12.4 一次函数模型的应用（5题型+强化练习）-学生版(同步讲义)-沪科版(2024)八上

12.4一次函数模型的应用课程标准学习目标能用一次函数解决简单实际问题①会根据实际问题中的等量关系、变化图象中的点的坐标确定一次函数的表达式，及自变量的取值范围；②会利用一次函数的知识解决最大利润、最少费用、行程、分配方案等实际问题；③会应用分段函数表示出面积S与动点运动时间t之间的函数关系。·分段函数的应用——根据图象信息解决问题①先根据信息（表格、图象等）对自变量x的范围进行分类讨论；②根据不同的自变量的范围，用待定系数法或等量关系求出对应的一次函数解析式；③将几个函数解析式写成分段函数的形式。·分类讨论三角形的面积S与动点运动时间t之间的函数关系分别表示出三角形的底和高，用时间t表示出三角形的面积，并表示自变量x的范围【题型一：一次函数与实际问题——最大利润（最少费用）问题】例1.（23-24八年级下·安徽淮南·期末）“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动．该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件20元、乙种奖品的单价为每件10元，共购买50件．设甲种奖品购买x件，购买两种奖品的总费用为y元．(1)求y关于x的函数解析式；(2)若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用．

变式1-1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）某花农要将规格相同的800棵平安树运往A，B，C三地销售，要求运往C地的棵数是运往A地棵数的3倍，各地的运费如表所示：A地B地C地运费（元/棵）102015(1)设运往A地的平安树x（棵），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；(2)若要求运往A地的平安树不超过运往B地的平安树，且总运费不超过14000元，问当运往A地的平安树多少棵时，总运费才最省？变式1-2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2022年某企业按餐厨垃圾处理费12元/吨，建筑垃圾处理费10元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费3400元，从2023年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费40元/吨，建筑垃圾处理费20元/吨．若该企业2023年处理的这两种垃圾数量与2022年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费6600元．(1)该企业2023年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？(2)该企业计划2023年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2023年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？例2.（23-24八年级上·安徽六安·期末）某商场购进甲、乙两种空气净化器共80台进行销售，已知销售2台甲种空气净化器和1台乙种空气净化器获利1100元：销售1台甲种空气净化器和2台乙种空气净化器获利1300元，设购进甲种空气净化器x台，这80台空气净化器全部售出的总利润为w元．(1)每台甲种空气净化器和每台乙种空气净化器利润各多少?(2)求w关于x的函数解析式．（不写x的取值范围）(3)若乙种空气净化器的数量不超过甲种空气净化器的3倍，当甲种空气净化器购进多少台时，销售总利润w最大?最大总利润是多少?变式2.（23-24八年级上·安徽六安·期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如表：设其中甲种商品购进件，商场售完这批商品的总利润为元．商品名称甲乙进价（元/件）4090售价（无/件）60120(1)写出关于的函数关系式；(2)该商品计划最多投入8000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？【题型二：一次函数与实际问题——分配方案问题】例3．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）某学校组织学生研学，游览太湖山自然风光．已知太湖山景区有动物园和植物园两个景点，其中动物园门票40元/张，植物园门票30元/张．景区对批量购买门票给予打折优惠，有以下两种方案：方案一：动物园门票每张打九折，植物园门票每张打六折；方案二：动物园门票和植物园门票均打八折．若该学校计划购买门票共100张．设购买动物园门票x张，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元．(1)求与x之间的函数表达式；(2)请你分析该学校如何选择购买方案使得所付的费用较少．

变式3.（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：型型价格（万元/辆）年载客量（万人/年）60100若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．(1)求，的值；(2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案?(3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元?【题型三：一次函数与实际问题——行程问题】例4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系，求何时甲乙两人相遇．变式4．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）A、B两地相距300千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段表示甲车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示乙车离A地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题．(1)直接写出线段对应的函数解析式；(2)求点P的坐标，并说出点P坐标的实际意义．例5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）一辆汽车和一辆摩托车分别从、地同时前往同一个地方（三点在同一条直线上）城，它们距离地的路程随着时间的变化的图象如图所示．

(1)他们相遇时，汽车离地多远？(2)S表示他们的距离，表示出发的时间，求：①与的函数关系式，并画出函数图象；②若方程有解，请直接写出的取值范围．

变式5．在一条笔直的道路上依次有A、、三地，南南从A地跑步到地，同时乐乐从地跑步到A地，休息后接到通知，要求乐乐比南南早到达地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地的路程与南南的跑步时间之间的函数图像．

(1)___________，乐乐去A地的速度为___________．(2)结合图像，求出线段对应的函数表达式写出自变量的取值范围．(3)求出两人距地的路程相等的时间．【题型四：一次函数与实际问题——几何问题】例6.（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在边长为的正方形中，O是的中点，动点P从A点出发沿折线运动，到达C点就停止，过P点作射线，设P点运动路程为，射线扫过正方形内部的面积为．(1)求出y与x的函数关系式，并在平面直坐系中画出其函图象．(2)写出该函数图象的一条性质：(3)若的图象与的图象有交点，请直接写出k的取值范围．例7．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D．(1)四边形的形状是________；(2)求直线的函数解析式；(3)如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为ts．①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长；②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围．【例7．（2024·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为．(1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求CD所在直线的表达式；(2)若入射光线与平面镜AB有公共点，求的取值范围；(3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数．

例8．（23-24七年级下·福建泉州·期末）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，公里，为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：◆第一枪发令时间，A区选手出发；◆第二枪发令时间，B区选手出发；◆第三枪发令时间，C区选手出发．若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里：乙为A区选手，平均配速为分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）(1)在整个赛程中，甲、乙共有________次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；(2)此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．

1．某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元．(1)在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？(2)写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式；(3)若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）某学校计划购买甲乙两种型号的电脑，购买2台甲种型号电脑与1台乙种型号电脑总费用为8400元；1台甲种型号电脑比1台乙种型号电脑贵600元．(1)求1台甲种型号电脑和1台乙种型号电脑各多少元？(2)若学校计划购买甲乙两种型号的电脑共60台，并且乙种型号电脑的数量不超过甲种型号电脑的数量的2倍．求至少需要购买多少台甲种型号电脑？并求出购买电脑总费用的最小值．

3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）．(1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式；(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少．4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元．(1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？5．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义(2)求，，关于x的函数解析式(3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”）②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为．(1)当时，求对应的值；(2)当点在边上时，求与之间的函数关系式；(3)如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由．

7．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测