一上竞赛)若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（

）A．1 B． C． D．05.（2024湖南邵阳二中高一上竞赛）设，则（

）A． B． C． D．6．（2024·厦门大学强基计划）表示不超过的最大整数，则.7．（2024·全国第七届章鱼杯竞赛）方程的实根是．8．(2024·全国高中数学联赛四川预赛)已知，若，则的最大