2025年专升本理工科离散数学专项突破试卷（含答案）

2025年专升本理工科离散数学专项突破试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。）1.下列命题公式中，为永真式（重言式）的是（）。(A)(p∧q)→¬p(B)p∨¬p(C)p→(q→p)(D)¬(p∧q)↔¬p∨¬q2.设论域U={a,b,c}，集合A={a,b}，则集合A的补集A相对于U的幂集P(U)的补集（即(A)的补集）是（）。(A){∅,{c}}(B){{a},{b},{c}}(C){{a,b},{c}}(D){{a},{b},{c},∅}3.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}。则(A∩B)∪C=（）。(A){1,2,3,4,5}(B){2,3,4}(C){3,4}(D){1,2,5}4.下列关系图所表示的关系中，不是偏序关系的是（）(A)(B)(C)(D)（注：此处为文字描述，请根据实际关系图判断）(A)表示关系R1，其关系矩阵为：```123110020103001```(B)表示关系R2，其关系矩阵为：```123111020103001```(C)表示关系R3，其关系图是一个环（1指向2，2指向3，3指向1）。(D)表示关系R4，其关系矩阵为：```123110020113001```5.设集合A有5个元素，其真子集个数是（）。(A)5(B)10(C)32(D)31二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填写在题中横线上。）6.谓词逻辑公式∀x(P(x)→Q(x))与∃xP(x)→∀xQ(x)的逻辑等价性是______（填“成立”或“不成立”）。7.设集合A={1,2}，B={a,b}，则A与B的笛卡尔积A×B的基数|A×B|=______。8.关系R={(1,a),(2,b),(3,a)}的逆关系R⁻¹=______。9.一个无向图G有10个顶点，如果G是连通图，则G至少有______条边。10.用数学归纳法证明“1+3+5+...+(2n-1)=n²”时，第一步需要验证n=______时等式成立。三、判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将判断结果（正确填“T”，错误填“F”）填在题后的括号内。）11.若p∨q为假命题，则p和q均为假命题。（）12.若集合A有n个元素，则A的幂集P(A)有2ⁿ个元素。（）13.关系矩阵是对称矩阵是关系为等价关系的充分必要条件。（）14.任何含有n个顶点的无向连通图，其顶点度数之和等于2n-2。（）15.哈密顿图是具有Hamilton回路（经过所有顶点恰好一次的回路）的图。（）四、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分。）16.对于命题公式p→(q∧¬r)∧(r∨¬q)，求其主析取范式。17.设集合A={1,2,3,4,5}，关系R={(x,y)|xmod3=ymod3}。证明R是A上的等价关系，并说明R所划分的A的各块（等价类）是什么。18.设集合A={a,b,c,d}，B={1,2}。计算A到B的所有函数个数。若函数f:A→B满足f(a)=1,f(b)=2，求满足条件的所有函数f的个数。五、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）19.设R是集合A上的关系，证明：如果R是自反的，那么R的逆关系R⁻¹也是自反的。20.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²。试卷答案一、选择题1.B2.A3.A4.C5.D二、填空题6.成立7.48.{(a,1),(b,2),(a,3)}9.910.1三、判断题11.F12.T13.F14.F15.T四、计算题16.解析思路：利用等值演算法则将公式化为主析取范式。首先用德摩根定律和分配律展开：(p→(q∧¬r))∧(r∨¬q)等价于¬p∨(q∧¬r)∧(r∨¬q)。继续展开：(¬p∨q)∧(¬p∨¬r)∧(r∨¬q)。再展开：(¬p∨(q∧r))∧(¬p∨(¬r∧¬q))。最后用分配律得到：¬p∧(q∧r)∨¬p∧(¬r∧¬q)。将其写成命题变元的小写形式并展开，即可得到主析取范式：¬p∧q∧r∨¬p∧¬q∧¬r。答案：¬p∧q∧r∨¬p∧¬q∧¬r（或写成(p∨¬q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)）17.解析思路：证明R是等价关系，需要证明R是自反的、对称的、传递的。自反性：对任意x∈A，有xmod3=xmod3，故(x,x)∈R，R是自反的。对称性：对任意x,y∈A，若(x,y)∈R，则xmod3=ymod3，故ymod3=xmod3，即(y,x)∈R，R是对称的。传递性：对任意x,y,z∈A，若(x,y)∈R且(y,z)∈R，则xmod3=ymod3且ymod3=zmod3，故xmod3=zmod3，即(x,z)∈R，R是传递的。因此R是等价关系。说明划分的各块：即A中模3余数相同的元素组成的子集。余数为0的有{3,6}（若A有6个元素），即{3}。余数为1的有{1,4}，即{1,4}。余数为2的有{2,5}，即{2,5}。若A只有5个元素，则划分的各块为{1,4}和{2,5}和{3}。答案：证明见解析。划分的各块（假设A有5个元素）：{1,4},{2,5},{3}。18.解析思路：计算函数个数。A有4个元素，B有2个元素，总函数个数为2⁴=16个。求满足f(a)=1,f(b)=2的函数个数。即c(4,0)*1^4=1个（剩余的c,d只能映射到1或2，但f(a)=f(b)）。（修正：更准确的方法是固定f(a)=1,f(b)=2后，c和d有2*2=4种选择）。更准确的方法是：f(a)=1,f(b)=2固定，A中剩下的c和d各自有B中的2个元素可选，故有2*2=4个函数满足条件。答案：A到B的所有函数个数为16个。满足f(a)=1,f(b)=2的函数个数为4个。五、证明题19.证明思路：利用自反性的定义。任取x∈A，由于R是自反的，所以(x,x)∈R。根据逆关系的定义，若(x,x)∈R，则(x,x)∈R⁻¹。因此，对任意x∈A，都有(x,x)∈R⁻¹，即R⁻¹是自反的。答案：证明见解析。20.证明思路：数学归纳法。基步：n=1时，左边=1³=1，右边=(1)²=1，等式成立。归纳假设：假设当n=k时等式成立，即1³+2³+...+k³=(1+2+...+k)²。归纳步：证明n=k+1时等式成立。左边=1³+2³+...+k³+(k+1)³=(1+2+...+k)²+(k+1)³。右边=(1+2+...+k+(k+1))²=(1+2+...+k)²+2*(1+2+...+k)*(k+1)+(k+1)²。需要证明左边=右边。即需要证明(k+1)³