阿波罗尼斯圆教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

《阿波罗尼斯圆》教学设计课题名称《阿波罗尼斯圆》教材版本人教A版（2019年）必修第二册授课时间45分钟授课类型一轮复习课时第1课时一．教材分析《阿波罗尼斯圆》出现在高中数学选择性必修一第89页习题2.4第9题。在教材中，阿波罗尼圆被安排在的平面解析几何初步中，圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用，在整个高中数学知识体系中可以和其他板块联系起来。二．课标分析新课标和全国卷高考对高中数学有共同的要求:了解概念、结论等产生的背景、应用，获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。2017全国卷高考的修订内容:在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用型、创新型的要求，增加了数学文化的要求，同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体。三、学情分析以《阿波罗尼斯圆》为课题，来提升学生对这一经典几何问题的了解，强化学生数形结合、转化与化归、归纳类比的能力，加深解析几何中有关最值、定值、定点问题的熟练程度。此外，对像阿波罗尼斯圆这样经典的数学文化课题的研究，还有利于学生进一步丰富自己的探索体验，进一步完善自己的知识体系，为后续的学习留下发展的空间。新课改教材在相关章节中都附有以数学文化内容渗透为目的的阅读素材，这正是数学文化教育发展趋势的体现。四．教学目标及核心素养1.理解并掌握阿波罗尼斯圆的定义，并能推导出阿波罗尼斯圆的方程,确定其圆心和半径，在此过程中发展学生直观想象、数学抽象和数学逻辑推理的学科素养。2.通过对阿波罗尼斯圆方程的推导，进一步发展学生利用坐标法解决问题的能力，加深对数形结合思想的理解。3.通过对阿波罗尼斯圆几何模型的简单应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养。五．重难点1.教学重点：阿波罗尼斯圆的定义及其方程的推导过程。2.教学难点：阿波罗尼斯圆方程的推导，及其圆心和半径的确定。六．教法学法1．教法分析:为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导学生通过建模来解决问题。2．学法分析:通过推导阿波罗尼圆方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求阿波罗尼圆方程，理解阿波罗尼圆性质，加深对数形结合思想的理解。七．教学准备一段导弹拦截视频，多媒体课件等八、教学过程教师活动学生活动设计意图新课导入情景导入：问：假设在一次战斗中，我军的拦截导弹是对方导弹速度的两倍，两地相距1000km，你能算出可能拦截成功的大概位置或者爆炸轨迹吗？（理想情况：导弹走直线）生：从平面上看，两个导弹的位移是两倍的关系，通过极限位置描点，感觉有点像圆。追问：平面内到两定点的距离之和为定值(大于两定点的距离)的点的轨迹是椭圆;到两定点的距离之差的绝对值为定值(小于两定点的距离)的点的轨迹是双曲线，它们的轨迹方程我们是如何严谨的得到的？生：建系设点，列出距离和与差的公式等于定值，再化简。问：那么到两定点的距离之比(商)为定值的点的轨迹是什么呢?（引出课本原题）学生描点作图，发现大致趋势和轨迹问题情景化，情景生活化。通过具体情景引导学生思考两个问题，一是如何画到两定点距离之比为定值的轨迹，二是阿氏圆的轨迹方程是怎样的。将学生引入到接下来探究的第一个具体问题：如何得到到两定点距离之比为定值的轨迹？培养学生逻辑推理和数学建模的核心素养回归书本问题起源：引出课题“阿波罗尼斯圆”．让学生自主归纳阿波罗尼斯圆的定义.在此过程中培养学生直观想象及数学抽象的核心素养.【思考1】如果把本例中“12”改为“13”,“2”,“3”等,观察动点P【思考2】通过观察动画，判断圆心位置.学生通过观察几何画板图形变化，对阿氏圆由更明确的认知，再类比椭圆和双曲线轨迹的求解过程算出阿氏圆轨迹学生上台通过变换比值，拖动进度条形成新的圆，培养学生运用数学工具解决实际问题的能力通过几何画板对这个问题探究，把学生的思维形成感性认识，从而很自然的进入了本课的主题。用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究阿波罗尼圆的方程上来，此时再把问题深入.阿氏圆的定义引申触类：问：根据上面的演示和计算，同学们能得到什么结论？“到两定点的距离之比(商)为定值的点的轨迹是圆”“这个比值不能为1，比值为1的轨迹是定点线段的垂直平分线”历史回顾阿波罗尼（Apollonius，260－190BC），出生于古希腊的小亚细亚南岸的佩尔加，青年时代的阿波罗尼曾客居亚历山大城，追随欧几里德(Euclid,330275BC)的学生学习数学。阿波罗尼对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书。他与阿基米德（Archimedes,287212BC），欧几里德(Euclid，330275BC)被称为亚历山大时期的三巨匠。定义阐述：【阿波罗尼斯圆定义】平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆.这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”.特殊地,设定点为A,B,动点为P,则当k=1时,点P的轨迹是线段AB的垂直平分线.学生活动1：观察思考后回答形成阿氏圆的条件有哪些？学生活动2：总结归纳阿氏圆的定义（2分钟）由已知探索未知。回顾阿氏圆的画法和定义的生成过程，让学生建立一个参考，能够类比椭圆和双曲线的探究过程去探究阿氏圆的定义。阿氏圆公式推导理论升华深入剖析【证明】平面内一动点P到两定点A、B的距离之比是一个常数k(k>0且k≠1)的轨迹是一个圆（简称阿氏圆）.[解析]如图，A,B为两定点，动点P满足|PA|=k|PB|.1.（建系）以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，令|AB|=2a（a>0）,则A(−a,0)，B(a,0)．2.（设点）设P(x,y)3.（找限制条件）根据题意有|PA|=k|PB|，4.（代入）则(x+a)25.（化简）两边平方并化简整理得：当k≠1时，(x-k点P的轨迹为以点(k2+1【学生归纳】求轨迹方程的一般步骤：建设现代化理论升华：学生分小组举手总结：小组一：我们通过之前的动画演示和计算发现，两个定点一个在圆内，一个在圆外，而且圆心在定点连线的延长线上小组二：我们还发现，这个阿氏圆肯定交两定点连线上的两点，这个距离就是直径，所以能快速把圆心和半径求出来，自然就得出了圆的方程。问：（对学生给出的结论予以肯定）还有没有其他结论呢？阿氏圆是从长度的比值定义出来的，那么这么多长度，它们之间有没有联系呢？学生1举手，在大屏幕展示他的图：学生3分析：前面求出阿氏圆的标准方程后，我计算了圆心到两定点的距离，发现它们的乘积就是R2学生活动1.回忆直接法求轨迹方程的步骤“建设限代化”。学生小组合作，在计算过程中完成思考阿氏圆性质的任务。小组讨论后派一名代表举手发言。（5分钟）利用坐标法推导阿波罗尼斯圆的方程，并确定其圆心和半径，归纳总结轨迹方程的一般步骤，培养学生由理性具体上升为理性一般的思维过程，同时也是学生完成直观想象的过程．由学生动手计算出阿氏圆的一般方程，然后自己归纳总结出阿氏圆的相关性质。从“做中学”将课堂上的动手权，思考权，归纳权，表达权交给学生，让学生成为课堂的主人，教师只需做好掌舵手即可。在激发学生数学学习兴趣的同时培养学生数学抽象的核心素养。归纳总结归纳总结定义：（板书）等上面学生回答完后给学生2分钟思考计算，另外点一名学生总结所有性质层层设问启发，引导学生讨论，在生生互评，教师点评中逐渐完善阿氏圆的常用性质和结论，加深学生对阿氏圆定义的理解和掌握，从感性认识上升到理性思维，培养学生的数学抽象和逻辑推理核心素养。阿氏圆的应用阿氏圆的应用经典赏析类型一.求轨迹方程课堂巡视，展示优秀卷面，规范解答过程学生1：顺势提问：还有没有其他解法？学生2：几何法更快一些，在A、B直线上很容易找两个点（0,0）,（4,0）满足题设条件，而这两个点就是圆的直径，进而推出圆心（2,0），半径R=2请分析两种解答过程的思路和方法（学生回答）法一：直接法：建设现代化，直接明了，大题优选法二：几何法，直截了当，快速出结果，小题目优选类型二.求三角形面积最值（教师巡视，指导卡顿学生思路，3分钟后展示优秀作答，并由学生分析）问:（点一个刚刚草稿上尝试用几何法计算的学生）XX同学，刚刚看见你用几何法计算这个题目，做出来了吗？发现什么问题学生：还没有，我发现在直线上找到这特殊比值太难了。问；那你分析分析，什么样的条件几何法好用些？学生：我认为两动线段的比值为一个整数的时候易于计算和观察（其他学生表示认同）学生分析思路后再统一开始做变式：已知点P是圆(x4)2＋(y4)2＝8上的动点A(6,1),O为坐标原点,则|PO|＋2|PA|的最小值为______.给学生2分钟思考教师活动：点学生聊解题思路学生1：因是一个动点两个定点的距离和问题，所以很容易想到将军饮马问题，但是这里有比例，就不太好处理追问：那你类比之前的距离和问题找找思路。学生2：前面我们复习椭圆和双曲线的时候涉及到线段和比例统一借助了它们的准线的比例求解，这节课阿氏圆的定义就有比例关系，所以我们也应该从这里入手。教师：非常不错，那么大家沿着这条思路往下再尝试一下学生3：要么将|PO|变为两倍或者把2|PA|变为一倍等待2分钟，等待学生计算学生4：|CA|所在直线的长度不好计算，通过公式求出另一点的长度后也不好表示，所以考虑在PO直线上，易求出定点为B(3,3),|PO|=2|PB|,从而得出最小值为2|AB|=10学生就新知进行计算尝试运用学生总结的过程中进行了思考，分析了直接法和几何法的优劣，同时又回忆了计算轨迹方程的步骤学生在实际计算明白了几何法使用时的阿氏圆轨迹方程的逆用，学生在做题中思考定点，定比和阿氏圆之间的对应关系学生将类比之前熟悉的将军饮马以及椭圆双曲线中不同比值求距离和问题，探索新知，将知识融会贯通阿氏圆的运用既是本节课的难点，也是本节课的一个亮点，是训练学生数学思维的一个重要环节。由学生讨论建立阿氏圆解题的思维方法，自主推导过程，在这个过程中思考，试错，纠正，总结，经历知识的发生发展过程，让学生掌握更具普遍性的化简技巧，突破难点，提高学生的数形结合和数学运算能力。学生通过前面的学习对阿氏圆有了初步的了解后进一步在题干的条件转换中对阿氏圆有了更进一步了解，学会自主探索新知，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力巧妙设问，类比推理，意在培养学生的知识迁移能力以及对于数据的敏感程度，就好比题中选PO还是PA所在直线，也要建立在对于公式、性质的熟练运用上面拓展提升类型四.阿波罗尼斯圆与立体几何问题交叉（若时间不够则打在大屏幕，学生抄题课后练习使用）体积最大为123本题可进一步拓展，从阿氏圆的顶点与圆心连线为轴旋转，形成阿波罗尼斯球，呼应了本节课开头引入部分导弹拦截中留下的空间中到两定点距离之比为定值的问题。由角的关系推导出PD=2PC从而想到阿氏圆来解决问题阿氏圆在立体几何中的应用，本题以立体几何为基点，借助角和边之间的关系，将不同体系的知识联系起来，有助于学生逻辑思维的发展和数形结合思想方法的培养课堂小结注：所有知识点和方法由学生总结，并相互补充（35分钟）板书设计作业设置最后一个拓展提升做上作业本《练习册》阿氏圆练习自行探究相关性质及推导过程教学反思在教学过程中，要注重引导学生积极参与课堂探究