2025年线性代数感恩母校版试题

2025年线性代数感恩母校版试题一、选择题（每题5分，共30分）我校校训"明德启智，笃行日新"的8个汉字对应的拼音首字母构成向量组$\alpha_1=(M),\alpha_2=(D),\alpha_3=(Q),\alpha_4=(Z),\alpha_5=(D),\alpha_6=(X),\alpha_7=(R),\alpha_8=(X)$（按英文字母表顺序转化为1-26的数值），则该向量组的秩为（）A.4B.5C.6D.7图书馆前的校史浮雕墙由3×3的青石矩阵构成，若第i行第j列石块的重量$a_{ij}=i+j$，则该矩阵的伴随矩阵$A^*$的迹为（）A.0B.12C.24D.36学生活动中心举办"感恩母校"文艺汇演，舞台灯光系统由4个回路控制，其工作状态满足齐次线性方程组$Ax=0$，其中$A$为系数矩阵且$r(A)=2$，则该系统所有可能的故障模式构成的解空间维数是（）A.1B.2C.3D.4校训石的长、宽、高构成三维列向量$\alpha=(8,4,2)$（单位：米），若对其作正交变换$Q\alpha$（$Q$为正交矩阵），则变换后向量的模长为（）A.$2\sqrt{21}$B.$\sqrt{84}$C.14D.保持不变数学建模实验室的电脑主机IP地址为矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}$的特征值，其中最大特征值对应的特征向量方向角的余弦值之和为（）A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$B.$\sqrt{3}$C.1D.0校园内的樱花树按行距为2米、列距为3米种植，形成$n$阶方阵布局，若用二次型$f(x_1,x_2)=2x_1^2+3x_2^2$表示第i行j列树木的坐标变换，则该二次型的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.与n有关二、填空题（每题5分，共30分）计算教学楼前"时光胶囊"的埋藏位置坐标：已知起点为图书馆$O(0,0)$，沿向量$\alpha=(3,4)$走到行政楼$A$，再沿向量$\beta=(1,2)$走到实验楼$B$，则$\triangleOAB$的面积为______。某班级50名同学向母校捐赠图书，每人捐赠数量构成向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{50}$，已知该向量组的秩为3，则此向量组中极大线性无关组包含的向量个数为______。校医院的药品库存管理系统中，三种常用药品的库存矩阵$A=\begin{pmatrix}100&200&150\150&100&200\end{pmatrix}$（行表示周次，列表示药品类型），则矩阵$AA^T$的$(2,1)$元表示的实际意义是______。感恩墙的电子留言板上有100条祝福信息，其情感倾向值构成向量$\alpha$，经PCA降维处理后得到主成分向量$\beta=P\alpha$，其中$P$为正交矩阵，则$\beta$的模长与$\alpha$的模长关系是______。计算校训"明德启智"四个汉字的ASCII码构成的4阶行列式：$\begin{vmatrix}77&68&81&90\0&0&0&0\...&...&...&...\...&...&...&...\end{vmatrix}$=______。校友捐赠的奖学金基金每年增值率构成对角矩阵$\Lambda=\text{diag}(0.05,0.06,0.07)$，若初始基金向量为$\alpha=(10,20,30)$（单位：万元），则三年后的基金总额为______万元。三、计算题（每题15分，共60分）（矩阵运算与校园规划）校庆期间需在中心广场摆放鲜花，已知三种花卉的摆放区域由矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}$表示（行表示区域，列表示花卉种类），每种花卉的单价向量$\beta=(10,20,30)^T$（单位：元/盆），运输损耗矩阵$B=\begin{pmatrix}0.01&0&0\0&0.02&0\0&0&0.03\end{pmatrix}$。（1）计算$AB\beta$并解释其实际意义；（2）若预算矩阵$C=A+2B$，求$C^{-1}$（若存在）。（线性方程组与后勤管理）学生宿舍的热水供应系统中，4栋宿舍楼的日用水量（单位：吨）满足非齐次线性方程组$Ax=b$，其中：$$A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\1&2&4&8\1&3&9&27\1&4&16&64\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}100\200\300\400\end{pmatrix}$$（1）判断方程组是否有解并说明理由；（2）若第4栋楼因维修暂停用水，求此时方程组的通解。（特征值与校园导航）校园内三个标志性建筑的坐标分别为：图书馆$A(1,0,0)$，教学楼$B(0,1,0)$，体育馆$C(0,0,1)$。（1）求向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角余弦值；（2）若以$A,B,C$为列构成矩阵$P$，求$P$的特征值及对应的特征向量。（二次型与建筑设计）校史馆的新馆顶部为双曲抛物面结构，其方程为$z=xy$，请用正交变换将其化为标准形，并指出该曲面在三维空间中的类型。四、应用题（每题15分，共30分）（数据分析与校友捐赠）某高校教育发展基金会收到5位杰出校友的年度捐赠，捐赠金额（单位：万元）如下表所示：校友2021年2022年2023年A101520B152025C202530D253035E303540（1）将捐赠数据表示为矩阵形式$A_{5×3}$；（2）求该矩阵的秩，并解释其实际意义；（3）预测2024年各位校友的捐赠金额。（密码学与信息安全）校庆活动的电子邀请函采用矩阵加密方式：明文向量$x$经加密矩阵$A$变换后得到密文$y=Ax$。已知"欢迎回家"四个字的明文向量为$x=(1,2,3,4)^T$，加密后密文为$y=(5,12,21,32)^T$。（1）求加密矩阵$A$（假设为4阶下三角矩阵）；（2）若校友回复的密文为$z=(4,10,18,28)^T$，求对应的明文向量。五、证明题（20分）设$V$是由所有"感恩母校"主题征文构成的线性空间，$\sigma$是$V$上的"情感评分"线性变换，满足：对任意征文$x$，$\sigma(x)$为其情感得分（实数）；优秀征文集合$W={x\inV|\sigma(x)\geq90}$。证明：（1）$W$不是$V$的子空间；（2）存在$V$的一组基，使得$\sigma$在该基下的矩阵为对角矩阵。（提示：可考虑零元素的存在性及线性变换的特征值理论）六、建模题（30分）为庆祝建校60周年，学校计划在中心湖修建一座纪念喷泉，要求如下：喷泉由3层同心圆构成，每层喷嘴的水流轨迹为抛物线；第i层的水流初速度向量$\alpha_i=(v_i\cos\theta_i,v_i\sin\theta_i)$，其中$v_i=10-2i$（m/s），$\theta_i=30^\circ+i\cdot15^\circ$（$i=1,2,3$）；水流运动满足方程$x=v_xt$，$y=v_yt-\frac{1}{2}gt^2$（$g=10m/s^2$）。（1）建立各层水流轨迹