2025年下学期高二数学二项式系数的性质试题

2025年下学期高二数学二项式系数的性质试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.二项式((x+\frac{1}{x})^8)的展开式中，二项式系数最大的项是（）A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项解析：二项式系数的对称性表明，当(n)为偶数时，中间一项的二项式系数最大。本题中(n=8)（偶数），中间项为第(\frac{8}{2}+1=5)项，因此二项式系数最大的项是第5项。答案：C2.若((1-2x)^n)的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式中含(x^3)项的系数是（）A.-160B.160C.-20D.20解析：由二项式系数之和公式(2^n=64)，解得(n=6)。展开式的通项公式为(T_{k+1}=\binom{6}{k}1^{6-k}(-2x)^k=\binom{6}{k}(-2)^kx^k)。令(k=3)，则系数为(\binom{6}{3}(-2)^3=20\times(-8)=-160)。答案：A3.在((a+b)^n)的展开式中，二项式系数的前三项之和为22，则(n)的值为（）A.6B.7C.8D.9解析：二项式系数的前三项分别为(\binom{n}{0}=1)，(\binom{n}{1}=n)，(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2})。由题意得(1+n+\frac{n(n-1)}{2}=22)，化简得(n^2+n-42=0)，解得(n=6)（(n=-7)舍去）。答案：A4.若((2x-1)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_5x^5)，则(a_0+a_1+a_2+\cdots+a_5)的值为（）A.1B.32C.243D.1024解析：令(x=1)，则展开式各项系数之和为(a_0+a_1+\cdots+a_5=(2\times1-1)^5=1^5=1)。答案：A5.二项式((x-2y)^7)的展开式中，二项式系数的和与各项系数的和的比值为（）A.(\frac{1}{128})B.128C.(\frac{1}{64})D.64解析：二项式系数的和为(2^7=128)；令(x=1)，(y=1)，各项系数的和为((1-2)^7=-1)。比值为(\frac{128}{|-1|}=128)。答案：B6.在((1+x)^n+(1+x)^{n+1}+\cdots+(1+x)^{2n})的展开式中，含(x^n)项的系数是（）A.(\binom{2n+1}{n+1})B.(\binom{2n+1}{n})C.(\binom{2n}{n})D.(\binom{2n}{n-1})解析：含(x^n)项的系数为(\binom{n}{n}+\binom{n+1}{n}+\cdots+\binom{2n}{n})。根据组合数性质(\sum_{k=n}^{2n}\binom{k}{n}=\binom{2n+1}{n+1})，因此系数为(\binom{2n+1}{n+1})。答案：A7.若((1+2x)^n)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（）A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项解析：由题意得(\binom{n}{5}=\binom{n}{6})，根据对称性(n=5+6=11)。设第(k+1)项系数最大，则(\begin{cases}\binom{11}{k}2^k\geq\binom{11}{k-1}2^{k-1}\\binom{11}{k}2^k\geq\binom{11}{k+1}2^{k+1}\end{cases})，解得(k=7)，即第8项系数最大。答案：C8.已知((1+x)^n)的展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，则(n)的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：二项式系数之和为(2^n)，且奇数项与偶数项的二项式系数之和相等，均为(2^{n-1})。由题意得(2^{n-1}=32)，解得(n=6)。答案：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.((x-\frac{1}{x})^9)的展开式中，二项式系数最小的项是第______项。解析：(n=9)（奇数），中间两项（第5项和第6项）的二项式系数最大，两端的二项式系数最小。第1项和第9项的二项式系数均为(\binom{9}{0}=\binom{9}{9}=1)，因此最小的项是第1项和第9项。答案：1或910.若((x^2+\frac{a}{x})^6)的展开式中常数项为240，则(a=)______。解析：通项公式为(T_{k+1}=\binom{6}{k}(x^2)^{6-k}(\frac{a}{x})^k=\binom{6}{k}a^kx^{12-3k})。令(12-3k=0)，得(k=4)。常数项为(\binom{6}{4}a^4=15a^4=240)，解得(a^4=16)，即(a=\pm2)。答案：(\pm2)11.已知((1-2x)^5=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5)，则(a_1+a_3+a_5=)______。解析：令(x=1)，得(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=-1)；令(x=-1)，得(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=3^5=243)。两式相减得(2(a_1+a_3+a_5)=-244)，解得(a_1+a_3+a_5=-122)。答案：-12212.在((a+b)^n)的展开式中，若前3项的二项式系数之和等于后3项的二项式系数之和，则(n=)______。解析：前3项二项式系数之和为(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2})，后3项为(\binom{n}{n-2}+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n})。由对称性(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k})，得(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}=\binom{n}{n-2}+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n})，即(1+n+\frac{n(n-1)}{2}=1+n+\frac{n(n-1)}{2})恒成立，但题目隐含(n\geq4)，结合前3项和等于后3项和，解得(n=7)。答案：713.二项式((\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})^6)的展开式中，各项系数之和为______，二项式系数之和为______。解析：令(x=1)，各项系数之和为((1-2)^6=1)；二项式系数之和为(2^6=64)。答案：1；6414.若(\binom{n}{0}+2\binom{n}{1}+4\binom{n}{2}+\cdots+2^n\binom{n}{n}=729)，则(n=)______。解析：左边为((1+2)^n=3^n)，由(3^n=729)，解得(n=6)。答案：6三、解答题（本大题共4小题，共50分）15.（12分）已知((2x-1)^n)的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为(3:7)。（1）求(n)的值；（2）求展开式中含(x^2)项的系数。解答：（1）第3项和第5项的二项式系数分别为(\binom{n}{2})和(\binom{n}{4})，由题意得(\frac{\binom{n}{2}}{\binom{n}{4}}=\frac{3}{7})。化简得(\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}=\frac{12}{(n-2)(n-3)}=\frac{3}{7})，即((n-2)(n-3)=28)，解得(n=9)（(n=-2)舍去）。（2）(n=9)，展开式的通项公式为(T_{k+1}=\binom{9}{k}(2x)^{9-k}(-1)^k=(-1)^k2^{9-k}\binom{9}{k}x^{9-k})。令(9-k=2)，得(k=7)。含(x^2)项的系数为((-1)^72^{2}\binom{9}{7}=-4\times36=-144)。16.（12分）已知二项式((x+\frac{1}{2\sqrt{x}})^n)的展开式中，前三项的二项式系数之和为37。（1）求(n)的值；（2）求展开式中含(x^4)项的系数；（3）求展开式中所有项的系数之和。解答：（1）前三项的二项式系数之和为(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}=1+n+\frac{n(n-1)}{2}=37)，化简得(n^2+n-72=0)，解得(n=8)（(n=-9)舍去）。（2）(n=8)，通项公式为(T_{k+1}=\binom{8}{k}x^{8-k}(\frac{1}{2\sqrt{x}})^k=\binom{8}{k}(\frac{1}{2})^kx^{8-\frac{3k}{2}})。令(8-\frac{3k}{2}=4)，得(k=\frac{8}{3})（非整数，说明展开式中不含(x^4)项），系数为0。（3）令(x=1)，所有项的系数之和为((1+\frac{1}{2})^8=(\frac{3}{2})^8=\frac{6561}{256})。17.（13分）已知((1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)，其中(n)为正整数。（1）证明：(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n)；（2）若(a_1+a_2+\cdots+a_n=63)，求(n)的值；（3）求(a_0+2a_1+3a_2+\cdots+(n+1)a_n)的值。解答：（1）令(x=1)，则((1+1)^n=a_0+a_1+\cdots+a_n=2^n)，而(a_k=\binom{n}{k})，因此(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n)。（2）由(a_0=1)，得(a_1+\cdots+a_n=2^n-1=63)，解得(2^n=64)，即(n=6)。（3）设(S=a_0+2a_1+3a_2+\cdots+(n+1)a_n)，则(S=\sum_{k=0}^n(k+1)a_k)。因为(a_k=\binom{n}{k})，所以(S=\sum_{k=0}^n(k+1)\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k})。由组合数性质(k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1})，得(\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}=n\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}=n\cdot2^{n-1})。因此(S=n\cdot2^{n-1}+2^n=(n+2)2^{n-1})。18.（13分）已知二项式((ax+\frac{b}{x})^8)的展开式中，二项式系数之和为256，常数项为1120，且(a>0)，(b>0)。（1）求(a)，(b)的值；（2）求展开式中各项系数之和；（3）求展开式中系数最大的项。解答：（1）二项式系数之和为(2^8=256)，符合题意。常数项为(\binom{8}{4}(ax)^4(\frac{b}{x})^4=\binom{8}{4}a^4b^4=70a^4b^4=1120)，解得(a^4b^4=16)，即(ab=2)。又因为(a>0)，(b>0)，不妨取(a=1)，(b=2)（或(a=2)，(b=1)，此处以(a=1)，(b=2)为例）。（2）令(x=1)，各项系数之和为((a+b)^8=(1+2)^8=6561)。（3）设第(k+1)项系数最大，通项公式为(T_{k+1}=\binom{8}{k}(ax)^{8-k}(\frac{b}{x})^k=\binom{8}{k}a^{8-k}b^kx^{8-2k})。代入(a=1)，(b=2)，系数为(\binom{8}{k}2