第13章 统计（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第三册（解析版）

2/22第13章统计（高效培优单元测试·提升卷）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．若一组样本数据的方差为2，，则样本数据的方差为.【答案】2.5【分析】根据方差的定义列出满足的式子，结合已知条件代入即可求得.【详解】，，.故答案为：2．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数.这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为.【答案】/【分析】①由直方图中所有矩形的高度之和乘以组距为可求解，②再由频率分布直方图求出时间在小时以上的频率，再求人数.【详解】根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1，所以，得，阅读时间不少于小时的人数为.故答案为：①，②.3．为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这5个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这5个数据的方差为4，平均数为的最小值（其中），且这5个数互不相同，则其最大值为，数据的极差为.【答案】10；6.【分析】先根据题设结合一元二次函数性质求出的最小值，进而推出这5个数的和以及，从而推出这5个数及其最大值和极差.【详解】因为，所以，解得，故，因为，所以当时，取得最大值，此时取得最小值7，故，，这5个数互不相同，故，不妨令，满足，所以这5个数中，最大值为10，数据极差为.故答案为：10；6.4．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为．估计该样本数据的第60百分位数是．

【答案】14【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】由题图知，数据落在区间上的频率为，数据落在区间上的频率为，所以第百分位数是．故答案为：.5．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则.【答案】【分析】计算出样本中型血、型血的人数，结合题意可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为，型血的人数为，所以，，解得.故答案为：.6．近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识．为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的80%分位数是．【答案】9【分析】设5个数据由小到大分别为a，b，c，d，e，根据平均数和标准差求出这5个数据，然后通过百分位数的定义求解即可.【详解】由题意，可知样本平均数为7，样本的方差为4，设5个数据由小到大分别为a，b，c，d，e，则，．由于5个数的平方和为20，则必为．由，解得或4；由，解得或8，故样本数据为4，6，7，8，10．因为，所以样本数据的80%分位数为．故答案为：97．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为．【答案】【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合.【详解】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数，若为正整数，故，其中为正整数，故，，因为在区间中的数据有且只有5个，故这个5个数分别为，故即，但当时，，此时至少有6个，故，当时，即为，共5个，符合；当时，即为，共6个，不符合；当时，即为，共7个，不符合；若为不是整数，故，其中为正奇数，设，其中为正整数，则，且，故，故，，因为在区间中的数据有且只有5个，故这个5个数分别为，故即，但当，，此时至少有6个，故，当时，即为，共5个，符合；当时，即为，共6个，不符合；当时，即为，共7个，不符合；综上，符合条件的为，，故答案为：.【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可.8．在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差，再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则.【答案】【分析】由方差公式得，由前个数据的平均数为：，得，进行代入替换求解．【详解】前个数据的方差为：，前个数据的平均数为：，得，则，因为，所以结合题意得，，故．故答案为：【点睛】关键点点睛：由前个数据的平均数为：，得，进行数据转换是关键．9．已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为.【答案】3【分析】设这7个样本数据为，且，的均值为，方差为；的均值为，方差为，将代入题设总体方差公式求出即可得解.【详解】设这7个样本数据为，且，的均值为，方差为；的均值为，方差为，则，，当且仅当时取等号；所以，所以当，时中位数可以达最大，故答案为：310．对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为.【答案】【分析】分是否为整数求出，根据在区间中的样本数据有且只有13个，取得的范围，然后验证可得.【详解】不妨假设，用表示不超过的最大整数.若为正整数，即为正整数，则是5的倍数，此时必是正整数，则，则在区间的数据为，所以，解得；若都不是正整数，则，则在区间的数据为，所以，则，解得.综上，的可能取值有.当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意；当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意；故的可能取值有，.故答案为：11．某果园种植了一批苹果树，分为、两个品种，为调查苹果产量（单位：kg），采用分层随机抽样原则抽取了20个样本．现由于某种原因，这些原始样本数据不可查得，已知样本中品种12棵，平均产量为30，方差为14；品种8棵，平均产量为35，方差为10，则利用已知数据可估计出这20颗苹果树产量的总体方差为．【答案】18.4【分析】根据平均数和方差的定义和性质，由两组数据的均值和方差，计算总的均值和方差即可.【详解】设品种12棵产量为，品种8棵产量为，则品种平均产量为30得，解得；同理，则两组合并总均值；由品种方差为14得，解得；同理，则两组合并总方差为；故答案为：.12．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为.【答案】63【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数.【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为，则样本中全部员工的平均体重为，依题意，方差为.化简得，解得或(舍).所以女员工的人数为：.故答案为：63.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（

）A．15 B．32 C．35 D．42【答案】B【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解.【详解】由条件可知，总体平均数，设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是，所以所有数据的总体方差，.故选：B14．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案.【详解】记总样本的平均数为，则，所以总样本的方差，所以估计该校高三年级学生体重的方差为．故选：C．15．已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性，设的平均数为，的平均数为，，，因为，所以，，结合绝对值不等式得到充分性成立，再分全为正数和全是负数两种情况，得到必要性成立，得到结论.【详解】充分性：设的平均数为，的平均数为，，，因为，所以，所以，其中，故，由绝对值不等式得，当且仅当同号，即全为正数，或全为负数，等号成立，故充分性成立，必要性：若全为正数，则，，显然，若全为负数，则，，设的平均数为，则的平均数为，，，，必要性成立，综上，甲是乙充分必要条件.故选：A16．为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：

若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.则下面结论中不正确的是（

）A．该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数B．第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大C．第一车间所有职工平均年龄为岁D．第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和【答案】D【分析】逐项分析各选项对应的数据即可得到正确答案.【详解】选项A：第一车间职工喜爱的体育活动情况不等同于该企业情况，所以选项A说法正确；选项B：喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，说明有些职工年龄比50大，所以选项B说法正确；选项C：样本均值：，所以选项C说法正确；选项D：样本方差：，所以选项D说法错误.故选：D.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．在对重庆市某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层抽样，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：cm）如下：男生：172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0女生：163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5(1)从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5的概率；(2)利用所学过的统计学知识比较样本中男生、女生的身高的整齐程度；(3)估计该中学高一年级全体学生身高的方差（精确到0.1）.参考数据：其中男生样本记为，，…，，女生样本记为，，…，，其中，，，，，.【答案】(1)(2)样本中男生的身高比较整齐；(3)52.1【分析】（1）身高在区间，的3名男生分别记为，，身高在，的三名男生分别记为，，利用列举法能求出至少有1人的身高大于的概率；（2）分别求出男生女生身高的平均数和方差，比较平均数和方差的大小，能求出结果；（3）利用分层抽样的平均数与方差公式即可得解.【详解】（1）身高在区间共有4名男生，其中2名男生身高位于分别记为，，身高在，的三名男生分别记为，，从身高在中的男生中抽取2人，基本事件总数6个，分别为：，，，，，其中至少有1人的身高大于包含的基本事件有5个，分别为：，，，，，至少有1人的身高大于的概率为.（2）男生身高的平均数为，男生身高的方差为，女生身高的平均数为，女生身高的方差为，，样本中男生的身高比较整齐；（3）把总体样本的平均数记为，方差记为，则，，18．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数:(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率:(3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.【答案】(1)，85(2)(3)得分在内的平均数为81，方差为26.8.【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【详解】（1）由题意得:，解得，设第60百分位数为，则，解得，第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、.则样本空间为.设事件“两人分别来自和，则，因此，所以两人得分分别来自和的概率为.（3）由题意知，落在区间内的数据有个，落在区间内的数据有个.记在区间的数据分别为，平均分为，方差为；在区间的数据分别为为，平均分为，方差为；这20个数据的平均数为，方差为.由题意，，且，则.根据方差的定义，由，可得故得分在内的平均数为81，方差为26.8.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可.19．某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下：数学竞赛前10名分数英语竞赛前10名分数864200864214130012346789(1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差；(2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为.（i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差；（ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明.（参考公式：）【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为；(2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为；（ii），，证明见解析.【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证.【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、，则，，（2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分，所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了；若英语132分数学142分，则；若英语134分数学144分，则；所以是英语132分数学142分统计反了.所以英语正确的平均分，英语正确分数的标准差；（ii）设转换公式为，则，所以，将代入，得，所以，，即满足要求的线性转换公式为：，下面证明因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为，则转换后的平均分；因为，所以转换后的标准差，即转换公式满足条件得证.【点睛】利用转换公式建立新旧数据平均数与标准差的关系，确定的取值是关键.20．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示．(1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数；(2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率；(3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24．（i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明：（ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差．【答案】(1)，平均数为；中位数为(2)(3)（i）证明见解析（ii），【分析】（1）根据频率分布图的频率之和为1，计算即可求得，进而利用平均数与中位数的意义求解即可；（2）按分层抽样从抽取的5人中任抽2人，列举出所有基本事件，再利用古典概型概率公式计算即可求解.（3）（i）利用方差的意义计算即可证明结论；（ii）利用（i）的结论计算即可求解.【详解】（1）由题意可得，解得，所以平均数