泰州市重点中学2025-2026学年高一数学第一学期期末联考试题含解析

泰州市重点中学2025-2026学年高一数学第一学期期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．“”是“幂函数为偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．如果，，那么直线不通过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．与终边相同的角的集合是A. B.C. D.4．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A. B.C. D.5．若，则（）A B.C. D.6．已知函数，下面关于说法正确的个数是（）①的图象关于原点对称②的图象关于y轴对称③的值域为④在定义域上单调递减A.1 B.2C.3 D.47．A. B.C.1 D.8．有一组实验数据如下表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是（）A. B.C. D.9．已知直线与平行，则实数的取值是A.－1或2 B.0或1C.－1 D.210．若，则等于A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量不共线，，若，则___12．已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，，，，，，，，则的取值范围是______.13．=_______.14．已知tanα=3，则sin15．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解为______16．圆在点P（1，）处的切线方程为_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．甲地到乙地的距离大约为240，某汽车公司为测试一种新型号的汽车的耗油量与行驶速度的关系，进行了多次实地测试，收集到了该车型的每小时耗油量Q（单位：）与速度v（单位：）（）的数据如下表：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）从甲地到乙地，该型号的汽车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？18．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.（1）证明：当时，；（2）设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.19．声强级(单位:)由公式给出,其中声强(单位:).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为,求人听觉的声强级范围;(2)在一演唱会中,某女高音的声强级高出某男低音的声强级,请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍?20．已知的部分图象如图.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调增区间.21．已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，求实数x的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据函数的奇偶性的定义和幂函数的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.详解】由，即，解得或，当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数；当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数，所以充分性成立；反之：幂函数，则满足，解得或或，当时，，此时函数为偶函数；当时，，此时函数为偶函数，当时，，此时函数为奇函数函数，综上可得，实数或，即必要性成立，所以“”是“幂函数为偶函数”的充要条件.故选：C.2、A【解析】截距,因此直线不通过第一象限,选A3、D【解析】根据终边相同的角定义的写法，直接写出与角α终边相同的角，得到结果【详解】根据角的终边相同的定义的写法，若α＝，则与角α终边相同的角可以表示为k•360°（k∈Z），即（k∈Z）故选D【点睛】本题考查与角α的终边相同的角的集合的表示方法，属于基础题.4、B【解析】由奇偶性排除，再由增减性可选出正确答案.【详解】项为奇函数，项为非奇非偶函数函数，为偶函数，项中，在单减，项中，在单调递增.故选：B5、C【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果【详解】将式子进行齐次化处理得：故选：C【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论6、B【解析】根据函数的奇偶性定义判断为奇函数可得对称性，化简解析式，根据指数函数的性质可得单调性和值域.【详解】因为的定义域为，，即函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，即①正确，②不正确；因为，由于单调递减，所以单调递增，故④错误；因为，所以，，即函数的值域为，故③正确，即正确的个数为2个，故选：B.【点睛】关键点点睛：理解函数的奇偶性和常见函数单调性简单的判断方式.7、A【解析】由题意可得：本题选择A选项.8、D【解析】将各点分别代入各函数，即可求出【详解】将各点分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是故选：D9、C【解析】因为两直线的斜率都存在，由与平行得，当时，两直线重合，，故选C.10、B【解析】，.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系第II卷（非选择题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由，将表示为的数乘，求出参数【详解】因为向量不共线，，且，所以，即，解得【点睛】向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得12、【解析】由偶函数的对称性，将转化为，再根据二次函数的对称性及对数函数的性质可进一步转化为，结合利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：因为函数有8个零点，所以直线与函数图像交点有8个，如图所示：设，因为函数是定义在的偶函数，所以函数的图像关于轴对称，所以，且由二次函数对称性有，由有，所以又，所以，所以，故答案为：.13、##【解析】利用对数的运算法则进行求解.【详解】.故答案为：.14、3【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【详解】∵tanα=3，∴sinα•cosα=sin故答案为310【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题15、【解析】不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，可得-1，2是一元二次方程的两个实数根，且a＜0，利用根与系数的关系可得a，b，即可得出【详解】解：∵不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，∴-1，2是一元二次方程的两个实数根，且a＜0，解得解得a=-1，b=1．则不等式化为，解得.不等式的解集为.故答案为.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于中档题16、x－y＋2＝0【解析】圆，点在圆上，∴其切线方程为，整理得：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）最符合实际的模型为①，理由见解析（2）从甲地到乙地，该型号的汽车以80的速度行驶时能使总耗油量最少【解析】（1）根据定义域和单调性来判断；（2）根据行驶时间与单位时间的耗油量得到总耗油量的函数表达式，再求最小值的条件即可.【小问1详解】依题意，所选的函数必须满足两个条件：定义域为，且在区间上单调递增.由于模型③定义域不可能是.而模型②在区间上是减函数.因此，最符合实际的模型为①.【小问2详解】设从甲地到乙地行驶总耗油量为y，行驶时间为t，依题意有.∵，，∴，它是一个关于v的开口向上的二次函数，其对称轴为，且，∴当时，y有最小值.由题设表格知，当时，，，.∴从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速度行驶时能使总耗油量最少.18、（1）证明见解析（2）（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”【解析】（1）利用来证得结论成立.（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.【小问1详解】由已知当时，，得，所以当时，.【小问2详解】（i）时，假设存在，则由知，注意到，故，所以在单调递增，于是，即是方程的两个不等实根，易知不是方程的根，由已知，当时，，令，则有时，，即，故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.（ii）时，假设存在，则由知若，则由，知，与值域是矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，时，也不存在，下面讨论，若，则，故最小值为，于是，所以，所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若即，则，故，与矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知当时，，因为，所以，从而，，从而，矛盾，综上所述，有唯一的“和谐区间”.【点睛】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.19、（1）.（2）倍.【解析】(1)由题知:,∴,∴,∴人听觉的声强级范围是.(2)设该女高音的声强级为,声强为,该男低音的声强级为,声强为,由题知:,则,∴,∴.故该女高音的声强是该男低音声强的倍.20、（1）；（2）和.【解析】（1）由图知：且可求，再由，结合已知求，写出解析