贵州竞赛数学试卷及答案

贵州竞赛数学试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B=A，则a的取值范围是（）A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}答案：D2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4答案：C3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数是（）A.75°B.65°C.70°D.80°答案：A4.若复数z满足z^2=1，则z的值是（）A.1B.-1C.iD.-i答案：B5.抛掷一枚均匀的硬币，连续抛掷3次，恰好出现两次正面的概率是（）A.1/8B.3/8C.1/4D.1/2答案：B6.函数f(x)=2^x在区间[1,2]上的平均值是（）A.2B.3C.2.5D.3.5答案：C7.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，则a_5的值是（）A.9B.10C.11D.12答案：C8.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线3x+4y-12=0的距离是（）A.|3x+4y-12|B.|3x+4y|/5C.(3x+4y-12)/5D.12/(3x+4y)答案：B9.若函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)在x=1处的导数是（）A.0B.1C.2D.3答案：A10.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则公差d的值是（）A.2B.3C.4D.5答案：B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是（）A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=1/xD.f(x)=log(x)答案：ABD2.下列不等式成立的是（）A.2^3>3^2B.3^2>2^3C.log_2(3)>log_3(2)D.log_3(2)>log_2(3)答案：AC3.下列函数中，在x=0处连续的是（）A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=|x|D.f(x)=tan(x)答案：BC4.下列数列中，是等差数列的是（）A.a_n=2n+1B.a_n=3^nC.a_n=5-2nD.a_n=n^2答案：AC5.下列命题中，正确的是（）A.勾股定理适用于任意三角形B.余弦定理适用于任意三角形C.正弦定理适用于任意三角形D.直角三角形的面积是两直角边的乘积的一半答案：BCD6.下列函数中，是周期函数的是（）A.f(x)=sin(x)B.f(x)=cos(x)C.f(x)=tan(x)D.f(x)=log(x)答案：ABC7.下列数列中，是等比数列的是（）A.a_n=2^nB.a_n=3^nC.a_n=1/2^nD.a_n=n^2答案：ABC8.下列命题中，正确的是（）A.全等三角形对应边相等B.相似三角形对应边成比例C.等腰三角形的底角相等D.等边三角形的三条边都相等答案：ABCD9.下列函数中，是偶函数的是（）A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=cos(x)D.f(x)=sin(x)答案：AC10.下列命题中，正确的是（）A.增函数的导数大于0B.减函数的导数小于0C.常函数的导数等于0D.导数为0的点一定是极值点答案：ABC三、判断题（每题2分，共10题）1.若a>b，则a^2>b^2（）答案：×2.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续（）答案：√3.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列（）答案：×4.若三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形是直角三角形（）答案：√5.若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则f(x)在区间(a,b)上必有最大值和最小值（）答案：×6.若数列{a_n}是等比数列，则{a_n^2}也是等比数列（）答案：√7.若函数f(x)在x=0处导数为0，则f(x)在x=0处必有极值（）答案：×8.若三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形是直角三角形（）答案：√9.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在区间(a,b)上必有最大值（）答案：×10.若数列{a_n}是等差数列，且公差d>0，则{a_n}是单调递增数列（）答案：√四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。计算f(-1),f(1-√3/3),f(1+√3/3),f(3)，比较得最大值为f(3)=15，最小值为f(1-√3/3)=-2√3/9+5/9。2.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，已知a_1=2，a_5=10。答案：由a_5=a_1+4d，得d=2。所以S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)=n(n+1)。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。答案：分段讨论，当x<-2时，f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=3；当x>1时，f(x)=2x+1。最小值为3。4.求抛掷一枚均匀的硬币，连续抛掷3次，恰好出现两次正面的概率。答案：总共有2^3=8种可能的结果，其中恰好出现两次正面的结果有3种（HHT,HTH,THH）。所以概率为3/8。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2x的单调性。答案：求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。当x<1-√3/3或x>1+√3/3时，f'(x)>0，函数单调递增；当1-√3/3<x<1+√3/3时，f'(x)<0，函数单调递减。2.讨论数列{a_n}的单调性，已知a_n=a_{n-1}+2，且a_1=1。答案：由递推关系可知，数列是等差数列，公差d=2。因为公差为正，所以数列是单调递增的。3.讨论函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像特点。答案：函数由两部分组成，分别是x-1和x+2的绝对值。图像是一个V形，顶点在(-2,3)和(1,3)，对称轴是x=-1/2。4.讨论抛掷一枚均匀的硬币，连续抛掷3次的所有可能