专题03 多面体与旋转体（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册（解析版）

2/37专题03多面体与旋转体题型一：多面体的概念题型二：正四面体和正三棱锥题型三：折叠与展开面问题题型四：多面体性质探究题型五：由平面图旋转得旋转体题型六：简单组合体的表面积和体积题型一：多面体的概念1．有下列四个命题，其中正确的是（

）A．底面是矩形的平行六面体是长方体B．棱长相等的直平行六面体是正方体C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体【答案】D【分析】由长方体的结构特征判断A；由正方体的结构特征判断B；由直平行六面体的结构特征判断C、D.【详解】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确；对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确；对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；.对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确.故选：D.2．下列说法中，正确的是（

）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．一个多面体至少有4个面C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台【答案】B【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可.【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.故选：B.3．下列说法正确的是（

）A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱C．圆台的所有母线延长不一定交于一点D．一个多面体至少有3个面【答案】A【分析】根据圆锥、棱柱以及圆台和多面体的定义，一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，原圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台，故A正确；对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，如图，故B错误；对于C项，圆台的所有母线延长一定交于一点，故C错误；对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误.故选：A.4．下列说法正确的是（

）A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．多面体至少有5个面D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形【答案】D【分析】根据多面体、棱柱和棱台的定义判断即可.【详解】A选项：各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故A错；B选项：有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故B错；C选项：多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体，故C错；D选项：根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确.故选：D.题型二：正四面体和正三棱锥5．一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，继而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面边长，继而可求正三棱柱的侧面积.【详解】如图为中点，为点在底面的投影，由题意得，，，所以该正四面体的体积为.所以正三棱柱的体积为，高为，所以正三棱柱的底面积为，设正三棱柱的底面边长为，则，可得，所以正三棱柱的底面边长为，所以该正三棱柱的侧面积为.故选：A.6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正三棱锥的性质，结合线面角的定义即可求解正弦值.【详解】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，可设底面边长为1，侧棱长为2连接顶点与底面中心，如图所示:由底面正三角形的中心到点A的距离为，所以侧棱与底面所成角的余弦值为：，则侧棱与底面所成角的正弦值为：，故选：C.7．正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为【答案】/【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案.【详解】取的中点，连接，则⊥，过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离，则点在上，且为等边三角形的中心，因为正四面体的棱长为1，则，由勾股定理得，则，因为，由勾股定理得，则点A到平面的距离为.故答案为：8．已知棱长为的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为.【答案】【分析】根据题意，求出该正四面体的内切球半径，若正方体在纸盒内任意转动，当正方体玩具的棱长最大时，其外接球是正四面体的内切球，设此时正方体玩具的棱长为，分析可得关于的方程，解可得答案.【详解】根据题意，如图：正四面体中，其棱长为，设为底面的外心，为其内切球的球心，设其内切球半径为，连接、，

底面为等边三角形，则，，则，则有，解得，若正方体在纸盒内任意转动，当正方体玩具的棱长最大时，其外接球是正四面体的内切球，设此时正方体玩具的棱长为，则其外接球直径为，则有，解得，即这个正方体玩具的棱长最大值为．故答案为：.9．已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为．【答案】【分析】根据题意正三棱锥三个侧面全等，利用锥体的高及底边长求得斜高，即可得到侧面积.【详解】在正三棱锥中，底面边长为6，高，且为的中心也是重心，所以，则，所以，即.故答案为：.10．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则该正三棱锥的高为，侧面上的斜高为.【答案】3/【分析】运用正棱锥顶点和底面中心的连线即是棱锥的高，再用勾股定理可求棱锥的高，根据正棱锥侧面是等腰三角形可求斜高.【详解】如图，正三棱锥，取的中心为O，连接PO，由正三棱锥的定义得面ABC，又为等边三角形，则，所以正三棱锥的高，作交AB于D，又，，则正三棱锥的斜高，所以该正三棱锥的高为3，侧面上的斜高为.故答案为：3，.11．已知正三棱锥，的中点为，，，请从条件①，条件②，条件③中选择两个条件作为已知，使得三棱锥存在，并求出此正三棱锥的体积.①底面边长为2；②侧棱长为；③斜高为2.【答案】答案见解析【分析】本题是求正三棱锥体积，有三种条件组合，先分析不能选②③的原因，再看选①②和①③的思路.选①②：先由算出，再根据三角形面积公式算出.接着在中用勾股定理算出，最后根据三棱锥体积公式算出体积.选①③：先算出和，然后在中用勾股定理算出，最后用三棱锥体积公式算出体积.【详解】因为，可知②③不能同时成立，故不能选②③.若选①②：则，，在中，则，所以正三棱锥的体积为；选①③：则，，，在中，则，所以正三棱锥的体积为.题型三：折叠与展开面问题12．在等边中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，将沿直线DE折叠后，点A恰好与点F重合，若，，则（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对称性可得三角形全等，再由三角形相似得出，解出后由余弦定理求解.【详解】如图，

因为将沿直线DE折叠后，点A恰好与点F重合，所以，设，则，，，，，即，解得，由余弦定理，，故选：A13．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（

）A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米【答案】D【分析】设为底面的中心，连接，先求出，再利用勾股定理求出，即可求出棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解.【详解】如图，在正三棱台中，，将棱台补全为正三棱锥，设为底面的中心，连接，则平面，而平面，所以，因为，所以，，所以，则正三棱台的高，该正三棱台的上底面面积，下底面面积，所以该正三棱台储物凳的储物容积.故选：D.14．在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将绕翻折至与共面，当共线时，最小，再由余弦定理求解即可.【详解】连接，如图，由正方体的性质可得为等腰直角三角形，故，为直角三角形，，将图中绕翻折至与共面，如图，所以由图可知，共线时，最小，此时，由余弦定理可知，所以最小值为.故选：B15．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求的长度，利用勾股定理即可得到答案．【详解】将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度，而，由勾股定理得，所以虫子爬行的最短距离.故选：D16．如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（

）A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆【答案】C【分析】利用圆锥侧面展开图特征判断即可.【详解】将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是扇形.故选：C题型四：多面体性质探究17．正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（

）

A．30 B．20 C．12 D．10【答案】C【分析】首先求出棱数，在根据所给公式计算可得.【详解】因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每1条棱被2个三角形共用，即1个面对应条棱，所以共有条棱，所以由顶点数－棱数＋面数，得：顶点数棱数面数.故选：C18．下列说法错误的是（

）A．一个八棱柱有10个面 B．任意面体都可以分割成个棱锥C．棱台侧棱的延长线必相交于一点 D．矩形旋转一周一定形成一个圆柱【答案】D【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验．【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A正确；对于选项B：任意面体，在面体内取一点为，将点与面体的各个顶点连接，即可构成个棱锥，故B说法正确；对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D错误；故选：D．19．多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足.已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则（

）A．6 B．10 C．12 D．20【答案】C【分析】根据给定条件，结合欧拉公式列出方程组，求解方程组即得.【详解】设该多面体的顶点数为，棱数为，依题意，，消去得，所以.故选：C20．多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V、棱数E及面数F间有著名的欧拉公式：，并且多面体所有面的内角总和为.已知某正多面体所有面的内角总和为，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n，则该正多面体的顶点数V=，棱数E=.【答案】1230【分析】由正多面体所有面的内角总和公式求得V，设过每个顶点的棱数为n，把正多面体的棱数与面数用含有n的代数式表示，代入欧拉定理求得n，则答案可求．【详解】解：由题意，，得，即；设过每个顶点的棱数为n，则，，代入，得，解得．故．故答案为∶12；30．题型五：由平面图旋转得旋转体21．如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体．（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据旋转体的形成过程，借助直观想象，逐一分析每个选项.【详解】B选项，旋转一周后，为两个圆锥拼成的几何体；C选项，旋转一周后，为圆锥和圆柱拼成的几何体；D选项，旋转一周后，是上下两个圆锥，中间用圆柱相连的几何体；A选项，旋转一周后，是圆台和圆锥形成的几何体，只有A符合题意.其余平面图形旋转得到的几何体如图：

故选：A22．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解．【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，

底面半径,母线长,由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为.故选:C.23．如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为g.（结果用π表示）【答案】【分析】外部正六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，计算其体积；内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥，计算其体积，两体积之差即为该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到的几何体的体积，乘以密度即可求解.【详解】外部正六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为,体积为.内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径为，高为1cm，圆柱的底面半径为，高为，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，所以该几何体的体积为，用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为.故答案为：.24．如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是．

【答案】【分析】根据旋转体在性质，结合圆锥和圆台的侧面积公式即可求解.【详解】过作于点，由于，，，，所以，进而，故因此，又，所以四边形为直角梯形，所以折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转体为：以绕形成的圆锥和以梯形绕着形成的圆台，挖去以绕形成的小圆锥，如图示：,故表面积为,故答案为：

25．如图，把直角梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体体积为.【答案】【分析】根据题意知该旋转体是圆锥和圆柱的组合体，分别求出该组合体的体积即可．【详解】解：该旋转体为圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则圆锥和圆柱的底面半径为，圆锥的高为，圆柱的高；所以组合体的体积为；

故答案为：.题型六：简单组合体的表面积和体积26．如图，为大圆台型碗的内部放置着一个小圆台型的碗，且小圆台型碗的大口面恰好为大圆台型碗的小口面，两圆台的轴截面分别为ABCD和ABEF，若，则大圆台型碗与小圆台型碗侧面积之比为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由圆台侧面积公式得，，结合即可求解.【详解】不妨设，则，，如图，延长AF，BE相交于点O，易知轴截面ABCD与ABEF均为等腰梯形，由，得点O必然落在线段DC上且点O为DC的中点，所以，，易知四边形ABCO是平行四边形，则，所以.

故选：C.27．已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成一个几何体，则的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，计算可求矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积.【详解】根据题意作出矩形与几何体，分别如图下左右两图所示：旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将这两个几何体的体积均记为，这两个几何体的重叠部分是以圆O为底面，A，C分别为顶点的两个小圆锥，记两个小圆锥的体积和为，而，点B到直线的距离为，圆O的半径为，所以的体积.故选：C28．水楔