完全平方公式第3课时多项式与多项式的乘法课件人教版八年级数学上册

16.3.2完全平方公式第3课时多项式与多项式的乘法学习目标1理解完全平方公式的结构特征，了解公式的几何背景2学会应用完全平方公式进行简单计算复习回顾1.计算(1)本质是多项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘复习引入问题2

应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项

，另一项

；2.右边是

的平方减去

的平方；3.公式中的a和b可以是

，也可以是

或

．相同相反相同项相反项数字单项式多项式问题1平方差公式探索新知探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝

＝

.(2)(m＋2)2＝

＝

.p2＋

p＋

p

＋

12m2＋2m＋2m＋

22两数的___的平方和两数____的和，平方加上它们积的__倍2p2＋2p

＋

12m2＋4m＋

22探索新知规律：两个数的和的平方，等于这两个数平方的和，加上它们的积的

2倍.验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？∵(a＋b)2

＝(a＋b)(a＋b)＝

a2＋2ab＋b2.＝

a2＋

ab＋

ab＋

b2∴上述结果仍成立.思路一：探索新知你能几何的形式证明公式成立吗?(求大正方形面积）思路二：aabb整体求：总面积

＝(a＋b)2.部分求：面积和

＝

a2＋ab＋ab＋b2.(a＋b)2＝

.a2＋2ab＋b2a2b2abab探索新知探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(3)(p－1)2

＝

＝

.p2－2p＋12(4)(m－2)2

＝

＝

.m2－4m＋22规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的

2倍.验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？∵(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－2ab+b2.＝a2－ab－ab+b2∴上述结果仍成立.思路一：p2－p－p

＋(－1)2m2－2m－2m

＋(－2)2合作探究思考

你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？(求左下角正方形面积）

(a−b)2a2−2ab+b2=（乘法的）完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.公式的特征积为二次三项式、积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；公式中的字母

a、b可以表示数、单项式或多项式.123文字语言：两个数(式子)的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.典型例题例1

运用完全平方公式计算：

解：(1)(4m＋n)2＝＝16m2(a

＋

b)2＝

a2

＋2ab

＋

b2(4m)2＋2×(4m)·n＋

n2＋8mn＋

n2.

(1)(4m＋

n)2；变式1(1)(x＋6)2;(2)(y－5)2;

(3)(－x－6)2

(4)(5－y)2

1.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(a＋b)2=a2＋b2(2)(a－b)2=a2－ab＋b2(3)(2x＋y)2=4x2＋2xy＋y2(1)解：原式=x2＋2×6x＋62=x2＋12x＋36(2)解：原式=y2－2×5y＋52=y2－10y＋25(3)解：原式=(-x)2＋2×(-6)·(-x)＋(-6)2=x2＋12x＋36(4)解：原式=52－2×5y＋y2=y2－10y＋25思考：对比(1)与(3)：(a+b)2与(−a−b)2相等吗?对比(2)与(4)：(a−b)2与(b−a)2相等吗?对比归纳思考

对比(1)和(3)：(a+b)2与(−a−b)2相等吗?相等，因为(−a−b)2=(−a)2+2·(−a)·(−b)+(−b)2=a2+2ab+b2=(a+b)2.相等，因为(b−a)2=b2−2ba+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2.不相等，因为(a−b)2=a2−2ab+b2≠a2−b2.(a−b)2与

a2−b2相等吗?对比(2)和(4)：(a−b)2与(b−a)2相等吗?典型例题例2

运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992.(2)原式＝(100－2)2＝1002－2

100

1＋12

＝10000－200＋1

＝9801.解：(1)原式＝(100＋2)2＝1002＋2

100

2＋22

＝10000＋400＋4

＝10404；1.(1)(－2x＋5)2

(3)(－2m－1)2当堂练习2.先化简，再求值：(x＋2y)2－(x＋y)(x－y)－5y2，其中x＝3，y＝2.解：原式＝x2＋4xy＋4y2－(x2－y2)－5y2当x＝3，y＝2时，原式＝4×3×2＝24＝4xy＝x2＋4xy＋4y2－x2＋y2－5y2数学八年级上册9.(2024·广州二模)已知T＝(1＋a)2＋a(1－a).(1)化简T；解：(1)T＝1＋2a＋a2＋a－a2＝3a＋1.(2)若a满足6a＋1＝3，求T的值.解：(2)∵6a＋1＝3，∴a＝

.∴T＝3×

＋1＝2.典例分析方法总结应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：（1）积为二次三项式；（2）积中两项为两数(式子)的平方和；（3）另一项是两数(式子)积的2倍，且与乘式中间的符号相同；（4）公式中的a和b可以是数字