2025-2026学年吉林白城一中高二上学期10月考数学试题含答案

高中白城一中2025－2026学年度高二上学期第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如果，那么（）A. B. C. D.2.下列命题：①若，则；②的充要条件是且③若，则；④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.33.动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（）A. B.C. D.4.化简所得结果是（）A. B. C. D.5.《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（）A. B. C. D.6.设平面向量，若，则等于（）A1 B. C.4 D.7.在中，内角的对边分别为，若，则A. B. C. D.8.下列四个说法中正确的是（）A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则αβB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γβC.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则αβD.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则αβ二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.已知非零实数a、b满足，则（）A. B.C. D.10.给出下列说法，其中正确的有（）A.中国的所有直辖市可以构成一个集合B.高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合C.正偶数的全体可以构成一个集合D.大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合11.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（）A.取得最大值时每月产量为台B.边际利润函数的表达式为C.利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值D.边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是______.13已知向量，，若，则________.14.已知，则________．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点.（1）证明:平面（2）求二面角的正弦值.16.如图为正四棱锥为底面中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．17.判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）若，，；（2），；（3）：两个角都是直角，：两个角不相等.18.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？19.已知关于的方程有实根，求以及实数的值.白城一中2025－2026学年度高二上学期第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如果，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性即可得出结论.【详解】由对数函数在单调递减可得.故选：D2.下列命题：①若，则；②的充要条件是且③若，则；④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误；对于②，当时也满足且，故错误；对于③，当时，满足，但不一定成立；对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确.故真命题的个数是1个.故选：B3.动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意确定周期得到，再通过坐标，得到，即可求解.【详解】由已知可得该函数的周期，，又当时，，设，令，得由，得，在一个周期内可得，，又需满足，故，.故选：D4.化简所得的结果是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果.【详解】易知.故选：A.5.《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解.【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，过点作于点，如图所示，因为，所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，又因为，所以，所以，所以，所以方亭的侧面积为.故选：B.6.设平面向量，若，则等于（）A.1 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算求解.【详解】因为，，所以，所以.故选：D7.在中，内角的对边分别为，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理，可得，代入数据可求解．【详解】由正弦定理，变形可得，故选B【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题．8.下列四个说法中正确的是（）A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则αβB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γβC.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则αβD.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则αβ【答案】C【解析】【分析】求得平面α内有无数个点到平面β的距离相等时α与β的位置关系判断选项A；求得α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab时γ与β的位置关系判断选项B；平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边时α与β的位置关系判断选项C；举特例否定选项D.【详解】选项A：当时，平面α内的直线l上有无数个点到平面β的距离相等.判断错误；选项B：在如下图所示的三棱柱中：γ与β相交，α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab，则.判断错误；选项C：平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则αβ.判断正确；选项D：如下图，，平面α内的一个平行四边形相对的两边与平面β内的一个平行四边形相对的两边满足.判断错误.故选：C二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.已知非零实数a、b满足，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用特值法和作差法对选项进行一一判断，即可得到答案；【详解】对A，令，则，故A错误；对B，当，；当；当，；故B正确；对C，，故C正确；对D，，且，，，故D正确；故选：BCD10.给出下列说法，其中正确的有（）A.中国的所有直辖市可以构成一个集合B.高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合C.正偶数的全体可以构成一个集合D.大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合【答案】AC【解析】【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可.【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确.B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误.D中的元素具备确定性能构成集合，D错误.故选：AC11.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（）A.取得最大值时每月产量为台B.边际利润函数的表达式为C.利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值D.边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【答案】BCD【解析】【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，因为函数为减函数，则，C对；对于D选项，因为函数为减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由函数的奇偶性，确定单调性，由单调性结合定义域列出不等式求解即可.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以在上单调递增，由可得：，解得.所以满足的的取值范围是故答案为：13.已知向量，，若，则________.【答案】1【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，列式求解，即得答案.【详解】由题意知向量，，，故，解得，故答案为：114.已知，则________．【答案】【解析】【分析】先根据正弦和角公式得到，进而求出，利用二倍角公式求出答案.【详解】因为，而，因此，则，所以.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点.（1）证明:平面.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先由线面垂直判定定理证明平面，再由平行四边形的性质得到即可证明；（2）分别找到平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的余弦公式，再利用同角三角函数关系求出正弦值即可.建系，【小问1详解】证明:如图，设为在底面的射影，连接，则平面.因为平面ABC，所以又为BC的中点，，所以因为平面平面，∴平面.又为的中点，且，所以四边形为平行四边形，所以，∴平面.【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系.在三棱柱中，，所以，则.由（1）知平面，则是平面的一个法向量，因为，且，所以.设平面的法向量为，则即设，得，所以，则，所以二面角的正弦值为.16.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.17.判断下列各题中，是什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）若，，；（2），；（3）：两个角都是直角，：两个角不相等.【答案】（1）充要条件（2）必要不充分条件（3）既不充分也不必要条件【解析】【分析】（1）由充要条件的概念即可直接判断；（2）由必要不充分条件的概念即可直接判断；（3）由既不充分也不必要条件的概念即可直接判断.【小问1详解】因为，并且，所以是的充要条件.【小问2详解】，即或，，故，故是的必要不充分条件.【小问3详解】两个角都是直角，则这两个角相等，两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，即，故是既不充分也不必要条件.18.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？【答案】存在【解析】【分析】建立空间直角坐标系，先计算平面的法向量，，，再利