高二数学上学期第一次月考（沪教版2020必修三第10章+第11章高效培优·提升卷）（全解全析）

15/152025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷提升卷·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修三第10章+第11章。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知，则直线与的位置关系为.【答案】平行或异面【分析】根据面面平行的性质即可判断.【详解】因为，所以直线与不相交，可能平行或异面.故答案为：平行或异面.2．已知某球体的半径为，当扩大为原来的3倍时，则球的表面积扩大为原来的倍．【答案】【分析】利用球体的表面积公式计算可得结果.【详解】球的半径为时，球的表面积为，球的半径扩大为后，球的表面积为，所以，即表面积变为原来的倍.故答案为：.3．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则．【答案】1【分析】根据斜二测画法原则可还原，利用面积公式计算即可．【详解】由直观图可还原，如图：其中，又，因此，所以．故答案为：．4．已知一个棱长为1的正方体，它的所有顶点均在一个球面上，则这个球的体积为．【答案】【分析】先求出正方体的对角线长度，再根据正方体的对角线是其外接球的直径求出外接球的半径，最后利用球的体积公式计算求解.【详解】设正方体棱长为，对角线为，则，.因为正方体的所有顶点均在一个球面上，所以正方体的对角线是该球的直径，即，所以.根据球的体积公式.故答案为：5．如图，平面，点为垂足，平面若，则.【答案】【分析】设，易得，由平面证得，结合可得平面，则有，利用多个直角三角形即可求得.【详解】设，因，则，因平面，平面，则，又平面，故平面，因平面，则.在中，则，在中，，故.故答案为：.6．已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是：（填序号）①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．【答案】③【分析】根据空间中线面的位置关系一一判断即可.【详解】若，，则或，故①错误；若，，则或或与相交，故②错误；由线面垂直的性质定理可知，③正确；若，，则或，故④错误．故答案为：③7．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则．【答案】【分析】由等角定理得，，可得∽，继而即可求解.【详解】因为，且＝＝，所以，同理，，因为，所以，同理，所以∽，且＝＝，所以．故答案为：.8．在直三棱柱中，，直线与平面的夹角为，该直三棱柱的体积为.【答案】/【分析】连接，先证明平面，即得为与平面所成的角，由此求得，进而求得，利用棱柱体积公式计算即得答案.【详解】如图，在直三棱柱中，因为，则，又平面，平面，所以，又，平面，故平面，连接，则为与平面所成的角，即，因为，所以，在中，，解得，所以.所以直三棱柱的体积为.故答案为：.9．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为．.【答案】【分析】先求出四棱锥的表面积和体积，再利用等体积法求出内切球的半径，最后根据球的体积公式计算出内切球的体积.【详解】如图所示，因为四边形为正方形，所以，因为底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故为直角三角形，同理为直角三角形．因为，，所以，所以四棱锥的表面积，体积．设内切球半径为，则，得，故四棱锥内切球的体积为．故答案为：10．如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为.

【答案】18【分析】根据题意可知，女孩头顶的影子轨迹所围成的图形是一个正方形，由此可求得女孩头顶的影子轨迹所围成的图形面积.【详解】把路灯看作一个点光源，女孩走一圈时头顶影子的轨迹与点光源构成一个四棱锥，

头顶轨迹为截面，与底面距离为，截面是正方形，底面即女孩走一圈时头顶影子的轨迹也是正方形，相似比为，截面面积与底面面积之比为相似比的平方，截面边长为，设底面面积为，则5222S故答案为：18.11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小

【答案】【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可.【详解】如图过作交于，连接，

因为底面，底面，所以，，，因为底面是正方形，，所以由勾股定理可得，即，又，，所以，所以，因为平面平面，所以即为二面角的平面角，因为，由勾股定理可得，，，设，则，所以由得，解得，所以，在中由余弦定理可得，因为，所以，即二面角的大小为，故答案为：12．如图，在四边形中，，，对角线，是线段上除端点外任一点，将沿翻折成，使二面角的大小为，设异面直线和所成的角为，则的最小值是．【答案】【分析】本题可先找出在平面上的射影，通过相关几何关系得到与平面所成角，再利用异面直线所成角与线面角的关系求解的最小值.【详解】过作平面，垂足为，过作于，连接.二面角的大小为，.在中，，，，则由余弦定理可得，所以.设到的距离为，则由等面积法有，解得，则.又，，设与平面所成角为，则.由最小角定理可知，与平面所成角即为异面直线和所成角的最小角，所以.故答案为：.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．已知直线和四个不重合的平面，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】D【分析】根据线面位置关系直接判断.【详解】若，，则或，相交，A选项错误；若，，则或，相交，B选项错误；

若，，，则，可以成任何大小的角，如图所示，C选项错误；

因为，在面内过点作交线的垂线，由面面垂直性质定理可知，则.同理，在面内过点作交线的垂线，由面面垂直性质定理可知，则，又，所以，D选项正确；故选：D.14．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用祖暅原理的含义可判断，利用同一圆锥正放与倒放，可得推不出，进而可得结论.【详解】由“幂势既同，则积不容异”的含义可知，在等高处的截面积恒相等，则体积相等，则可知“若体积不相等，在等高处的截面积不恒相等”，故，反之，如同一圆锥正放与倒放，它们在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，所以“在等高处的截面积不恒相等未必几何体的体积不相等”，故不能推出，所以是的充分不必要条件.故选：A.15．如图，可任意转动的正方体容器（忽略容器的器壁厚度）内部装满了水，为的中点，在点的位置凿出三个小洞（将三个小洞视为质点），则这个容器最多可盛原来水的（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】要使容器可盛水最多，需让平面为水平面，取的中点，则所在平面为，所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和，求出体积即可求解.【详解】根据题意可知要使容器可盛水最多，需让平面为水平面，取的中点，连接，，，，由于，所以四点共面，

则所在平面为，所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和.不妨设正方体的边长为2，则正方体的体积，因为为的中点，所以点到平面的距离为2，，所以，点到平面的距离为1，，所以，所以容器最多可盛原来水的，故选：B16．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查；项目③：打开过程中（如图2），检查；项目④：打开后（如图3），检查；项目⑤：打开后（如图3），检查.下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（

）A．①②③ B．③④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤【答案】C【分析】根据面面平行的判定，考查是否可以得到线线平行，转化为线面平行，得到面面平行．【详解】项目①，折叠状态下（如图1），四条桌腿长相等时，桌面与地面不一定平行；项目②，打开过程中（如图2），若，可以得到线线平行，从而得到面面平行；项目③，打开过程中（如图2），检查，可以得到线线平行，从而得到面面平行；项目④，打开后（如图3），检查，桌面与地面不一定平行；项目⑤，打开后（如图3），检查，可以得到线线平行，从而得到面面平行，故选：C．三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．（14分）如图，在正三棱柱中，，是的中点.

(1)证明：平面.(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将证明线面平行问题转换为证明线线平行问题，即在平面内寻找一条直线与要求直线平行；（2）通过等体积法求距离【详解】（1）

证明：连接并与交于点，连接.在正三棱柱中，四边形为矩形，则是的中点.因为是的中点，所以.又平面平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.因为三棱柱为正三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为是的中点，所以.因为，所以平面.由，可得.连接，则.设点到平面的距离为，则.由，得，解得，即点到平面的距离为.18．（14分）如图，在四棱锥中，，，且.

(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用直角梯形特征证得，再利用线面垂直的判定性质推理得证.（2）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的判定，结合定义法求出二面角的余弦值.【详解】（1）在直角梯形中，，，连接，，，则，，而，平面，因此平面，又平面，所以.

（2）由（1）得，，则，，又，平面，因此平面，而平面，则，作交于，连接，则，而平面，于是平面，又平面，则，是平面与平面所成的角，，又，则，所以平面与平面所成角的余弦值.19．（14分）如图，一块正方体木料，面上有一点，(1)经过点在面上能否画一条直线，使其与垂直，若可以，该怎么画，在答题纸上作图，写出作图过程并加以证明；若不能，说明理由.(2)若正方体棱长为2，为线段中点，求直线与面所成角的正弦值.【答案】(1)可以，作图过程见解析，证明见解析;(2).【分析】（1）连接，在平面上过点作直线,则，再利用线面垂直证明线线垂直即可；（2）在平面上，过点作，则是的中点，先证明平面,可得为斜线与平面所成的角，进而可得答案.【详解】（1）过点在面上能画一条直线，使其与垂直,如图所示，连接，在平面上过点作直线,则，证明：在正方体中易得：面，因为面，所以.又因为,,且面，所以面，因为面，所以.（2）在平面上，过点作，则是的中点，连接,在正方体中易得：面,因为面,所以,因为,且面，所以面，所以为斜线在平面上的射影，故为斜线与平面所成的角.因为面，面,所以，在直角三角形中易得,所以.故直线与面所成角的正弦值为.20．（18分）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面．其中．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面圆的面积为，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由平面可得，由条件易得，根据线面垂直的判定定理即可证明；（2）过点作于点，连接，由平面可推出即二面角的平面角，在中，利用三角函数定义即可求得答案；（3）先求得球的半径为，设点到平面的距离为，则得点到平面的距离为，利用余弦定理求出相关边与角，根据求得，接着利用球的截面圆性质求出截面圆面积的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其最小值.【详解】（1）因是圆的直径，则，因平面，平面，则，又平面，故平面.（2）过点作于点，连接，由（1）平面，平面，则，因平面，故平面，又平面，则，即即二面角的平面角，因在中，由面积相等可得，则，则.（3）因，则，，则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为.在中，，由余弦定理，，则，则，在中，，则，由可得：，解得，设球与平面相交得到的截面圆半径为，则，则，因，故当时，21．（18分）如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，，棱的中点为.(1)求证：平面；(2)现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题：（i）在旋转过程中，是否存在，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的；若不存在，请说明理由；（ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的