专题22.3 相似三角形的判定与性质综合（压轴题专项讲练）（教师版）

专题22.3相似三角形的判定与性质综合典例分析典例分析【典例1】如图，（1）如图1，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点H，交AD于点E．求证：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°,AD=4,BC=9,CD=7．E是边AB上的一动点，过点C作CG⊥ED，交（3）如图3，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD沿BD翻折得到△CBD，点E，F分别在边AB,AD上，连接CF,DE．若∠AED【思路点拨】（1）证明△CED∽△BDC（2）过点C作CH⊥AF交AF延长线于点H，首先证明四边形ABCH为矩形，易得AB=CH，BC=AH，再证明△DEA（3）过点C作CG⊥AD于点G，交BD于点H，作HM⊥CD于点M，证明CG∥AB，易得∠ABD=∠GHD，再证明△AED∽△GFC，由相似三角形的性质可得CFDE=CGAD=35【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC∵CE⊥∴∠DBC∴∠DBC∴△CED∴CEBD（2）CFDE如下图，过点C作CH⊥AF交AF延长线于点∴∠A∴四边形ABCH为矩形，∴AB=CH，∵∠GFD=∠HFC又∵∠GFD∴∠ADE∵∠A∴△DEA∴CFDE∵BC=9，CD=7，∴DH=∴CH=∴CFDE∴CFDE为定值6（3）如下图，过点C作CG⊥AD于点G，交BD于点H，作HM⊥∴∠CGF∴CG∥∴∠ABD∵∠AED=∠AFC∴△AED∴CFDE∵将△ABD沿BD翻折得到△∴AD=CD，设GC=3x，则∴DG=∵HG⊥AD，HM⊥∴HG=∵S△即12∴HG=∵CG∥∴△DGH∴DG∴ADAB学霸必刷学霸必刷1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6，BC=5，点D，B分别在BC、AC上，CD=2BD，CE=2AE，BEA．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】连接DE，得到DE∥AB，推出△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，得到S△ABF=35S△ADB，S△AFE=23S△ABF，当【解题过程】解：连接DE，∵CD=2BD，∴CEAC又∵∠C∴△CDE∴∠CDE=∠CBA∴DE∥∴△DEF∴AFDF∴S△AFB:∴S△ABF=当S△ADB最大时，过点D作DG⊥AB于∴当DG最大时，S△∵BD≥∴当AB⊥BC时，DG故选：A．2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ACBC=43，D为AB上一点，H为AC上一点，若A．35 B．720 C．33【思路点拨】本题考查了相似的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点C作CE⊥CD交DH的延长线于点E，过点C作CF⊥AB于点F，证明△ABC≌△EDCASA推出【解题过程】解：如图，过点C作CE⊥CD交DH的延长线于点E，过点C作CF⊥∴∠DCE∵∠ABC=∠HDC∴△ABC∴∠A=∠E∵∠AHD∴△ADH∴DH设AC=∵ACBC=∴BC=3x∵△ABC∴BC∴BF∵CB∴DF∴AD∴DH故选：B．3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4，点E,F分别在线段BC和线段DC的延长线上．若BEA．12 B．25 C．23【思路点拨】本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在AB上截取BG=BE=12，在AD上截取HD=DF，且∠B=∠D=90°，可得∠BGE=∠BEG=45°【解题过程】解：如图，在AB上截取BG=BE=12，在AD∴∠BGE=∠BEG=45°，∠DHF=∠DFH∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，且∴∠BAE=∠AFH∴△AGE∴AGHF∴3∴HD∴DF∴CF故选：B4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，A．92 B．132 C．4 D【思路点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在BC上取点G，使BG=32，连接FG，DG，证明△FBG∽△CBF，可得出FG=12CF，则DF+12【解题过程】解：如图，在BC上取点G，使BG=32，连接FG∵△ABE沿BE边翻折到△∴BF又∵BC∴BGBF=1∴BGBF又∠FBG∴△FBG∴GFCF∴FG∴DF当D、F、G三点共线时，DF+在Rt△CDG中，CG=BC-∴DG即DF+12故选：D．5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为边向三角形外作正方形ABDE，作EF⊥BC于点F，交对角线AD于点G，连接A．AC的长 B．BC的长 C．BF的长 D．FG的长【思路点拨】设EF与AB相交于H，设AB=c，AC=b，BC=a，利用正方形的轴对称形得出BG=EG，则可得出△BFG的周长为EF+BF，证明△AEH∽△CBA，求出【解题过程】解∶设EF与AB相交于H，设AB=c，AC=∵∠ACB∴c2∵四边形ABDE是正方形，∴B、E关于直线AD对称，AE=AB=∴BG=∴△BFG的周长为BG∵EF⊥BC，∴EF∥∴∠AHE∴△BHF又∠EAH∴△AEH∴EHAB=AE解得EH=c2∴BH=∵△BHF∴HFAC=BH解得HF=ab-∴EF=====2=2BC即△BFG的周长为2故选：B．6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC，过C点作CF⊥BE，连接AF并延长交CD于点G，交CE于点M．则下列结论：①∠AME=45°；②AD⋅EF=DG⋅BF；③若AF=4，A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路点拨】由矩形的性质及角平分线定义得∠BCF=∠CBE=45°，由勾股定理得BE=2AB，BC=2BF，由相似三角形判定方法得△BAF∽△BEC，由相似三角形的性质得∠BAF=∠BEC，设∠EAF=x，由∠EMF=180°-∠EAF-∠AEB-∠BEC即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得△CEF∽△AGD，由相似三角形的性质得EFGD=【解题过程】解：①∵四边形ABCD是矩形，∠ABC=∠BAC∵BE平分∠∴∠ABE∴∠ABE∵CF∴∠BCF∴BE=2∴BE∴△BAF∴∠BAF设∠EAF∠BEC∴∠=180°-=45°；故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴AB∴∠AGD∵∠BAF∴∠BEC即：∠CEF∵∠CFE∴△CEF∴EF∴AD⋅∵∠∴CF∴AD故②正确；③如图，延长CF交AD于H，由①②得：∠EHF=∠FEH∴HF∴HF即：CH=∵∠AEM∴△AEM∴AM∵AF=4，FM∴AM由①得：△BAF∴AF∴4解得：CE=4∴7∴7解得：AB=2∵四边形ABCD是矩形，∴CD故③错误；④由上过程得：BE=∵BC=∴BC∴∠BEC由③得：△AEM∴∠EAM∴90°-x解得：x=22.5°∴∠EAM∵∠EMF∴22.5°+∠CFM解得：∠CFM∴∠∴FM同理可证：FM=∴CM∴EC=2故④正确；故选：B．7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，∠ADC=3∠BAD，【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、外角的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题关键是构造出相似三角形．本题先构造一个等腰三角形，利用两角分别相等的两个三角形相似得出△ABD∽△EAD，进一步得出A【解题过程】解：如图，延长CB至E，使BE=∴∠AEB设∠BAD则∠ADC∴∠ABD∴∠AEB∵∠∴△ABD∴ADDE∴AD设BE=∴A在Rt△ADC在Rt△ABC中，∴a2解得：a1=20，∴AC∴AB=故答案为：20．8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，延长CD至点E，使DE=13CD，BE，CA的延长线交于点F【思路点拨】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键．先根据题意以及勾股定理可得CD=3、BD=2；设AD=x，则AC=AB=AD+BD=x+2，在Rt△ADC中运用勾股定理列方程可得x+22=32+x2【解题过程】解：∵DE=13∴CD=3∵BE=5，∴BD=设AD=x，则在Rt△ADC中，AC2=∴AD=54如图：过E作EG∥AB交AF于G，即∴△ADC∴ADGE=CDCE=∵EG∥∴△ABF∴EFBF∴EFBE+EF=20故答案为：2059．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，△ABC中，∠BCA=90°，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理及逆定理等知识点，首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ【解题过程】解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB=∠∴△ABQ∵AB＝∴△ABQ与△ACP相似比为∴AQ=2AP=23∵∠ACB=90°，∴∠ABC∴∠BAC∴∠QAP∵AQAP∴△ACB∴∠APQ=90°，∴PQ=∴BP∴∠BQP∴∠APC作AM⊥BQ于由∠BQA∴∠AQM∴∠AQM∴QM=∴AM=∴AB∵AB=2AC，∴BC=∴S△故答案为：6+7310．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BA:BC=BD:DC=2:1，连接AD，过点B作BE⊥【思路点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点C作CG∥AD，交BF的延长线于点G，比例关系，求出BC,BD,CD的长，勾股定理求出AD的长，等积法求出BE的长，勾股定理求出AE的长，进而求出DE的长，证明△BED∽△BGC，列出比例式求出BG,CG【解题过程】解：过点C作CG∥AD，交BF的延长线于点∵AB=6，BA∴BC=3∵BD:∴BD=2,∵∠ABC∴AD=∵BE⊥∴12∴BE=∴AE=∴DE=∵CG∥∴△BED∴BEBG∴BG=32∴EG=∵CG∥∴△AFE∴EFFG∴EF=∴BF=故答案为：61011．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A<90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设BCAB=k【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC=12k【解题过程】解：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB=∵AD=∴AD=∵AD=∴∠A∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE又∵∠BDE∴∠FDE∴DE∥∴∠C=∠DEB∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB∴∠C∵AB=∴∠C在△ABC和△∠B∴△ABC∽△∵在△ABC中，DE∴∠BDE=∠A∴△BDE∴BEBC∴EC=∵BCAB∴BC=k⋅∵△ABC∽△∴ABEC∴AB1解得CF=∴CFFA故答案为：k212．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E为AD边的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接CA'

【思路点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，过A'作A'H⊥BC交BC于H，交AD于G，由一线三垂直模型得到△BA'H∽△A'EG，即可得到A'HEG=BHG【解题过程】解：如图，过A'作A'H⊥BC交BC于H

∵矩形ABCD中，AB=3，BC∴∠A=∠ABC=∠BCD∵A'∴∠BCD∴四边形GHCD是矩形，∴CH=GD，CD=∵点E为AD边的中点，∴AE=∵将△ABE沿BE翻折，得到△∴AE=A'E=2∴∠B∴△B∴A'设EG=2x，则A'在Rt△EGA∴3-3x整理得13x解得x1∵GA∴x=∴CH=DG=2-2∵∠FCB∵△CDF∴DFCH∴DF16∴DF故答案为：16513．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E为AC上一点，过点E作EF⊥BC于F，且AD=BF，连接BE交AD于G，若∠【思路点拨】本题考查的是矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，过点B作BK⊥BC，过点A作AK⊥BK于点K，交FE延长线于点H，证明四边形KBFH是正方形，进而得出△KBA≌△FBL，△ABE≌△LBE，求出【解题过程】解：如图，过点B作BK⊥BC，过点A作AK⊥BK于点K，交∴∠K∴四边形KBFH是矩形，同理，四边形ADFH是矩形，∴AD∵AD∴BK∴四边形KBFH是正方形，延长EF到点L，使FL=∵∠K∴△KBA∴AB∵∠KBC∴∠ABK∴∠LBF∵BE∴△ABE∴AE∴AE∵AD∴∠BEF∴∠AGE∴AE∵FL∴EF∵∠BDG∴△BDG∴DG设DF=a，则∴DG∴a解得：a=3∴BF∴EH∵∠H∴△AEH∴CEAE=∴CE故答案为：5214．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，DE⊥求证：（1）AE⋅（2）AEBF【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定与性质即可求解；（2）根据相似三角形的判定与性质即可求解；本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【解题过程】（1）证明：∵CD⊥AB，DE⊥∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ECD=90°，∠A+∠ADE∴∠A=∠CDE∴△ABC∽△CBD，△ACD∽△∴ACCD=ABCB，CDBD∴AC·BC=AB·CD，∴CD22∴CD∵AC·∴CD∴AE⋅（2）证明：同理可证：△ABC∽△ACD，△ABC∽△∴ACAD=ABAC，BCAB∴AC2=AD·AB，∴AD=AC2AB，BD∴AE===∴AEBF15．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2BC=8，点D，E分别在边BC,（1）问题发现：①当α=0°时，AE:BD=________；②当α（2）拓展研究：试判断，当0°≤α≤360°时，AE:（3）问题解决：当CE=BC,△EDC旋转至A，D，【思路点拨】（1）①当α=0°时，证明△CDE∽△CBA，得到AEBD=ACBC（2）如图2所示，旋转过程中，AC、BC、CE、CD长度不变，故：△ACE∽△BCD，（3）当△CED旋转BC右侧，AB=AE=82+42=45，由AEBD=2【解题过程】（1）解：①当α=0°∵DE∥∴△CDE∴AC∴ACAC-∵∴AEBD=AC②当α=180°则A,∴D∴△C∴AC∵C∴ACAC-∴AEBD=AC（2）解：如图2所示，旋转过程中，AC、BC、CE、CD长度不变，即：ACBC=CE∴△ACE∴AEBD故：当0°≤α<360°时，（3）解：当△CED旋转到如图位置A，D，C三点共线时(由题意得：AB=由AEBD=2，得：由勾股定理得：CD∴AD当△CED旋转到如图位置A，D，C三点共线时(此时，BC=CE=CE∴DE由勾股定理得：CD∴AD故线段AD的长为10或6．16．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ，其中AB=4，（1）求证：△PBE（2）你认为△PBE和△（3）如图（3），沿AG折叠，使点E落在AD上为点H，连结HG交BN于F，求BF（已知：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）【思路点拨】（1）利用折叠中重合的角相等以及直角三角形两锐角互余转化角的关系得出∠ABQ（2）利用上一个问题中的结论得出BEAB=PE（3）先构造AB的中点，证明△BOQ是等边三角形，再利用含30°的直角三角形的性质与勾股定理求出AB，得到AH，最后利用相似三角形得出BF【解题过程】（1）证明：过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，∴PQ⊥∵矩形对边平行，∴PQ∴∠PBE∵∠PBE∴∠ABQ在△PBE和△∵∠ABQ=∠PEB∴△PBE（2）解：△PBE和△证明：∵△PBE∴BEAB∵矩形纸片ABCD上下对折，折痕为MN，∴BQ=∴BEAB=PE又∵∠EPB∴△PBE（3）解：取AB的中点O，连结OQ，∵OQ=∵PQ=∴OB=∴OQ=∴△BOQ∴∠ABQ在Rt△BOQ中，∵∴∠BAQ∵△PBE∽△BAE∴∠PBE可得∠在Rt△ABE中，由勾股定理可得：∴AE∴2BE∴BE=∴AE=∴AH=∵PG//∴PBBQ∴BGAG∵BF//∴△CBF∴BFAH∴BF8BF=17．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D在AB边上，E在AC边上，连接EB、CD，点G为BE（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC=10，AG=35（2）如图2，若BD=CE，取CD中点为F，连接FG，求证：（3）如图3，在（1）的条件下，点F为直线AC上一点，连接BF，若CF=2BD，则CD+【思路点拨】（1）根据GA=GB，得到∠1=∠2，由等角的余角相等推出∠4=∠3，进而得到GA=GB=GE=352，设AE=y，AB=x，在（2）如图，倍长CG至点Q，连接DQ，由（1）得GB=GE，证明△BQG≌△ECGSAS，推出EC∥QB，进而得到∠QBD=∠BAC（3）过点B作PB⊥BC，使得PB=12BC，连接CP,PD，CP交AB于点Q，连接QG，证明△PBD∽△BCF，得到PD=12BF，当P,D,C三点共线时，即点D与点Q重合，CD+PD有最小值，即【解题过程】（1）证明：如图，∵∴∠1=∠2∵∠∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°∴∠4=∠3∴设AE=y，在Rt△ABE中，∴3在Rt△ABC中，∴10∴x=3，y=6即AC∴S（2）解：CE=如图，倍长CG至点Q，连接DQ，由（1）得GB=∵∠BGQ∴△BQG∴QB=EC∴EC∴∠QBD∵BD∴BD∴△BQD∴QD∵CD中点为F，点G为CQ∴FG为△∴QD∴2∴CE（3）解：如图，过点B作PB⊥BC，使得PB=12BC，连接CP,PD，∵PB=1∴BD∵∠PBD∴∠PBD∴△PBD∴PDBF=如图，当P,D,C三点共线时，即点D与点Q重合，∵△PBD∴∠PDB∵∠PDB∴∠ADC∵∠BAC∴∠BAF∴△ADC∴AD由（1）知AC=8，AB∴AD∴AD∵PD∴34CD∵CP∴CD+PD∴PD∴CD∴AD∵S∴S∵AD∴S18．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，点B，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的一点且DE=13DC，∠D=60°，△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF与CD交于H且FH【思路点拨】（1）证明△AED≌△DFC（2）由平行线的性质和折叠的性质可证BG=EG,由勾股定理可求CH的长，通过证明△BFG（3）通过证明△EFH∽△ECP，可求CP的长，由勾股定理可求PN，CN【解题过程】解：（1）设DE与CF交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A∵DE⊥∴∠DGF∴∠ADE+∠CFD∴∠CFD在△AED和△∠A∴△AED∴DE=即DECF解：（2）∵将△AEB沿BE翻折到△∴AB=BF=6,∵AD∥∴∠AEB∴∠CBE∴BG=∴BC∴64+CH∴CH∴BH∵∠CBH∴△BFG∴BG∴BG∴FG∴EF∴AE故答案为：92解：（3）如图，过点P作PN⊥DC于∵四边形ABCD是菱形，∴AB=∴∠D∵DE∴DE=2,∵△ADE沿AE翻折得到△∴DE=∴∠AFE又∵∠FEH∴△EFH∽△ECP∴2∴PC∵PN∴∠CPN∴CN∴EN∴PE19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出（1）如图①，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，连接问题探究（2）如图②，四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰Rt△APQ，∠AQP=90°，连接DQ、CQ．当DQ问题解决：（3）随着社会的发展，农业观光园走进我们的生活．某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形ABCD，其中BC=20km，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD．为了能够让广大游客更近距离观光，徜徉在大自然的海洋，设计师计划在BD【思路点拨】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠DCE=45°，由勾股定理得到（2）连接AC，交BD于点O，连接OQ，证明∠BAP∽∠OAQ，得出∠AOQ=∠ABP=45°，进而可得OQ∥CD（3）作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，由题意可证△ABC∽△DEC，可得BCAC=CECD，且∠BCE=∠ACD，可证△BCE∽△ACD，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE，DF，BF的长，由三角形三边关系可求【解题过程】解：（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∴∠ACB∴∠ACB∴∠BCE由勾股定理可得BC=AB∴BCAC∴△ACD（2）如图所示，连接AC，交BD于点O，连接OQ，由正方形的性质可得∠ABO=45°，∴△AOB同理可得AB=∵△APQ是等腰直角三角形，∠∴∠PAQ=45°，∴∠BAP∴∠BAP又∵ABAO∴∠BAP∴∠AOQ∴∠AOQ∴OQ∥∴当DQ⊥OQ时，∵AD∥∴此时点Q在AD上，∵OQ∥∴△AOQ∴AQAD∴DQ=∴当DQ最小时，△CDQ的面积为1（3）如图，作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF∵∠ADC=90°，∴∠CAD∴∠BAC∴∠BAC又∵∠DCE∴△ABC∴BCCE∴BCAC∵∠DCE∴∠DCE∴∠BCE∴△BCE∴∠BEC∴CE∵点F是EC中点，∴CF∴BF∴BD∴当B,F,D三点共线时，BD取得最大值，此时如图所示，过点E作∵∠EGB∴△EBG∴EGBE∴EG=∵F是EC的中点，∴S△∴△BCD的面积===1020．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题背景】在平行四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得CF=CE，连接DF