专题02 轻松破解求函数值域或最值的十大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

2/37专题02轻松破解求函数值域或最值的十大题型题型一：观察法 1题型二：配方法 2题型三：图象法 4题型四：分离常数法 7题型五：判别式法 8题型六：换元法 10题型七：单调性法 11题型八：基本不等式法 13题型九：反解法 16题型十：由函数的值域（或最值）求参 17题型一：观察法通过对函数详解式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域或最值.1.（24-25高一上·河南驻马店·月考）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以，所以函数的值域为.故选：B.2.（24-25高一上·重庆沙坪坝·月考）函数的值域为（

）A． B． C． D．R【答案】C【详解】函数的定义域为，则，则，则，则函数的值域为.故选：C3.（24-25高一上·云南丽江·月考）函数在的值域为.【答案】【详解】因为，则，可得，所以在的值域为.4.（23-24高一上·湖北·期中）已知函数满足，则函数值域为.【答案】【详解】令，则，所以，所以的详解式为，其中.当时，，所以值域为.题型二：配方法对二次函数型的详解式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值.5.（24-25高一上·河南开封·月考）已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，故，故函数值域为.故选：B6．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知，函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得图象的对称轴为，而，故当时，，当时，，函数的值域是，故选：C7．函数，的值域为.【答案】【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以函数的值域为.故答案为：8.（24-25高一上·江西南昌·月考）函数的值域为.【答案】【详解】因为二次函数的值域为，所以的定义域是，值域为.9．（24-25高一上·浙江杭州·月考）函数的定义域为，则函数的值域为．【答案】【详解】由题意可知，要有意义，则需，即，即函数定义域为，又，对称轴方程为，所以当时，，当时，，所以函数值域为，题型三：图象法作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域或最值.9.（24-25高一上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（

）A．0 B．1 C．3 D．12【答案】C【详解】则的图象如下：∴当或时，有最小值3.故选：C.10.（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数(1)作出函数的图象；(2)写出函数的单调区间；(3)当时，求的值域.【分析】（1）根据二次函数的图象作图即可；（2）根据函数图象写出单调区间即可；（3）根据函数在上的单调性，即可得出答案.【详解】（1）解：，作出函数图象，如图所示：（2）解：由图可得：函数的单调增区间为，单调减区间为；（3）解：因为函数在上递减，所以，所以的值域为.11.（24-25高一上·河南开封·月考）设函数．(1)将函数写成分段函数的形式并画出其图像；(2)写出函数的单调递增区间和值域．【分析】（1）分和分情况去绝对值即可得到详解式，根据详解式画出图像即可；（2）根据图像即可得的单调递增区间和值域.【详解】（1）当时，，当时，，所以，其图像如下所示：（2）因为，由图像可得的单调递增区间为，值域为.12.给定函数，，．用表示，中的较大者，即.

(1)请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可；(2)写出函数的值域；(3)若，则求a的值．【分析】（1）根据的定义可得详解式，即可作图，（2）根据函数图象即可求解最值，进而得值域，（3）分类讨论即可代入求解.【详解】（1）由，得，或，得到；得到或，故，故的图像如图：

（2）由图象可知当时，取最小值，故值域为．（3）当时，，∴．当或时，或（舍）故或.题型四：分离常数法适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值.13.（24-25高一上·湖北宜昌·月考）函数在区间上的值域为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减，当时，；当时，；所以函数的值域为.故选：D.14.（24-25高一上·重庆云阳·月考）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为，所以，故值域为．故选：D15.（24-25高一上·江苏徐州·月考）函数的值域为（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】，当时，.则.故选：B.16.（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为．【答案】/【详解】，因为，所以，当时等号成立，所以．17.函数的值域是．【答案】【详解】函数有意义，则，解得且，显然，则，由，得，所以函数的值域是．题型五：判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值.18.（24-25高一上·安徽淮南·月考）若函数的最大值为，最小值为，则（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】设，，，时，，时，因为，所以，解得，即且，综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B．19.（24-25高三上·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对称性，不妨设，已知变形为，，得是方程的两根，由判别式求得范围后可得．【详解】不妨设是中的最小值，则由得，由已知，，所以是方程的两根，所以，又，所以，，从而，故选：D．20．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】D【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值.【详解】根据题意，若方程有解，则，即，所以，当时，，此时，即，也就是说当且仅当时，.故选：D21.（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域是．【答案】【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，所以，当时，；当时，，解得，所以，，即函数的值域是题型六：换元法通过对函数的详解式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值.22.（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，，则，所以函数，函数在上单调递增，时，有最小值，所以函数的值域为.故选：C23．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值.【详解】设，则，因为，所以，即：，所以，解得：，又因为，为正实数，所以，所以的最大值为.故选：C.24．（24-25高一上·江西南昌·月考）函数的值域为.【答案】【详解】令，则，所以.故答案为：.25．（25-26高一·全国·假期作业）函数的值域为．【答案】【分析】先求出函数的定义域，将函数式两边取平方得，利用换元成，，利用函数的单调性求得函数的最值即得函数值域.【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为，则，设，则，显然在上为减函数，故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2；当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为.故函数的值域为.题型七：单调性法求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值.26．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（

）A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值【答案】B【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解.【详解】奇函数图象关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同，函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增，又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值.故选：B.27．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，则（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为6【答案】A【详解】任取，则，因为，所以，，故，所以即，所以在单调递增；同理可证在单调递减，所以.故选：A.28.（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（

）A．0 B．4 C． D．【答案】D【分析】先求函数单调性，即可得最值.【详解】根据题意，函数的定义域为，且由于在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，所以．故选：D．29.（23-24高三上·海南·摸底考）函数的最小值为．【答案】【详解】的定义域满足，即.则函数定义域为.在内单调递减，在也是单调递减，则在定义域内单调递减，则.题型八：基本不等式法形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：=1\*GB3①；=2\*GB3②（或）为定值；=3\*GB3③取等号的条件为，三个条件缺一不可；30.(24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值.【详解】由题意，，在中，，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，故选：D.31.（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，（当且仅当时取等号）；当时，（当且仅当时取等号）；综上所述：的值域为.故选：C.32.(多选)（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）下列函数的最小值为的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】AC由基本不等式进行求解；B选项，可举出反例；D选项，变形后利用基本不等式求出答案.【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，，故A正确；对于B，取，则，故B不正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故不是4，故C错误.对于D，因为，所以，故有基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：AD33.（24-25高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】结合题意：，当时，；当时，，当且仅当，即，原式取得最小值；另一方面，因为，所以，即;当时，，当且仅当，即，原式取得最大值;另一方面因为，令，则，所以，所以所以，即;综上所述：函数的值域是.故选：A.34.（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域.（2）已知，求函数的最小值.【详解】（1），当且仅当时等号成立，则函数值域为.（2）因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为，此时.35.（24-25高一上·浙江杭州·期中改编）求下列函数的值域：(1)；(2)【详解】（1）因为，则，可得，当且仅当，即x=2时，等号成立，所以函数的值域为.（2）因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，即，所以函数的值域为.题型九：反解法根据函数详解式反解出，根据的取值范围转化为关于的不等式(组)求解36.（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由，得或，则函数定义域为，由，得，所以，得，显然，所以，所以，由，得，所以，所以，，解得或，由，得，，解得，由，得，，解得，综上，或，所以函数的值域为，故选：D37.（24-25高一上·云南·期中）函数的值域为.【答案】【详解】由，可得，所以原函数的反函数为，由，反函数的定义域为，所以原函数的值域为.38.（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为.【答案】【详解】令，可得，可得，即，由，可得，解得，所以，函数的值域为.题型十：由函数的值域（或最值）求参先确定函数值域表达式，转化为方程有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性.39．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】考虑函数的单调性，结合值域求a的取值范围.【详解】函数，由对勾函数的性质可知，由于在上单调递减，在上单调递增，且注意到，，，40．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，记函数，其中实数，若的最小值、最大值分别为9，11，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数，借助对勾函数的单调性，按分类求出最值，进而求出范围.【详解】由，得，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，而，当时，在上单调递减且的值域为，则，，解得，因此；当时，在上单调递减，在上单调递增，又为的最小值，，且的值域为，则，即，解得，因此，所以a的取值范围为.故选：B41．（23-24高一上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，先求得函数和交点坐标，然后分别画出两个函数图象，结合图象，即可得到结果.【