22.1 比例线段（6知识点+4题型+强化练习）学生版

22.1比例线段课程标准学习目标①了解比例的基本性质、线段的比，成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。②通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比。③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。①理解比例、比例线段的概念；②了解比例的基本性质，会求常见图形中的线段比，会应用比例和比例线段解决问题；③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，并应用这一基本事实求线段长；④了解黄金分割，会进行黄金分割的有关计算。知识点01相似多边形的概念·相似图形：形状相同的两个图形说成是相似的图形·相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）【即学即练1】（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁知识点02比例线段的相关概念·线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n·比的前项和后项：在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。【即学即练2】如图，线段，那么等于（

）

A． B． C． D．·比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段·比的外项和内项：若四条线段a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。·比例中项：如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。【即学即练3】（23-24九年级上·江苏常州·期中）线段的比例中项为．【即学即练4】如果线段c是a、b的比例中项，且，，则．知识点03比例的性质（1）基本性质①a:b=c:dad=bc②a:b=b:c（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：如果，等式两边同时±1：【即学即练5】对于线段a，b，若，则下列四个选项一定正确的（

）A． B．C． D．（5）等比性质：【即学即练6】已知，那么下列等式中一定正确的是

（

）A． B． C． D．知识点04黄金分割·把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB【即学即练7】已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（

）A． B． C． D．知识点05平行线分线段成比例定理·基本事实：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。→【即学即练8】如图，直线，直线分别交于点；直线分别交于点与相交于点H，且，则的值为（）A． B． C． D．推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。·逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。：DE∥BC【即学即练9】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（

）A． B． C． D．（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。：DE∥BC【即学即练10】在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为．·比例的性质与等比变形：1.更比性质的变形：2.和比性质的变形：在的条件下，等式两边同时加任意一个常数有：特别的，当k=±1时，3.等比性质的证明：设参法设，有，代入有【题型一：比例尺】例1.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（

）A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度变式1.一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是（

）A． B．500:1 C．1:50 D．50:1【题型二：根据比例的性质化简求值】例2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则．变式2-1.如果，且，则．变式2-2.（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】·法一：熟练运用比例的性质：①更比性质——交换内项、外项的位置，等式不变；②合比性质——；③等比性质·法二：赋值法代数判断，仅限于选择和填空例3.阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）．已知①；②．问题解决：(1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；(2)证明（1）中的分比性质等式成立．【方法技巧与总结】设参法说明比例的性质（见难点分析）【题型三：利用平行线分线段成比例求线段的长】例4．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线，已知，，，．例5．如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则．变式5-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中、已知，，，，求的长．

【方法技巧与总结】平行线分线段成比例定理的应用：熟记模型“”：DE∥BC【题型四：实践生活中的黄金分割点】例6．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的“千金”钩在琴弦长的黄金分割点处，奏出来的音调最和谐、最悦耳．一把二胡的弦长为，求“千金”钩出的下面一截琴弦长为（保留根号）．变式6-1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到．参考数据：，，）．变式6-2．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为米．【方法技巧与总结】根据黄金分割比例为进行求解．一、选择题1.（23-24九年级上·四川宜宾·期中）观察如图每组图形，是相似图形的是（）A． B． C． D．2．在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（

）A．55米 B．550米 C．5500米 D．55千米3．如果，那么下列比例式中不正确的是（

）A． B．C． D．4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，那么下列四个选项一定正确的是（

）A． B． C． D．5．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（

）A．2 B．3 C． D．46．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，，则（）A．5 B．10 C．12 D．157．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（）A． B． C． D．8．（23-24九年级上·安徽池州·期末）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（

）A． B． C． D．二、填空题9．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段AB上，若

，则．10．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于．11．已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为．12．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是．13.如图，直线，相交于点，且，若，，，则．14．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接AD，在AD上截取；在AB上截取，则．15．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知，且，则＝．16．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为．三、解答题17．已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由．18．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知线段a、b、c，且．(1)求的值；(2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．19．如图，已知为的边上的一点，为的延长线上的一点，且．求证：．

（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，、是边上的两点，且，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【背景知识】宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．（1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米