12.5 行程问题-一次函数的应用（压轴题专项讲练）（教师版）

专题12.5行程问题——一次函数的应用典例分析典例分析【典例1】在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：（1）甲车的速度为千米/小时，乙车的速度为千米/小时，B、C两地间的距离为千米；（2）求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米．【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键．（1）由已知得乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地，所以可求得甲车的速度为3206-2=80千米/小时，以及AB两地相距80千米，同时由已知可得乙车从B地到达C地共用时8小时，乙车的速度为320-806+2=30千米/小时，B、（2）由（1）可知D，G两点的坐标，设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y=（3）由题意知E2,0，F6,320，用待定系数法求出甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式y=80x-160，即可求出当x=245小时时，甲乙两车相遇，再分0<【解题过程】解：（1）∵甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，∴乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地，∴甲车的速度为3206-2=80千米∴AB两地相距80×1=80∵甲车比乙车早2小时到达C地，∴乙车从B地到达C地共用时8小时，∴乙车的速度为320-806+2=30千米/小时，B、C两地间的距离为故答案为：80；30；240．（2）由（1）可知，D0,80，G设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y=则b1解得k1所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y=30（3）设甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y=由题意知E2,0，F则2k解得k2所以甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为y=80令30x解得x=所以当x=乙车到达C地前，两车之间相距50千米的情况有四种：①当0<x<1时，乙车出发80x解得x=②当1<x<24530x解得x=③当245<x80x解得x=④当6<x<8时，即甲车到达C地后到乙车到达320-(30x解得x=综上说述，乙车到达C地前，两车出发511小时或小时195小时或295小时或19学霸必刷学霸必刷1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为36米的时刻不可能是（

）A．5分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．17分钟【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，正确的表示函数关系式是解题的关键．根据图像与题意求甲的函数关系式为y甲=12x+600≤

【解题过程】解：由图像可知，甲的速度为300-6020=12米/分钟，当0≤x≤4时，乙的速度为604=15米/分钟，当∴甲的函数关系式为y甲=12x令y甲当0≤x≤4时，解得x=8当4≤x≤14时，当12x+60-当12x+60-当14≤x≤20时，可得解得x=17综上，x的值可能为5或11或17，不可能为9，故选：B．2．（23-24八年级下·全国·单元测试）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=54其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．

【解题过程】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲把5,300代入可求得k=60∴y甲设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙把1,0和4,300代入可得m+解得m=100∴y乙令y甲=y解得t=2.5即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确；令|y甲-y乙当100-40t=50时，可解得t=当100-40t=-50时，可解得t=又当t=56时，当t=256时，乙到达B城，综上可知当t的值为54或154或56或t=256综上可知正确的有①②③共三个，故选：C．3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程x（千米）与计费y（元）之间的函数关系图象．有下列说法：①“快车”行驶里程不超过5千米计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2千米的部分，每千米计费1.2元；③点A的坐标是6.5,10.4；④甲、乙两地之间的路程是15千米，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①根据“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系图象的拐点为(5,8)，即可得知结论成立；②根据“单价=超出费用÷超出距离”即可算出“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费价格，从而得知结论成立；③设出“滴滴顺风车”与“滴滴快车”超出部分的函数解析式，利用待定系数法求出两个函数解析式，再联立成方程组，解方程组即可得出A点的坐标，从而得知结论成立；④将x=15分别代入y1、

【解题过程】解：①根据“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系图象可知：行驶里程不超过5公里计费8元，即①正确；②“滴滴顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费为(14.6-5)÷(10-2)=1.2（元），故②正确；③设x≥5时，“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y将(5,8)，(10,16)代入函数解析式得：8=5k解得：k∴“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y1当x≥2时，设“滴滴顺风车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y将(2,5)、(10,14.6)代入函数解析式得：5=2k解得：k∴“滴滴顺风车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y联立y1、yy1解得：x∴A点的坐标为(6.5,10.4)，故③正确；④将x=15分别代入y1，yy2∴即甲、乙两地之间的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，故④正确．综上可知，正确的结论个数为4个．故选D．4．（23-24八年级上·全国·单元测试）四川省渠县中学创客小组进行机器人跑步大赛，机器人小A和小B从同一地点同时出发，小A在跑到1分钟的时候监控到程序有问题，随即开始进行远程调试，到3分钟的时候调试完毕并加速前进，最终率先到达终点，测控小组记录的两个机器人行进的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示．下列结论：①两个机器人第一次相遇时间是在第2分钟；②小B每分钟跑50米；③赛程总长200米；④小A到达终点时小B距离终点还有20米．其中正确的有（A．仅① B．仅①④ C．仅①②③ D．①②③④【思路点拨】本题考查了一次函数的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，路程=速度×时间的运用，在解答时利用函数解析式建立等量关系求解是关键．利用待定系数法求出线段AB的解析式，然后当y=80时代入解析式就可以求出两人第一次相遇的时间，可以判断①正确；此时小B2分钟跑了80米，求得小B的速度判断②错误；运用待定系数法求出OD的解析式，求得点F的坐标，再用待定系数法求出BC的解析式，当x=4时代入解析式求出全程判断③错误；当x=4

【解题过程】解：①如图，设线段AB的解析式为yAB由图象得：A1,60，B∴60=解得：k1则yAB当yAB=80时，解得：x=2，此时E点的坐标为2,80故故比赛2分钟时两机器人第一次相遇，故①正确；此时小B2分钟跑80米，小B的速度为：802=40米即小B每分钟跑40米，故②错误；设线段OD的解析式为yOD∵线段OD经过点E2,80∴80=2k解得：k2∴线段OD的解析式为yOD当x=3.5时，y∴点F的坐标为3.5,140，设线段BC的解析式为yBC∵BC经过：B3,100，140=3.5k解得：k3则yBC当x=4时，y∴点C的坐标为4,180，∴总赛程长为180米，故③错误；当小A到达终点时小B也走了4分钟，即当x=4时，y∴小B距离终点还有180-160=20米，故④正确；故选：B5．（23-24九年级上·重庆·期中）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发23h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离ykm与货车行驶时间xA．aB．点F的坐标为8,0C．出租车从乙地返回甲地的速度为128D．出租车返回的过程中，货车出发12517h或123【思路点拨】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用.利用待定系数法求得OC的解析式，将1,a代入解析式，解方程即可判断A根据A选项中a的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可求出装货时间，即点B的坐标，再根据货车继续出发23h后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线BG的解析式中k的值，最后将点B坐标代入直线BG的解析式，利用待定系数法即可得到直线BG的解析式，把y=480代入可求得点G的坐标，进而得到点由B选项中点F的坐标，再结合题意，可得点E的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，从而判断C选项；设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60km，出租车距离乙地为128t-4=128t-512km

【解题过程】解：结合图象，可得C4,480设直线OC的解析式为y=将C4,480代入解析式，可得480=4k，解得直线OC的解析式为y=120x把1,a代入y=120x故A选项正确；根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km可得此时出租车距离乙地为120+120=240km出租车距离甲地为480-240=240km，把y=240代入y=120x，可得240=120货车装完货时，x=2，可得B2,120根据货车继续出发23h后与出租车相遇，可得23根据直线OC的解析式为y=120x，可得出租车的速度为相遇时，货车的速度为120÷23故可设直线BG的解析式为y=60将B2,120代入y=60x+b直线BG的解析式为y=60x把y=480代入y=60x，可得480=60∴G∴F故B选项正确；根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得EF=∴E出租车返回时的速度为480÷314故C选项正确；设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km此时货车距离乙地为60km，出租车距离乙地为128①出租车和货车第二次相遇前，相距12km可得60t解得t1②出租车和货车第二次相遇后，相距12km可得128t解得t2故在出租车返回的行驶过程中，货车出发12517h或13117故D选项错误．故选：D6．（24-25九年级上·全国·课后作业）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y(m)与出发时间x(【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键．待定系数法求小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为y1=80x．小华离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为y2=-120

【解题过程】解：设小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为y1将(30,2400)代入y1=kx解得k=80∴y1设小华离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为y2将(0,2400)和(20,0)代入y2=ax解得a=-120∴y2当y1=y解得x=12∴y1∴两人相遇时，他们到甲地的距离是960m故答案为：960．7．（2024·山东济南·模拟预测）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为．【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可．

【解题过程】解：如图：根据题意可得A8,a，D12,a设AE的解析式为y=kx+b解得k∴直线AE的解析式为y=同理：直线AF的解析式为：y=-直线OD的解析式为：y联立y=a解得x=6y联立y=a解得x=9∴两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3分钟．故答案为：3分钟．8．（23-24八年级下·四川广安·期末）周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程y（km）与小华离家时间x（h）的函数图像．已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3【思路点拨】本题考查了一次函数的应用以及解二元一次方程组，解题的关键是依据数量关系列出的二元一次方程组．根据题意求出直线BC解析式和直线DE解析式，联立求解交点坐标，进而求解；

【解题过程】解：根据题意作图如下：小明骑车速度：10÷0.5=20km/h爸爸驾车速度：20×3=60km/h设直线BC解析式为y=20把点B1,10代入得b∴y设直线DE解析式为y=60把点D43，∴y∴y解得：x=1.75∴交点F1.75,25设从爸爸追上小华的地点到乙植物园路程为n（由题意得：n20∴n∴从家到乙地的路程为5+25=30（故答案为：309．（2024八年级·全国·竞赛）在一条笔直的公路上，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发匀速行走前往C地（到C地停止）．设行走x分钟后，甲、乙到B地的距离分别为y1、y2﹐由于天气的关系．只有在距离不超过60m时，两人才能相互看见．从开始出发至乙到达C地，乙能看见甲时x的取值范围是．【思路点拨】甲到B地前，乙不能看见甲，过B地后，根据甲1min行300m求出甲的速度，结合y1过1,0求出y1=300x-300，根据y2过10,2400求出y2=240x，甲到达本题主要考查了一次函数的实际应用．熟练掌握一次函数图象的关键点关键信息，待定系数法求函数解析式，函数与不等式组的关系，是解决问题的关键．

【解题过程】解：甲到B地前，乙不能看见甲，过B地后，设y1∵甲的速度为，300÷1=300m∴k=300∵y1与x的函数关系图象过点1,0∴0=300×1+b解得，b=-300∴y1设y2∵y2与x的函数关系图象过点10,2400∴10m解得，m=240∴y2甲到达C地前，y1即60x解得4≤x甲到达C地后，0≤2400-240x解得9.75≤x综上4≤x≤6或故答案为：4≤x≤6或10．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发，匀速驶向B地，40min后乙车出发，匀速行驶一段时间后在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相距40km时，甲车的行驶时间为h．【思路点拨】本题考查了一次函数的应用．根据图象数据求出甲、乙的速度，再求出OD段，EF段，CF段对应的函数解析式，然后根据甲、乙两车相距40km列出方程求出x即可．

【解题过程】解：由图可知，甲从A到B所用时间为7+40∴甲车的速度为4607乙出发时甲所走的路程为：60×2∴甲出发23h时，甲、乙两车相距∴线段CF对应的函数表达式为：y=60设乙车刚出发时的速度为akm/h，则装满货后的速度为(a根据题意可知：4a解得：a=90∴OD段对应的函数解析式为y根据题意得：90x解得x=∴83∴甲出发103h时，甲、乙两车相距∵D坐标为(4,360)∴E坐标为(4.5,360)设EF对应的函数解析式为y=则4.5k解得k=40∴EF对应的函数解析式为y由题意得：40x解得x=5此时5+2综上所述：当甲、乙两车相距40km时，甲车的行驶时间为23h或10故答案为：23或103或11．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）某天早晨，小明从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小明跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．小明、妈妈两人距家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题：小明出发分钟与妈妈相距1000米．【思路点拨】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键．求出直线AC的解析式、直线BD的解析式、直线OA的解析式，分三种情况讨论即可求解．

【解题过程】解：设直线AC的解析式为y=则30k解得：k=-150∴直线AC的解析式为：y=-150张强返回时的速度是：3000÷50-30=150（米∴3000-45-30∴B45,750如图，设直线BD的解析式为y=则0+n解得：m=-50∴直线BD的解析式为y=-50直线OA的解析式为y=①-50解得：x=②100x解得：x=③-150解得：x=35综上所述，小明出发403分钟，803分钟，35分钟与妈妈相距故答案为：403或803或12．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有A，B，C三港口，甲，乙两船分别从A，B港口同时出发，匀速驶向C港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距B港的路程y（单位：千米）与乙船行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出甲船的速度和A，C两港之间的路程；（2）求甲船从B港到C港的过程中y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案．【思路点拨】本题考查的是一次函数的图象及一次函数的应用，解答此题时要注意运用分类讨论的思想，不要漏解．（1）从图中可以计算出结论即可；（2）设甲船从B港到C港的过程中y与x的函数关系式为y=（3）先根据一次函数的图象求出乙的速度，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行驶，三种情况进行解答即可．

【解题过程】解：（1）从图中可以得出甲船的速度为：30+901A，C两港之间的路程为30+90=120km故答案为：120；（2）从图中可以得出甲船从A到B所需要的时间为：30120∴B设甲船从B港到C港的过程中y与x的函数关系式为y=∴0.25k+∴甲船从B港到C港的过程中y与x的函数关系式为y=120（3）乙船的速度为：901.5设乙船行驶t小时两船相距的路程为15千米，①甲船追上乙船之前，两船相距的路程为15千米，则：120-60t解得：t=②甲船追上乙船之后且甲船到达C地之前，两船相距的路程为15千米，则：120-60t解得：t=③甲船到达C地之后，两船相距的路程为15千米，则：60+解得：t=综上所述，乙船行驶14小时或34小时或5413．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米/分，两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数图像在图2中分别表示．（1）求小明步行的速度．（2）已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧．①求图中a的值；②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远．【思路点拨】本题考查一次函数的应用；（1）根据“速度=路程÷时间”计算即可；（2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可；②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．

【解题过程】（1）由A(8,800)可知哥哥的速度为：800÷8=100(（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，∴妹妹所用时间t为：800÷200=4(min∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，∴a=8+2-4=6②由（1）可知：哥哥的速度为100mmin∴设BC所在直线为s1将B(17,800)代入得：800=100×17+解得b=-900∴BC所在直线为：s1当s1=1900时，∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，∴妹妹的速度是160米/分.∴设妹妹返回时得解析式为s2∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时tF∴F将F(21,800)代入得800=160×21+解得b=-2560∴s2令s1=s解得t=∴妹妹能追上哥哥，此时哥哥所走得路程为：800+833兄妹俩离家还有1900-5600即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家100314．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，25h后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时15min，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（1）a=______，b=（2）求c的值．（3）当货车返回时，求y与x之间的函数关系式．（4）当两车相距15km【思路点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．（1）根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；根据货车从A地到B地花了34小时结合路程=速度×时间即可求出A、B两地的距离；（2）根据路程=速度×时间，先求出巡逻车的速度，在求出c即可；（3）利用待定系数法求解即可；（4）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．

【解题过程】（1）解：∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴a=80×3∴A，B两地之间的距离是60千米，故答案为：1，60；（2）解：由题意得，巡逻车的速度为60÷2+25∴c=25×（3）解：设货车返回中y与x的函数解析式为y将1,60，2,0代入y=k+解得k=-60∴函数解析式为y=-60（4）解：设货车出发x小时两车相距15千米，当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则25x解得x=-当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则25x解得x=∴x+∵25×1+∴货车卸货过程中两车不可能相距15千米，当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则25x解得x=∴x+当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则25x解得x=∴x+综上所述，当巡逻车出发4755小时或12985小时或1598515．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为xh，甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x（1）甲的速度是kmh，乙的速度是km（2）对比图1．图2可知：a=，b=（3）当两人相遇后，请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）．（4）乙出发h，甲、乙两人相距7.5km【思路点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；（2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到a、b的值；（3）利用待定系数法分段求函数关系式；（4）由图象可知甲乙相距7.5km

【解题过程】（1）解：由图可得，甲的速度为：25÷(1.5-0.5)=25÷1=25(km/h故答案为：25，10；（2）解：由图可得，a=25×(1.5-0.5)-10×1.5=10b=1.5故答案为：10；1.5；（3）解：当0≤x≤0.5时，设代入0.5,5得，0.5k解得k∴d=10甲乙第一次相遇时，x=5÷(25-10)+0.5=当0.5<x≤56时，设解得k1∴d当56<x≤1.5时，设解得k2∴d当1.5<x≤2.5时，设d=解得k3∴d综上，d与x的关系式为d（4）解：由题意可得，前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5=5<7.5则甲、乙两人路程差为7.5km设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.525(x解得x=25-10x=7.5，得即乙出发43h或74故答案为：43或716．（2024·河北唐山·二模）如图，某铁道桥桥长AC=1000米，现有一列火车QB以固定的速度过桥．小明在距桥头A处100米的点O固定激光测速仪，激光射线OP与桥AC交于点P(400,100)；小聪在点M(500,0)处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线MQ（激光MQ)追踪火车头点Q，当火车头Q刚好在桥头时，车尾B的坐标为（1）火车行驶的速度为米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用秒；（2）当车尾刚好经过点P时，求射线MQ所在直线的函数表达式，并求射线MQ、射线OP的交点坐标；（3）若火车头Q刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线MQ与射线OP有交点的时长．【思路点拨】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键．（1）由点Q与B的坐标求出火车的长度，分别根据“火车行驶的速度=（桥的长度-火车的长度）÷整列火车完全在桥上的时间”和“火车从开始上桥到完全过桥所用的时间=（桥的长度+火车的长度）÷火车行驶的速度”计算即可；（2）根据火车的长度和点P的坐标，求出当车尾刚好经过点P时，火车头Q的坐标，利用待定系数法求出射线MQ所在直线的函数表达式；利用待定系数法求出射线OP所在直线的函数表达式，两函数表达式联立列方程组并求解即可得到交点坐标；（3）当MQ∥OP时，射线MQ与射线OP无交点，设此时Q(a,100)，根据射线OP所在直线的函数表达式的一次项系数，设出射线MQ所在直线的函数表达式，将点M的坐标代入，求出MQ所在直线的函数表达式，再将Q(a,100)代入，求出对a，再根据

【解题过程】（1）∵Q(0,100)，0-(-300)=300（米)，∴火车的长度为300米，则火车行驶的速度为(1000-300)÷14=50（米/秒），火车从开始上桥到完全过桥共用(1000+300)÷50=26（秒)．故答案为：50，26．（2）∵火车的长度为300米，P(400,100)∴当车尾刚好经过点P时，火车头Q(700,100)设射线MQ所在直线的函数表达式为y=k1x+将坐标M(500,0)和Q(700,100)分别代入得500k解得k1∴射线MQ所在直线的函数表达式为y=0.5设射线OP所在直线的函数表达式为y=k2将坐标P(400,100)代入y得400k解得k2∴射线OP所在直线的函数表达式为y=0.25当射线MQ、射线OP相交时，得0.5x解得x=1000∴射线MQ、射线OP的交点坐标为(1000,250)．（3）当MQ∥OP时，射线MQ与射线OP无交点，设此时设当MQ∥OP时，射线MQ所在直线的函数表达式为将M(500,0)代入y得0=0.25×500+b解得b=-125∴y将Q(a,100)代入y解得a=900900÷50=18（秒)，∴激光射线MQ与射线OP有交点的时长为18秒．17．（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，0.5小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示．（1）小红同学骑自行车的速度为千米/小时；（2）当0.5≤x≤2.5时，求小明距甲地的距离y与（3）当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离．【思路点拨】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键．（1）根据：速度=路程/时间，计算即可．（2）利用待定系数法求解即可．（3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离y与x之间的函数关系式y=10x-5，当小红到达乙地时，y=15，代入求出相对应x的值，将x

【解题过程】（1）由图象可知，小红同学在1-0.5小时内骑了5千米，故其骑自行车的速度为5÷1-0.5=10（千米故答案为10．（2）当0.5≤x≤2.5时，设小明距离甲地的距离y与x之间的函数关系式为y=kx+b（点0.5,5和2.5,15在直线y=kx+可得0.5k解得k=5∴当0.5≤x≤2.5时，小明距离甲地的距离y与x之间的函数关系式为y=5（3）设小红距离甲地的距离y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k、小红同学骑自行车的速度为10千米/小时，且点0.5,0在直线上，∴k=10故小红距离甲地的距离y与x之间的函数关系式为：y=10当小红到达乙地时，y=15，代入解得：y解得：x=2将x=2带入到y解得：y=12.5故15-12.5=2.5（千米），∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为2.5千米．18．（23-24七年级下·四川成都·期中）公交车从A地向B地驶出，到达B地后停止.小汽车从B地向A地驶出，小车到达A地后立马返回B地．两车距B地的路程y（千米）和公交车离开A地的时间x（小时）如图所示，根据图象解决一下问题：（1）A，B两地相距千米，公交车速度为千米/小时，a=（2）小车出发两小时与公交车相距多少千米？（3）求小车出发几小时后，两车相距50千米？【思路点拨】（1）观察图可得A，B两地的距离，根据“速度=路程÷时间”求得公交车的速度，小汽车从B地到A地与从A地返回B地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，列关于a的方程并求解即可；（2）根据“路程=速度×时间”，分别求出两车与B地的距离并求差即可；（3）利用待定系数法分别求出公交车距B地的路程y和公交车离开A地的时间x的函数关系式、小车距B地的路程y和公交车离开A地的时间x的函数关系式，根据两车的距离列绝对值方程并求解，并转换为小车出发后的时间即可．本题考查一次函数的应用，熟练掌握路程、速度、时间之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．

【解题过程】（1）由图象可知，A，B两地相距300千米，公交车速度为300÷5=60(千米/小时)，小汽车从B地到A地与从A地返回B地的过程中行驶的路程相等，速度相等，则所用时间相等，得a-4=4-1，解得故答案为：300，60，7．（2）小车的速度为300÷4-1=100(千米/小时)，则小车出发2小时距B地的距离为100×2=200(千米当小车出发2小时时，公交车已出发了3小时，公交车行驶3小时距B地的距离为300-60×3=120(千米)，200-120=80(千米)，∴小车出发两小时与公交车相距80千米．（3）设公交车距B地的路程y和公交车离开A地的时间x的函数关系式为y=kx+b(将坐标0,300和5,0代入y=得b=300解得k=-60∴公交车距B地的路程y和公交车离开A地的时间x的函数关系式为y=-60当1≤x≤4时，设小车距B地的路程y和公交车离开A地的时间x的函数关系式为y=k1将坐标1,0和4,300代入y=得k1解得k1∴y当4<x≤7时，设小车距B地的路程y和公交车离开A地的时间x的函数关系式为y=k2将坐标4,300和7,0代入y=得4k解得k2∴y综上，小车距B地的路程y和公交车离开A地的时间x的函数关系式为y=当0≤x≤1时，-60x+300=50当1<x≤4时，100x-100-当4<x≤5时，-100x+700--60x+300当5<x≤7时，-100综上，当公交车出发3516小时或4516小时或1323516-1=1916(小时)，4516∴小车出发1916小时或2916小时或11219．（2024·江苏宿迁·三模）已知A、B、C三地在同一条直线上，且C地在A、B两地之间，轿车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地，两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是轿车速度的35．如图是轿车、货车离C站的路程y1，y2（1）货车的速度为_______；A、B两地间的路程为______km；（2）货车出发后，经过多少时间两车相距200km【思路点拨】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想分情况讨论是解答本题的关键．（1）根据函数图象中的数据，可以先计算出轿车的速度，然后根据货车的速度是轿车速度的35，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出A、B（2）根据函数图象中的数据，用待定系数法可以分别计算出轿车与行驶时间x（h）的函数关系式，货车与的函数关系式，然后分成0≤x≤3

【解题过程】（1）由图象可得，轿车的速度为：6006∵货车的速度是轿车速度的35