湖南省新高考教学教研联盟2026届高三第二次联考暨怀化市二模考试数学试题 1含答案解析

湖南省新高考教学教研联盟2026届高三第二次联考暨怀化市二模考试数学试题1含答案解析一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x^36x+9在区间(2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤3

B.a≤4

C.a≥3

D.a≥4

答案：A

解析：由题意知，f'(x)=3x^26>0，解得x>√2或x<√2。由于x>2，所以函数在区间(2,+∞)上递增。又因为f(2)=2^36×2+9=5，所以a≤3。

2.若函数g(x)=(xa)^2+1的最小值为5，则实数a的取值范围是（）

A.a≤2

B.a≤3

C.a≥2

D.a≥3

答案：B

解析：g(x)的最小值为1，当x=a时取得。由题意知，1+a^2=5，解得a=±2。所以a的取值范围是a≤3。

3.若a、b是方程x^2(2a+1)x+3a=0的两实根，且a、b均大于0，则实数a的取值范围是（）

A.a>3

B.a≥3

C.0<a<3

D.0<a≤3

答案：D

解析：根据韦达定理，a+b=2a+1，ab=3a。因为a、b均大于0，所以a>0，且a+b>0。又因为a+b=2a+1，所以a>1/2。将ab=3a代入不等式，得3a>a^2，解得0<a≤3。

4.若函数h(x)=x^33x+1的极值点为x=1，则实数a的取值范围是（）

A.a<1

B.a>1

C.a≤1

D.a≥1

答案：C

解析：h'(x)=3x^23。因为x=1是极值点，所以h'(1)=0，解得a=1。又因为极值点在x=1处，所以a≤1。

5.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，求首项a1的值。

答案：a1=3

解析：S_n=na1+n(n1)d/2，代入S_n=2n^2+n，得2n^2+n=na1+n(n1)d/2。当n=1时，a1=3。所以首项a1=3。

6.已知函数y=f(x)的图像与直线y=2x+3相切，且f'(1)=2，求函数f(x)的解析式。

答案：f(x)=x^2+x+C

解析：设f(x)=ax^2+bx+C，则f'(x)=2ax+b。因为f'(1)=2，所以2a+b=2。又因为f(x)与y=2x+3相切，所以判别式Δ=0，即(2a2)^24aC=0。解得a=1，C=1。所以f(x)=x^2+x+1。

7.若三角形ABC的面积为3，且AB=2，BC=3，求AC的取值范围。

答案：AC∈(1,5)

解析：根据三角形面积公式，S=1/2ABBCsinB=3。所以sinB=3/2。因为sinB的取值范围是[1,1]，所以sinB=3/2不成立。但可以考虑cosB的取值范围，即1≤cosB≤1。由余弦定理，AC^2=AB^2+BC^22ABBCcosB。代入AB=2，BC=3，得AC^2=4+912cosB。所以1<AC<5。

8.若数列{an}满足an=a1q^(n1)，且S_n=na1+n(n1)d/2，求公比q的取值范围。

答案：q∈(0,1)∪(1,+∞)

解析：数列{an}是等比数列，S_n=a1(1q^n)/(1q)。由题意得na1+n(n1)d/2=a1(1q^n)/(1q)。因为d=a1q，所以na1+n(n1)a1q/2=a1(1q^n)/(1q)。化简得q^n=12nq/(1q)。因为q^n>0，所以12nq/(1q)>0。解得q∈(0,1)∪(1,+∞)。

二、填空题（每题5分，共20分）

9.若函数f(x)=x^33x+1的极值点为x=1，则f(x)的极值为______。

答案：2

解析：f'(x)=3x^23。因为x=1是极值点，所以f(1)=1^33×1+1=1。所以f(x)的极值为2。

10.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，求公差d的值。

答案：d=4

解析：S_n=na1+n(n1)d/2，代入S_n=2n^2+n，得2n^2+n=na1+n(n1)d/2。当n=2时，4+2=2a1+2d。因为a1=3，所以d=4。

11.已知函数y=f(x)的图像与直线y=2x+3相切，且f'(1)=2，求常数C的值。

答案：C=1

解析：设f(x)=x^2+x+C，则f'(x)=2x+1。因为f'(1)=2，所以2×1+1=2。解得C=1。

12.若三角形ABC的面积为3，且AB=2，BC=3，求AC的取值范围。

答案：AC∈(1,5)

解析：根据三角形面积公式，S=1/2ABBCsinB=3。所以sinB=3/2。因为sinB的取值范围是[1,1]，所以sinB=3/2不成立。但可以考虑cosB的取值范围，即1≤cosB≤1。由余弦定理，AC^2=AB^2+BC^22ABBCcosB。代入AB=2，BC=3，得AC^2=4+912cosB。所以1<AC<5。

三、解答题（每题20分，共60分）

13.已知函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的单调区间。

解析：f'(x)=3x^26。令f'(x)=0，解得x=±√2。因为f'(x)的二次项系数为正，所以f(x)在(∞,√2)和(√2,+∞)上递增，在(√2,√2)上递减。

答案：单调递增区间为(∞,√2)和(√2,+∞)，单调递减区间为(√2,√2)。

14.已知等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，求数列{an}的通项公式。

解析：当n=1时，a1=S_1=3。当n≥2时，an=S_nS_{n1}=(2n^2+n)[2(n1)^2+(n1)]=4n1。因为a1=3，所以通项公式为an=4n1。

答案：an=4n1。

15.已知函数y=f(x)的图像与直线y=2x+3相切，且f'(1)=2，求函数f(x)的解析式。

解析：设f(x)=ax^2+bx