2025年线性代数考研冲刺模拟试题

2025年线性代数考研冲刺模拟试题一、选择题（共5小题，每小题5分，共25分）设三阶行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=2$，则行列式$\begin{vmatrix}2a_{11}&-a_{12}&3a_{13}\2a_{21}&-a_{22}&3a_{23}\2a_{31}&-a_{32}&3a_{33}\end{vmatrix}=$（）A.-12B.12C.-6D.6设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix}$，则$A$的秩$r(A)=$（）A.0B.1C.2D.3向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,6)^T$，$\alpha_3=(3,6,t)^T$线性相关的充要条件是（）A.$t=9$B.$t\neq9$C.$t=0$D.$t\neq0$设矩阵$A$的特征值为1，2，3，则$|A^2-2E|=$（）A.0B.2C.6D.12二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3$的矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&0\3&0&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&4&6\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&0\3&0&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&0\3&0&3\end{pmatrix}$二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）行列式$\begin{vmatrix}0&1&0&0\0&0&2&0\0&0&0&3\4&0&0&0\end{vmatrix}=$________。设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0\2&1\end{pmatrix}$，则$A^{-1}=$________。向量组$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(1,1,0)^T$，$\alpha_3=(1,1,1)^T$的秩为________。齐次线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\2x_1+3x_2+4x_3=0\end{cases}$的基础解系所含解向量的个数为________。设矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$，则$A$的特征值为________。二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2$的规范形为________。三、解答题（共6小题，共95分）1.（15分）计算行列式$$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$$解析：将第2、3、4行加到第1行，得：$$D=\begin{vmatrix}10&10&10&10\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$$再通过列变换化简，最终得$D=160$。2.（15分）设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix}$，求$A^{-1}$。解析：使用初等行变换法，构造增广矩阵$(A|E)$，经过一系列变换化为$(E|A^{-1})$，得：$$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\frac{1}{2}&-1&\frac{1}{2}\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{pmatrix}$$3.（15分）设向量组$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,3,t)^T$，问$t$为何值时：（1）向量组线性无关；（2）向量组线性相关，并求出一个极大线性无关组。解析：（1）当$t\neq5$时，线性无关；（2）当$t=5$时，线性相关，极大无关组为$\alpha_1,\alpha_2$。4.（20分）求解线性方程组$$\begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=1\2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=2\3x_1+4x_2+6x_3+6x_4=3\end{cases}$$解析：对增广矩阵作初等行变换，得通解为：$$\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\0\0\0\end{pmatrix}+k_1\begin{pmatrix}-2\0\1\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-4\1\0\1\end{pmatrix}\quad(k_1,k_2\in\mathbb{R})$$5.（15分）设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&2\2&1&2\2&2&1\end{pmatrix}$，求正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵。解析：特征值为$\lambda_1=5$，$\lambda_2=\lambda_3=-1$，对应的特征向量正交化后得：$$P=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}$$6.（15分）判定二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3$的正定性，并求正交变换将其化为标准形。解析：二次型矩阵的顺序主子式全大于0，故正定；正交变换后标准形为$2y_1^2+5y_2^2+y_3^2$。四、证明题（15分）设$A$为$n$阶方阵，且$A^2=A$（幂等矩阵），证明：$r(A)+r(A-E)=n$。证明：由$A(A-E