2025考研数学《线代》专项训练

2025考研数学《线代》专项训练考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每小题4分，共20分）1.若向量α=(1,k,3)与β=(2,-1,1)正交，则实数k的值为________。2.设矩阵A=[a_{ij}]是一个3阶矩阵，且|A|=2，则|3A|=________。3.齐次线性方程组x_1+2x_2-x_3=0的基础解系为{(1,-1,0),(2,0,1)}，则该方程组的通解为________。4.已知矩阵A=[begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}]，则A^10=________。5.设矩阵A=[begin{matrix}1&2\3&4end{matrix}]，矩阵B=A^*+2E，其中A^*是A的伴随矩阵，E为2阶单位矩阵，则B的特征值为________。二、选择题（每小题4分，共20分）1.下列向量组中，线性无关的是（）。(A)(1,0,1),(0,1,0),(1,1,1)(B)(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)(C)(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0)(D)(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)2.设矩阵A=[begin{matrix}1&2\2&3end{matrix}]，则矩阵A的秩r(A)为（）。(A)0(B)1(C)2(D)33.设A是n阶方阵，且A可逆，则下列结论中正确的是（）。(A)|A|=0(B)A的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性无关(D)A的特征值至少有一个为04.设n阶矩阵A和B满足AB=O，则必有（）。(A)A=O或B=O(B)A+B=O(C)|A|=0或|B|=0(D)|A|+|B|=05.设A是n阶实对称矩阵，且A可逆，则下列结论中正确的是（）。(A)A的特征值均为实数(B)A的特征向量均为实向量(C)A必可对角化(D)A的特征值均为正数三、计算题（每小题10分，共40分）1.计算行列式|begin{matrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{matrix}|的值。2.求矩阵A=[begin{matrix}1&2&3\0&1&4\0&0&1end{matrix}]的逆矩阵A^(-1)。3.已知向量组α_1=(1,2,3),α_2=(0,1,1),α_3=(a,b,c)，问a,b,c满足什么条件时，α_1,α_2,α_3线性相关？4.求线性方程组begin{cases}x_1+2x_2-x_3=1\2x_1+5x_2-3x_3=4\3x_1+7x_2-4x_3=6end{cases}的通解。四、证明题（每小题10分，共20分）1.证明：若n阶矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A^*也可逆，且A^*的逆矩阵为(A^(-1))^*。2.证明：若n阶矩阵A满足A^2=A，则A的特征值只能为0或1。试卷答案一、填空题1.-22.543.x_1=c_1(1,-1,0)+c_2(2,0,1)(c_1,c_2为任意常数)4.[begin{matrix}1&2^{10}\0&1end{matrix}]5.5,5二、选择题1.(C)2.(C)3.(C)4.(C)5.(A)三、计算题1.解析思路：使用行列式按行（列）展开法则进行计算。选择零元素较多的行或列展开可以简化计算过程。计算过程：按第一行展开，得：|begin{matrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{matrix}|=1*|begin{matrix}5&6\8&9end{matrix}|-2*|begin{matrix}4&6\7&9end{matrix}|+3*|begin{matrix}4&5\7&8end{matrix}|=1*(5*9-6*8)-2*(4*9-6*7)+3*(4*8-5*7)=1*(-3)-2*(-6)+3*(-3)=-3+12-9=0答案：02.解析思路：对于上三角矩阵，其逆矩阵也是上三角矩阵，且对角线元素为1。使用初等行变换法求解。计算过程：构造增广矩阵[A|E]：[begin{matrix}1&2&3&|&1&0&0\0&1&4&|&0&1&0\0&0&1&|&0&0&1end{matrix}]对增广矩阵进行初等行变换，将其化为[E|A^(-1)]：R3->R3-4*R2[begin{matrix}1&2&3&|&1&0&0\0&1&4&|&0&1&0\0&0&-3&|&0&-4&1end{matrix}]R3->-1/3*R3[begin{matrix}1&2&3&|&1&0&0\0&1&4&|&0&1&0\0&0&1&|&0&4/3&-1/3end{matrix}]R2->R2-4*R3[begin{matrix}1&2&3&|&1&0&0\0&1&0&|&0&-5/3&4/3\0&0&1&|&0&4/3&-1/3end{matrix}]R1->R1-3*R3[begin{matrix}1&2&0&|&1&-4/3&1/3\0&1&0&|&0&-5/3&4/3\0&0&1&|&0&4/3&-1/3end{matrix}]R1->R1-2*R2[begin{matrix}1&0&0&|&1&2/3&-5/3\0&1&0&|&0&-5/3&4/3\0&0&1&|&0&4/3&-1/3end{matrix}]答案：A^(-1)=[begin{matrix}1&2/3&-5/3\0&-5/3&4/3\0&4/3&-1/3end{matrix}]3.解析思路：向量组线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的秩小于向量的个数。计算该矩阵的秩，并与3进行比较。计算过程：构造矩阵A：A=[begin{matrix}1&0&a\2&1&b\3&1&cend{matrix}]对矩阵A进行初等行变换：R2->R2-2*R1[begin{matrix}1&0&a\0&1&b-2a\3&1&cend{matrix}]R3->R3-3*R1[begin{matrix}1&0&a\0&1&b-2a\0&1&c-3aend{matrix}]R3->R3-R2[begin{matrix}1&0&a\0&1&b-2a\0&0&c-3a-(b-2a)end{matrix}][begin{matrix}1&0&a\0&1&b-2a\0&0&c-b-aend{matrix}]当c-b-a=0，即a+b-c=0时，矩阵A的秩小于3，向量组线性相关。答案：a+b-c=04.解析思路：使用增广矩阵的初等行变换法求解。将增广矩阵化为行最简形，根据行最简形写出方程组的通解。计算过程：构造增广矩阵[A|b]：[begin{matrix}1&2&-1&|&1\2&5&-3&|&4\3&7&-4&|&6end{matrix}]对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形：R2->R2-2*R1[begin{matrix}1&2&-1&|&1\0&1&-1&|&2\3&7&-4&|&6end{matrix}]R3->R3-3*R1[begin{matrix}1&2&-1&|&1\0&1&-1&|&2\0&1&-1&|&3end{matrix}]R3->R3-R2[begin{matrix}1&2&-1&|&1\0&1&-1&|&2\0&0&0&|&1end{matrix}]该行最简形对应的方程组为：begin{cases}x_1+2x_2-x_3=1\x_2-x_3=2\0=1end{cases}由于存在0=1这样的矛盾，故该线性方程组无解。答案：无解。四、证明题1.解析思路：利用伴随矩阵的定义和性质，以及矩阵可逆的定义进行证明。证明：因为A可逆，所以|A|≠0。根据伴随矩阵的定义，A^*的第i行第j列元素为A的第j行第i列元素的代数余子式，即A^_(ji)。因为A可逆，所以A^(-1)存在，且A^(-1)A=E。根据矩阵乘法的定义，(A^(-1))^TA^T=E。根据伴随矩阵的性质，AA^*=|A|E。所以A^*=|A|A^(-1)。因为|A|≠0且A^(-1)可逆，所以|A^*|=||A|A^(-1)|=|A|^(n-1)|A^(-1)|=|A|^n|A^(-1)|/|A|=|A|^(n-2)≠0。因此，A^*可逆。根据矩阵可逆的定义，(A^(-1))^*的逆矩阵为((A^(-1))^*)^(-1)=A^(-1)^(-1)=(A^(-1))^T=A。答案：证明完毕。2.解析思路：利用特征值和特征向量的定义