12.4 分配方案与最大利润问题-一次函数的应用（压轴题专项讲练）（学生版）

专题12.4分配方案与最大利润问题——一次函数的应用典例分析典例分析【典例1】某商场计划一次性购进A、B两种型号的电脑共120台，每台的销售利润分别为A型100元、B型150元．其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这120台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该商场购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大?（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m0<m<100元，且限定商场最多购进A型电脑70台，若商场保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息设计出使这【思路点拨】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．（1）根据题意y=100x+150120-x，再由B型电脑的进货量不超过A（2）根据（1）中的函数判断函数的增减性和x的取值范围，即可解答；（3）根据题意得y=100+mx+150120-x，分三种情况讨论，①当0<m<50时，y随x的增大而减小；②当m=50时，m-50=0，【解题过程】解：（1）根据题意得，y=100由120-x解得x≥40∴y关于x的函数关系式为y=-50（2）由（1）知y随x的增大而减小，∴当x=40时，y有最大值，则120-∴该商场购进A型电脑40台、B型电脑80台，才能使销售总利润最大；（3）根据题意得y=即y=①当0<m<50时，y随∴当x=40时，y取最大值，此时120-∴当0<m<50时，商场购进40台A型电脑和80台②当m=50时，m-50=0∴当m=50时，商场购进A型电脑数量满足40≤③当50<m<100时，m-50>0，∴当x=70时，y取得最大值，此时120-∴当50<m<100时，商场购进70台A型电脑和50台学霸必刷学霸必刷【类型一：分配方案问题】1．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．（1）若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了x人，一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用．2．（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．（1）求A，B两种品牌足球的单价；（2）若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．3．（2024·山东青岛·模拟预测）自2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高10%，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5（1）求A，B型设备每台的价格分别是多少元．（2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的14．设购买a台A型设备，购买总费用为ω元，求ω关于a4．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）六月是离别的季节；三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购南外特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表：根据以上信息解答下列问题：班级购买数量（件）购买总费用（元）钢笔笔记本九（1）班40201100九（2）班20601300（1）求钢笔和笔记本的单价；（2）若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．5．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋600千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/千克⋅千米）甲养殖场900.05乙养殖场400.03设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为W元．（1）从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________；（2）求出W与x的函数关系式；（3）怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？6．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多．（1）请问A，B两种客车分别可坐多少人？（2）已知该年级共有600名学生．①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？7．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元．（1）求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？（2）经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．8．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）学校准备举行社团活动，需要向商家购买A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫．（1）求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？（2）若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？（3）试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？9．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：方案促销方案方案一所有服装全场六折方案二“满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券）方案三“满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元）（注：一人只能选择一种方案）（1）小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同．①求裤子的标价；②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由；（2）小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价y（元）可以看成标价x（元）的函数，请你写出，当0<x<100时，y关于x的函数表达式为______，当100≤x<200时，y关于x的函数表达式为______，当200≤x<300时，（3）小明准备用方案一或方案三购买一件标价为x元0<x<200的服装，当10．（23-24八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运送水泥建设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元（1）设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．（2）为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元，这时A【类型二：最大利润问题】11．（23-24八年级下·广东河源·期中）为了进一步提高企业的经济效益，某织布厂决定增加制衣项目．为此要将织布厂原有的100名工人分成两部分．一部分继续织布，一部分制衣．已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米．将布直接销售，每米布可获利2元；将布制成衣后销售，每件可获利25元．（若规定每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素）（1）若一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，则安排多少名工人织布？（2）当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大？最大利润为多少元？11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）一二六中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元．（1）求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？（2）甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？12．（23-24八年级下·北京东城·期中）某体育用品商店计划一共购进600套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过250套，它们的进价和售价如下表：进价售价乒乓球拍（元/套）75100羽毛球拍（元/套）80120该商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）该商店实际采购时，恰逢“双11”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了c10<c<1513．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元．进价（元/千克）售价（元/千克）香艾香a12苦艾草b16（1）求a，b的值；（2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草x(x≤100)14．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？（2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．16．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？（2）设购进甲种剪纸装饰x套(x≤60)，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x（3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．17．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售利润为y元，（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调a(0<a<150)元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这18．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元?（3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a0<a<20元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且a-b19．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共