2025年考研公共课数学专业概率论冲刺试卷（含答案）

2025年考研公共课数学专业概率论冲刺试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每小题4分，共20分）1.设事件A，B满足P(A|B)=P(A)，且P(A)>0，P(B)>0，则事件A与B的关系是________。2.设随机变量X～B(n,p)，且E(X)=3，Var(X)=2，则参数n和p的值分别为________。3.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<0;(1-p)^(1-x),0≤x<1;1,x≥1}，则P(X=1/2)=________。4.设随机变量X和Y的期望分别为E(X)=2，E(Y)=3，方差分别为Var(X)=1，Var(Y)=4，且Cov(X,Y)=1，则X+2Y的方差Var(X+2Y)=________。5.设随机变量X～N(μ,σ^2)，Y=3X+2，则Y的期望E(Y)和方差Var(Y)分别为________。二、选择题（每小题5分，共25分）1.下列四个命题中，正确的是（）。(A)若P(A∪B)=P(A)+P(B)，则A与B互斥(B)若P(AB)=0，则事件A与事件B一定互斥(C)若A与B相互独立，则P(A|B)=P(A)(D)若P(A|B)>P(A)，则事件A与事件B一定相互独立2.设随机变量X～P(λ)，且P(X=1)=P(X=2)，则λ的值为（）。(A)1(B)2(C)1/2(D)43.设随机变量X的密度函数为f(x)={kx,0<x<2;0,其他}，则常数k的值为（）。(A)1/4(B)1/2(C)1(D)24.设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(1,2)，则随机变量Z=2X-Y的分布是（）。(A)N(0,1)(B)N(-1,5)(C)N(1,5)(D)N(0,3)5.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=2，X的方差Var(X)=1，Y的方差Var(Y)=5，则X与Y的相关系数ρ_{XY}为（）。(A)2/5(B)5/2(C)1/√5(D)√5三、计算题（每小题10分，共40分）1.甲、乙两人独立地对同一目标进行射击，命中率分别为0.6和0.7。现两人同时射击，求：(1)目标被命中的概率；(2)已知目标被命中，则恰好有一人命中的概率。2.设随机变量X～U(0,1)，随机变量Y=ln(1/X)。求随机变量Y的分布函数F_Y(y)。3.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={2e^(-x-y),x>0,y>0;0,其他}。求：(1)X和Y的边缘密度函数f_X(x)和f_Y(y)；(2)随机变量X和Y是否独立？4.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示（部分）：Y\X|0|1|2---|------|------|------0|0.1|a|1|b|0.2|已知E(X)=1，Var(Y)=4/3。求常数a和b的值。四、证明题（每小题10分，共20分）1.设随机变量X的期望E(X)存在，且对于任意实数a，有|X-a|≥ε的概率不大于a^2/E(X)（Chebyshev不等式的一个形式）。证明：Var(X)≤ε^2。2.设随机变量X和Y相互独立，且都服从N(0,1)分布。证明：随机变量U=X^2+Y^2和V=X^2-Y^2也相互独立。---试卷答案一、填空题（每小题4分，共20分）1.相互独立2.n=6,p=1/23.04.95.E(Y)=8μ+2,Var(Y)=4σ^2二、选择题（每小题5分，共25分）1.(C)2.(B)3.(C)4.(B)5.(A)三、计算题（每小题10分，共40分）1.(1)0.88(2)0.562.F_Y(y)={0,y≤0;1-(e^(-y))^2,y>0}3.(1)f_X(x)={2e^(-x),x>0;0,其他},f_Y(y)={2e^(-y),y>0;0,其他}(2)独立4.a=0.3,b=0.2四、证明题（每小题10分，共20分）1.证：令g(t)=E[(X-a)^2]t。由期望性质，g(1)=E[(X-a)^2]=Var(X)。对任意ε>0，由题设P(|X-a|≥ε)≤g(1)/ε^2=Var(X)/ε^2。又由方差定义，Var(X)=E[(X-a)^2]≤E[|X-a|≥ε*(X-a)^2]+E[|X-a|<ε*(X-a)^2]≤ε^2P(|X-a|≥ε)+E[(X-a)^2]|_{|X-a|<ε}。因为E[(X-a)^2]|_{|X-a|<ε}≥0，所以Var(X)≤ε^2P(|X-a|≥ε)+Var(X)。移项得Var(X)-ε^2P(|X-a|≥ε)≥0。由题设P(|X-a|≥ε)≤Var(X)/ε^2，代入得Var(X)-ε^2(Var(X)/ε^2)≥0，即Var(X)-Var(X)≥0，得Var(X)≤ε^2。2.证：方法一：考虑变换T=(X+Y,X-Y)。易求T的逆变换为T^(-1)=(X,Y)=((T_1+T_2)/2,(T_1-T_2)/2)。又因为X,Y～N(0,1)且独立，故X+Y～N(0,2)，X-Y～N(0,2)。计算Jacobian行列式|J|=1/2。设Z=X^2+Y^2，W=X^2-Y^2，则(T_1,T_2)~N(0,2)~χ^2(2)。由独立正态变量平方和的性质，T_1,T_2独立，且T_1^2/T_2服从F(2,2)分布。令U=T_1^2/2，V=T_2^2/2，则U,V独立，且U~χ^2(2)/2,V~χ^2(2)/2。Z=U+V,W=U-V。因为χ^2分布的可加性，U+V,U-V独立。即Z,W独立。即U=X^2+Y^2和V=X^2-Y^2相互独立。方法二：考虑U=X^2+Y^2，V=XY。则(X,Y)与(U,V)有相同的联合分布。计算协方差Cov(U,V)=Cov(X^2+Y^2,XY)=Cov(X^2,XY)+Cov(Y^2,XY)。由于X,Y独立，Cov(X^2,XY)=E(X^3Y)-E(X^2)E(XY)=E(X^3)E(Y)-E(X^2