2025年高二上册数学秋季模拟试题及答案

2025年高二上册数学秋季模拟试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)或\(3\)B.\(1\)或\(3\)C.\(2\)D.\(1\)答案：A解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2ax+a1=0\)，因式分解得\((x1)[x(a1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a1\)，所以\(B=\{1,a1\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，则\(a1=1\)或\(a1=2\)，当\(a1=1\)时，\(a=2\)；当\(a1=2\)时，\(a=3\)，所以实数\(a\)的值为\(2\)或\(3\)。2.函数\(y=\frac{\sqrt{4x^2}}{x1}\)的定义域为（）A.\([2,2]\)B.\((2,2)\)C.\([2,1)\cup(1,2]\)D.\((2,1)\cup(1,2)\)答案：C解析：要使函数\(y=\frac{\sqrt{4x^2}}{x1}\)有意义，则需满足\(\begin{cases}4x^2\geq0\\x1\neq0\end{cases}\)。由\(4x^2\geq0\)，即\(x^24\leq0\)，因式分解得\((x+2)(x2)\leq0\)，解得\(2\leqx\leq2\)；由\(x1\neq0\)，解得\(x\neq1\)。所以函数的定义域为\([2,1)\cup(1,2]\)。3.已知\(a=0.3^{0.3}\)，\(b=0.3^{1.3}\)，\(c=1.3^{0.3}\)，则它们的大小关系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(b\lta\ltc\)C.\(c\ltb\lta\)D.\(c\lta\ltb\)答案：B解析：对于指数函数\(y=0.3^x\)，因为\(0\lt0.3\lt1\)，所以函数\(y=0.3^x\)在\(R\)上单调递减。因为\(0.3\lt1.3\)，所以\(0.3^{0.3}\gt0.3^{1.3}\)，即\(a\gtb\)。对于幂函数\(y=x^{0.3}\)，因为\(0.3\gt0\)，所以函数\(y=x^{0.3}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。因为\(0.3\lt1.3\)，所以\(0.3^{0.3}\lt1.3^{0.3}\)，即\(a\ltc\)。综上可得\(b\lta\ltc\)。4.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，则\(S_7\)的值为（）A.\(28\)B.\(42\)C.\(56\)D.\(14\)答案：A解析：因为\(\{a_n\}\)是等差数列，由等差数列的性质：若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。所以\(a_3+a_5=2a_4\)，已知\(a_3+a_4+a_5=12\)，即\(3a_4=12\)，解得\(a_4=4\)。根据等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，则\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}\)，又因为\(a_1+a_7=2a_4\)，所以\(S_7=\frac{7\times2a_4}{2}=7a_4=7\times4=28\)。5.若直线\(l_1:ax+2y+6=0\)与直线\(l_2:x+(a1)y+a^21=0\)平行，则实数\(a\)的值为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(1\)或\(2\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：A解析：已知直线\(l_1:ax+2y+6=0\)与直线\(l_2:x+(a1)y+a^21=0\)平行。当\(a=1\)时，直线\(l_1:x+2y+6=0\)，直线\(l_2:x=0\)，两直线不平行。当\(a\neq1\)时，根据两直线平行的条件\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)（\(A_1,B_1,C_1\)和\(A_2,B_2,C_2\)分别为两直线\(A_1x+B_1y+C_1=0\)和\(A_2x+B_2y+C_2=0\)的系数），则\(\frac{a}{1}=\frac{2}{a1}\neq\frac{6}{a^21}\)。由\(\frac{a}{1}=\frac{2}{a1}\)，得\(a(a1)=2\)，即\(a^2a2=0\)，因式分解得\((a2)(a+1)=0\)，解得\(a=2\)或\(a=1\)。当\(a=2\)时，\(\frac{6}{a^21}=\frac{6}{3}=2\)，\(\frac{2}{a1}=2\)，不满足\(\frac{2}{a1}\neq\frac{6}{a^21}\)，舍去。当\(a=1\)时，\(\frac{2}{a1}=1\)，\(\frac{6}{a^21}=3\)，满足条件，所以\(a=1\)。6.已知圆\(C:(x1)^2+(y2)^2=25\)，直线\(l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0(m\inR)\)，则直线\(l\)与圆\(C\)的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定答案：B解析：将直线\(l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0\)变形为\(m(2x+y7)+(x+y4)=0\)。令\(\begin{cases}2x+y7=0\\x+y4=0\end{cases}\)，两式相减得\(2x+y7(x+y4)=0\)，即\(x=3\)，把\(x=3\)代入\(x+y4=0\)得\(y=1\)，所以直线\(l\)恒过定点\(P(3,1)\)。圆\(C:(x1)^2+(y2)^2=25\)的圆心\(C(1,2)\)，半径\(r=5\)。根据两点间距离公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}\)，可得\(\vertPC\vert=\sqrt{(31)^2+(12)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\lt5\)，即点\(P\)在圆\(C\)内部，所以直线\(l\)与圆\(C\)相交。7.已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)\)的值为（）A.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)D.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)答案：B解析：已知\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，根据\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\sqrt{1\sin^2\alpha}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{1\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}\)。根据两角和的余弦公式\(\cos(A+B)=\cosA\cosB\sinA\sinB\)，则\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha\)。因为\(\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{4}{5}\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)。8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为锐角，则\(x\)的取值范围是（）A.\((\frac{1}{2},+\infty)\)B.\((\frac{1}{2},2)\cup(2,+\infty)\)C.\((\frac{1}{2},2)\)D.\((2,+\infty)\)答案：B解析：因为\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为锐角，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\gt0\)且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)不共线。由\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\gt0\)，\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，可得\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x+2\gt0\)，解得\(x\gt2\)。若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，则\(1\times12x=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)，所以当\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)不共线时\(x\neq\frac{1}{2}\)。综上，\(x\)的取值范围是\((\frac{1}{2},2)\cup(2,+\infty)\)。9.若双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线与圆\((x2)^2+y^2=2\)相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A.\((2,+\infty)\)B.\((1,2)\)C.\((1,\sqrt{2})\)D.\((\sqrt{2},+\infty)\)答案：C解析：双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，即\(bx\pmay=0\)。圆\((x2)^2+y^2=2\)的圆心为\((2,0)\)，半径\(r=\sqrt{2}\)。因为渐近线与圆相交，所以圆心到渐近线的距离\(d\ltr\)，根据点到直线的距离公式\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，则圆心\((2,0)\)到渐近线\(bx\pmay=0\)的距离\(d=\frac{\vert2b\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}\lt\sqrt{2}\)。两边平方得\(\frac{4b^2}{a^2+b^2}\lt2\)，又因为\(c^2=a^2+b^2\)，\(b^2=c^2a^2\)，所以\(\frac{4(c^2a^2)}{c^2}\lt2\)，即\(4\frac{4a^2}{c^2}\lt2\)，\(\frac{4a^2}{c^2}\gt2\)，\(\frac{c^2}{a^2}\lt2\)，即\(e^2\lt2\)（\(e\)为双曲线的离心率，\(e=\frac{c}{a}\)且\(e\gt1\)），解得\(1\lte\lt\sqrt{2}\)。10.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,0\lt\varphi\lt\pi)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{3}\)对称，且\(f(\frac{7\pi}{12})=0\)，则\(\omega\)取最小值时，\(\varphi\)的值为（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)答案：D解析：因为函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,0\lt\varphi\lt\pi)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{3}\)对称，且\(f(\frac{7\pi}{12})=0\)。根据正弦函数的性质，相邻的对称轴与零点之间的距离是\(\frac{1}{4}\)个周期的奇数倍，所以\(\frac{7\pi}{12}\frac{\pi}{3}=(2k+1)\frac{T}{4}(k\inZ)\)。又因为\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，则\(\frac{7\pi}{12}\frac{\pi}{3}=(2k+1)\frac{\pi}{2\omega}\)，即\(\frac{\pi}{4}=(2k+1)\frac{\pi}{2\omega}\)，解得\(\omega=2(2k+1)(k\inZ)\)。因为\(\omega\gt0\)，所以当\(k=0\)时，\(\omega\)取最小值\(2\)。此时\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，因为函数图象关于直线\(x=\frac{\pi}{3}\)对称，所以\(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi=m\pi+\frac{\pi}{2}(m\inZ)\)，\(\varphi=m\pi+\frac{\pi}{2}\frac{2\pi}{3}=m\pi\frac{\pi}{6}(m\inZ)\)。又因为\(0\lt\varphi\lt\pi\)，所以当\(m=1\)时，\(\varphi=\pi\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\)。11.已知函数\(f(x)=x^33x^2+1\)，若过点\(P(1,t)\)可以作出三条直线与曲线\(y=f(x)\)相切，则\(t\)的取值范围是（）A.\((3,1)\)B.\((2,1)\)C.\((3,0)\)D.\((2,0)\)答案：A解析：设切点坐标为\((x_0,x_0^33x_0^2+1)\)，对\(f(x)=x^33x^2+1\)求导得\(f^\prime(x)=3x^26x\)，则切线斜率\(k=f^\prime(x_0)=3x_0^26x_0\)。根据点斜式方程可得切线方程为\(y(x_0^33x_0^2+1)=(3x_0^26x_0)(xx_0)\)。因为切线过点\(P(1,t)\)，所以\(t(x_0^33x_0^2+1)=(3x_0^26x_0)(1x_0)\)，整理得\(2x_0^33x_0^2+t+2=0\)。因为过点\(P(1,t)\)可以作出三条直线与曲线\(y=f(x)\)相切，所以方程\(2x_0^33x_0^2+t+2=0\)有三个不同的实数根。设\(g(x)=2x^33x^2+t+2\)，对\(g(x)\)求导得\(g^\prime(x)=6x^26x=6x(x1)\)。令\(g^\prime(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=1\)。当\(x\lt0\)时，\(g^\prime(x)\gt0\)，\(g(x)\)单调递增；当\(0\ltx\lt1\)时，\(g^\prime(x)\lt0\)，\(g(x)\)单调递减；当\(x\gt1\)时，\(g^\prime(x)\gt0\)，\(g(x)\)单调递增。所以\(g(x)\)的极大值为\(g(0)=t+2\)，极小值为\(g(1)=t+1\)。要使\(g(x)\)有三个不同的零点，则\(\begin{cases}g(0)=t+2\gt0\\g(1)=t+1\lt0\end{cases}\)，解得\(2\ltt\lt1\)，即\(t\)的取值范围是\((3,1)\)。12.已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x+2)=f(x)\)，且当\(x\in[1,1]\)时，\(f(x)=x^3\)，则\(f(2025)\)的值为（）A.\(1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)答案：C解析：已知\(f(x+2)=f(x)\)，则\(f(x+4)=f(x+2)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(T=4\)。则\(f(2025)=f(4\times506+1)=f(1)\)。又因为当\(x\in[1,1]\)时，\(f(x)=x^3\)，所以\(f(1)=1^3=1\)。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，则\(f(f(1))=\)______。答案：\(1\)解析：先求\(f(1)\)，因为\(1\leq0\)，所以\(f(1)=2^{1}=\frac{1}{2}\)。再求\(f(f(1))\)，即\(f(\frac{1}{2})\)，因为\(\frac{1}{2}\gt0\)，所以\(f(\frac{1}{2})=\log_2\frac{1}{2}=1\)。14.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=5\)，\(C=120^{\circ}\)，则\(\sinA\)的值为______。答案：\(\frac{3\sqrt{3}}{14}\)解析：根据余弦定理\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)，已知\(a=3\)，\(b=5\)，\(C=120^{\circ}\)，\(\cosC=\frac{1}{2}\)。则\(c^2=3^2+5^22\times3\times5\times(\frac{1}{2})=9+25+15=49\)，所以\(c=7\)。再根据正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，\(\sinC=\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\)。15.已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，过点\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线与抛物线在\(x\)轴上方的部分相交于点\(A\)，\(AK\perpl\)，垂足为\(K\)，则\(\triangleAKF\)的面积是______。答案：\(4\sqrt{3}\)解析：抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F(1,0)\)，准线\(l:x=1\)。过点\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线方程为\(y=\sqrt{3}(x1)\)。联立\(\begin{cases}y^2=4x\\y=\sqrt{3}(x1)\end{cases}\)，将\(y=\sqrt{3}(x1)\)代入\(y^2=4x\)得\([\sqrt{3}(x1)]^2=4x\)，即\(3(x^22x+1)=4x\)，\(3x^26x+34x=0\)，\(3x^210x+3=0\)，因式分解得\((3x1)(x3)=0\)，解得\(x_1=\frac{1}{3}\)，\(x_2=3\)。因为点\(A\)在\(x\)轴上方，所以\(A\)点的横坐标为\(3\)，代入\(y=\sq