高二数学上学期第三次月考（沪教版2020必修第三册+空间向量及其应用高效培优·提升卷）（全解全析）

1/182025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷提升卷·全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册（全部）+空间向量及其应用。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为.【答案】【分析】由平均数的定义算出，再由百分位数的定义即可求解.【详解】依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故答案为：.2．已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的方差为.【答案】5【分析】根据平均数列方程求出的值，再结合方差的定义即可求解.【详解】由题知，解得.所以这组数据的方差为.故答案为：.3．下列命题中的假命题为.（1）没有公共点的两平面平行；（2）已知平面､，直线，若，且，则；（3）已知平面､，直线､，若，，且与不平行，，则与异面；（4）若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.【答案】（2）（4）【分析】由平面平行的概念、判定定理、性质定理逐个判断即可.【详解】由面面平行概念可知（1）为真命题；若直线，且，平面､可能相交或平行，即（2）为假命题；由两平面平行可知，分别在两个平面内的直线没有交点，又与不平行，故与异面，（3）真命题；若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，这三个点可以分布在另一个平面的两侧，此时两平面相交，（4）假命题；故答案为：（2），（4）4．有两颗种子，发芽率分别为0.8和0.9，则恰好有一颗发芽的概率是．【答案】0.26/【分析】根据对立事件、相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式计算可得答案.【详解】有两颗种子，发芽率分别为0.8和0.9，则恰好有一颗发芽的概率是.故答案为：.5．在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为.【答案】/【分析】先根据正三棱台的性质求出上下底面的面积，再结合侧棱与底面所成角求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积.【详解】对于正三角形，其面积公式（为边长）已知正三棱台中，，则上底面，下底面设正三棱台上下底面中心分别为,连接，则为正三棱台的高因为正三角形中心到顶点的距离是边长的倍所以，则，且已知侧棱与底面所成角为，在直角梯形中，过点作底面的垂线，垂足为，则在上，且，，侧棱与底面所成的角为，在中，，所以，即，解得，根据棱台体积公式将代入可得.故答案为：6．从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数15105769189129取到号码为奇数的频率为.【答案】【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答.【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：，所以取到号码为奇数的频率为.故答案为：0.567．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中m，n的比值．【答案】【分析】先分别计算甲组和乙组数据的中位数和平均数，再根据它们的中位数相同，平均数也相同，求出m，n，从而得解.【详解】由茎叶图得到甲组数据的中位数为，乙组的中位数为，所以，解得；甲组的平均数=乙组的平均数，所以，解得；所以；故答案为：.8．如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为．【答案】【分析】根据平面的性质与公理找出截面，进行求解即可.【详解】延长相交于点，连接交于点，连接，则四边形即为所求截面图形,如图，因为为的中点，由相似比可知为的中点，则，因为，分别为，中点，所以，所以，，同理，，所以周长为.故答案为：.9．在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的大小为.【答案】【分析】先根据垂直关系确定直线与平面所成角为，然后根据线段长度和勾股定理确定该角的大小.【详解】因为平面，平面，所以.在中，，所以，所以，又平面.所以平面，所以直线与平面所成角为.在中，，所以，所以为等腰直角三角形，所以，即直线与平面所成角的大小为.故答案为：.

10．设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则.【答案】/0.25【分析】根据条件，利用和事件的概率公式求出，再利用即可求出结果.【详解】因为，又，，得到，又因为，所以.故答案为：.11．“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.【答案】【分析】列出表格结合古典概型概率公式即得.【详解】石头剪刀布石头石头、石头石头、剪刀石头、布剪刀剪刀、石头剪刀、剪刀剪刀、布布布、石头布、剪刀布、布从表中可以看出，两个人每次随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.故答案为：.12．圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是．【答案】/【分析】利用相似求圆锥内切球的半径，进而得出正方体外接球半径，可得出正方体边长最后计算正方体体积即可.【详解】

如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为，由题意可知，则，所以.因为，所以，所以，解得.设该正方体棱长的最大值为，正方体的外接球的直径为，则，解得，所以该正方体的体积的最大值是.故答案为：二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．13．下列说法中错误的是（

）A．一组数据的平均数、中位数可能相同B．一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多C．平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量D．方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量【答案】B【分析】对于A，举出实例判断；对于B，举出反例即可判断；对于CD，根据平均数、众数和中位数，方差、标准差的定义进行判断.【详解】A：如，这组数据的平均数、中位数相同，均为2，A正确；B：如，中位数为2，这组数据中比中位数大的数只有1个，比中位数小的数有2个，两者不一样多，B错误；C：根据数字特征的定义，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的中心位置或集中趋势的统计量，C正确；D：方差、标准差都是描述一组数据的偏离程度或离散程度的统计量，D正确.故选：B14．先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（

）A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”【答案】A【分析】确定样本点，进而逐个判断即可；【详解】先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，共有4个样本点：五角向上，一元向上；五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，一元向下；“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”五角、一元都向上”三个样本点，正确；“只有一枚硬币正面向上”包括五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；两个样本点，错误；“两枚硬币都是正面向上”包括一个样本点；错误；“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”包括一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，两个样本点，错误；故选：A15．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（）A．与互斥 B．与对立 C． D．【答案】C【分析】利用互斥事件、对立事件的意义判断AB；利用古典概型求出判断CD作答.【详解】对于AB，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，AB错误；对于CD，依题意，，，，则，C正确，D错误.故选：C16．如图，边长为1的正方体，则下列四个命题：①点在线段上运动时，直线与直线所成角的大小不变②点在线段上运动时，直线与平面所成角的大小不变③点在线段上运动时，二面角的大小不变④点在线段上运动时，点到平面的距离最大值为1其中的真命题是（

）

A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】利用正方体的线面垂直关系可证得，可判断①；利用等体积法分别求得到平面的距离，可计算出直线与平面所成角的正弦值，由此可判断②；根据二面角的大小等于平面与平面所成角的大小，可判断③；分析出当点在点或点的位置时，到平面的距离最大，可计算出最大距离判断④.【详解】①如图，连接，

因为是正方体，所以平面，因为平面，所以，又平面，平面，所以平面.因为点在线段上运动，所以平面，则.所以，直线与直线所成角为直角，大小不变，故①正确；②设到平面的距离分别为，

因为正方体的棱长为1，所以，，则，因为，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.同理，因为，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.显然，所以直线与平面所成角的大小在变化，故②错误；③因为点在线段上运动时，二面角的大小等于平面与平面所成角的大小，所以其大小不变，故③正确；④如图，连接，则点到平面的距离即点到平面的距离，则当点在点或点的位置时，距离最大.因为，且平面，所以平面，则点或点到平面的距离为，故④错误.

综上，①③正确.故选：A.三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，AB是圆柱体的一条母线，BC为底面圆O的直径，D是圆O上不与B、C重合的任意一点．(1)求证：平面ABD；(2)若，，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)80【分析】（1）运用线面垂直的判定定理证明即可；（2）平面BCD，运用等体积法，结合三棱锥体积公式求解即可.【详解】（1）∵点D在以BC为直径的圆上，∴，∵平面BCD，平面BCD，∴．又，平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．（2）在中，∵，∴．又由题意知平面BCD，∴AB为三棱锥的一个高，∴．18．药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤．某新药临床试验将14位病人志愿者平均分为、两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下：组：，，，，，，；组：12，13，15，16，17，14，，其中为实数．假设所有病人的康复时间互相独立．(1)从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率；(2)若组病人康复时间的方差小于组病人康复时间的方差，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出组第60百分位数，再根据组中康复时间不少于中位数的人数，即可求解；（2）分别求出、组的方差，根据题意列不等式求解即可.【详解】（1）由，得组第60百分位数为第5个数：，组中康复时间不少于共有3人，故从组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于组第60百分位数的概率为.（2）组病人康复时间的平均数；组病人康复时间的方差为；组病人康复时间的平均数；组病人康复时间的方差为由,得,化简，得，解得.故实数的取值范围是.19．我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：(1)估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分；(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．【答案】(1)众数是，平均分是93(2).【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，结合众数和平均数的计算公式，即可求解；（2）利用列举法求得样本空间中样本点的总数及所求事件中所包含样本点的个数，利用古典概型的概率公式计算，即可求解．【详解】（1）由，可得．即数学成绩在的频率为，在的频率为，在的频率为，在的频率为，在的频率为，在频率为.数学成绩在内的最多，所以众数是，平均分是.（2）由题意可知，数学成绩在内的人数为（人），在内的人数为（人）．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在内抽取2人，分别记为、；[70，90)内抽取3人，分别记为、、，记事件为“抽取的这2名学生至少有1人成绩在内”，则样本空间为，共包含10个样本点，而事件，包含7个样本点，故，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.20．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，.，.过直线BC的平面交棱PA于点E，交棱PD于点F.记(1)求证：；(2)当时，求平面PAB与平面夹角的余弦值；(3)记点A，P到平面的距离分别为，，求使的值最小时的值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，最小值.【分析】（1）由，得到平面，由平面，平面平面，得到，通过平行的传递性得到证明；（2）如图，作于，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到，建立直角坐标系，利用坐标求出的坐标，求平面和平面的法向量.利用夹角公式得解；（3）求出的坐标，求平面的法向量，求出，和，计算，利用基本不等式求出最小值.【详解】（1），平面，平面，平面，平面，平面平面，，，；（2）如图，作于，Rt中，，，，在中，，，即，，，平面，平面，平面，平面，，于是DA，DG，DP两两垂直.故可建立直角坐标系（如图）.，，，，.，，，，，设是平面的一个法向量，是平面的一个法向量.则有和即和，和，取，，于是.夹角余弦值为；（3），，，，.，，，，，，设是平面的一个法向量，，，，取，，，于是，设，，，.则，（，即取“”）.故当时，取到最小值.21．申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小100次100次小190次10次现以两人的总投篮命中率（