2025年河北省中考数学试卷（含答案）

2025年河北省中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）

1.（3分）从・5℃上升了5c后的温度，在温度计上显示正确的是（）

-1:-g

0lr

_・-

_5_：

_:

_0:

_3r

厂v

5=

曰:

-0・

A.B.>?l

2.（3分）样卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD//BC,Z

46c=70°,则N8AQ=（）

AD

BC

A.70°B.100*345C.110°D.130°

3.（3分）计算：（同+6）（国-役=（）

A.2B.4C.6D.8

4.（3分）“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他

想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图2）.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7c5

和4c〃?，笔的实际长度为14cm,则该化石的实际长度为（）

A.2cmB.6cmC.8c〃？D.10cm

5.（3分）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（）

主视图

俯视图□

on

A.B._______C.D._______I

6.（3分）若一元二次方程=（x+2）・3=0的两根之和与两根之积分别为〃,则点（〃?，〃）在平面直

角坐标系中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（3分）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1,2,3中的一个数字），若向上一面出现

数字1的概率为之出现数字2的概率为之则该木块不可能是（）

23

QB.S

八jL,M+i2a+36

8.（3分）若片・3,则Q2+60=（）

A.-3B.-1C.3D.6

9.（3分）如图，在五边形A8CZ）石中,AE//I3C,延长84,BC,分别交直线OE于点M,N.若添加下列

一个条件后，仍无法判定△MAEs^ocM则这个条件是（）

0/Kcx

A.ZB+Z4=180°B.CD//AB

C.Z1=Z4D.Z2=Z3

10.（3分）在反比例函数）=］中，若2VyV4,则（）

1

A.-<x<\B.\<x<2C.2<x<4D.4<x<8

2

II.（3分）如图，将矩形ABC。沿对角线8。折叠，点A落在A'处，/1,D交BC于点E.将△CDE沿

QE折叠，点。落在ABOE内的C'处，下列结论一定正确的是（）

C.Z2=900-aD.Z2=2a

12.（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方形EFGH与正方形OABC

的顶点均为整点.若只将正方形EPG"平移，使其内部（不含边界）有且只有A,B,C三个整点，则

平移后点石的对应点坐标为（）

A•电当B.（|,雪）C.（|，2）D.（|，今

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13.（3分）计算：2/+4〃2=.

14.（3分）平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为〃.若〃为整数，则〃的值可以

为.（写出一个即可）

12

15.（3分）甲、乙两张等宽的长方形纸条,长分别为m如图,将甲纸条的］与乙纸条的g叠合在一起,

形成长为81的纸条，则a+A=.

<---------------------81---------------------->

16.（3分）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近

视率”.如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1-12对应的点均匀分布在一个圆上，数字。对应圆心.图

中以数字0〜12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1,

则这条线段的长为

(1)求证：Z\A8cg△AH)；

(2)若BE=FE,求证：AC1BD.

20.（8分）某工厂生产A,B,C,。四种产品.为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化

生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质.经研究，该工厂做出了甲、乙两种

调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.

下面是该工厂这四种产品的部分信息：

&调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和曲形统计图（图2）.

各产品年产量条形统计图各产品年产量扇形统计图

h.各产品单件成本的核算情况统计表及说明.

类别ABCD

数据

产品

调整前单件成本/（元/件）18262036

调整后单件成方案甲1322in40

本/（元/件）方案乙16n1832

说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相司，方案乙的中位数与调整前的相同.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求调整前A产品的年产量;

（2）直接写出〃?，〃的值；

（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较

低.

21.（9分）如图1,图2,正方形ABCD的边长为5.塌形OEF所在圆的圆心0在对角线BQ上，且不与

点、D重合，半径0E=2,点E,F分别在边AD,CD上，DE=DF（QE22）,扇形OEF的弧交线段

08于点M,记为丽.

（1）如图1,当AE=3时，求NEM”的度数；

（2）如图2,当四边形0EMF为菱形时，求OE的长；

（3）当NEO/=150°时，求丽•的长.

图1图2

22.（9分）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0700℃（本题

涉及的温度均在此范围内），原长为//〃的铜棒、铁棒受热后，伸长量），（〃?）与温度的增加量x（℃）

之间的关系均为其中〃为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数""=1.7X10

-5（单位:/℃）；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8X103W.

（1）原长为0.6加的铜棒受热后升高50℃,求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）.

（2）求铁的线膨胀系数所°；若原长为1〃?的铁棒受热后伸长4.8X104〃?，求该铁棒温度的增加量.

（3）将原长相等的铜棒和铁棒从（）℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的

高20℃,求该铁棒温度的增加量.

23.（11分）综合与实践

［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成育.角护板（如图1），需找到合适的切割线.

［模型］已知矩形A8C。（数据如图2所示）.作一条直线使MN与8。所夹的锐角为45°,且将矩

形ABCD分成周长相等的两部分.

［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.

如图3,嘉嘉的思路如下:如图4,淇淇的方法如下:

①连接AC,BD交于点O；①在边AC上截取BG=AB,连接4G；

②过点。作EFIBC,分别交8C,4)于点E,②作线段GC的垂直平分线/,交BC于点M；

F；③在边AO上截取AN=GM,作直线MN.

［探究］根据以上描述，解决下列问题.

(1)图2中，矩形A8C。的周长为；

(2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法);

(3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求.

［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题.

(4)如图5,若直线PQ将矩形A8CO分成周长相等的两部分，分别交边AD,BC于点P,Q,过点B

作BHLPQ于点、H,连接

①当NPQC=45°时，求tan/4cH的值；

②当N/3C〃最大时，直接写出CH的长.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=・/+加+c经过点A(0,3),8(6,3),顶点为P.抛

物线y=a(x-3)2+d(a<0)经过点C2).两条抛物线在第一象限内的部分分别记为Li,Li.

（1）求从C的值及点P的坐标.

23

（2）点。在山上，到X轴的距离为丁.判断上能否经过点。，若能，求4的值；若不能，请说明理

4

由.

（3）直线AE：），=履+〃（Q0）交L于点E,点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一

半.

①若点E与点尸重合，点M恰好落在以上，求”的值；

②若点M为直线A£与上的唯一公共点，请直接写出我的值.

2025年河北省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

题号12345678g1011

答案BCBCACAB.DBD

题号12

答案A

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）

1.（3分）从-5C上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（）

C

A.B.

【解答】解：根据题意得-5+5=0（℃）,

即温度计上显示0℃,

故选：B.

2.（3分）梯卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD//BC,Z

A8C=70°,则N8AO=（）

AD

rrBzCn

A.70°B.100:C.110°D.130°

【解答】W.：*：AD//BC,

••・NZMQ+N"C=180°,

VZ^«C=70°,

AZBCD=110°.

故选：C.

3.（3分）计算：（m+灰）（V10-V6）=（）

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：（V10+V6）（A<10-V6）

=10-6

=4,

故选：B.

4.（3分）“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他

想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图2）.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为

和4a”，笔的实际长度为14cm,则该化石的实际长度为（）

A.2cmB.6cmC.ScmD.10cm

【解答】解：设该化石的实际长度为根据题意得：

14X

7一4，

解得x=8,

所以该化石的实际长度为8°〃?.

故选：C.

5.（3分）一个儿何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（）

.口,

主视图

俯视图

口n__nD.d

A._______B._______C._______

【解答】解：由俯视图中的正方形位于横向的对称轴的位置上,故选项A的左视图符合题意.

故选:A.

6.（3分）若一元二次方程工（户2）-3=0的两根之和与两根之积分别为，〃，小则点（〃?，〃）在平面直

角坐标系中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：由方程x（x+2）-3=0,

得至Ijr+2x-3=0.

两根之和：—1二—2,

两根之积：—=-3.

・•・/〃，〃都为负数，

・••点（〃?，〃）在第三象限.

故选：C.

7.（3分）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1,2,3中的一个数字），若向上一面出现

出现数字2的概率为2,则该木块不可能是（）

【解答】解：•・•向上一面出现数字I的概率为"出现数字2的概率为g

・・・6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”，

只能有一个面标有“3”，

・••该木块不可能是选项A.

故选：A.

a24-12a+36

8.(3分)若〃=-3,则)

a2+6a

A.-3B.-1C.3D.6

足+12。+36=(-3『+12x(-3)+36

【解答】解:当。=-3时,原式二-1.

a2+6a-(-3)2+6X(-3)

故选：B.

9.（3分）如图，在五边形A8CDE中，AE//BC,延长84,BC,分别交直线。E于点M,N.若添加下列

一个条件后，仍无法判定则这个条件是（）

M

:工

0cx

A.ZB+Z4=180°B.CD//AB

C.Z1=Z4D.Z2=Z3

【解答】解：・・・AE〃5C,

：・4AEM=/CND,NMAE=NB,

当添加N8+N4=180°时，

VZDC7V+Z4=18OC,

:・/DCN=/B,

:・/DCN=NMAE,

:AMAEsXDCN,所以A选项不符合题意；

当添加CO〃八B时，

：,/DCN=/B,

：・4DCN=/MAE，

:.XMAESXDCN,所以8选项不符合题意；

当添加Nl+N4=180°时，

•.•NM4E+N1=180°,NQCN+N4=180°,

:・NDCN=NMAE,

：.4MAESRDCN,所以C选项不符合题意；

当添加N2=N3时，

••♦/AEM+N2=180°,NCQN+N3=18O°,

・••/AEM=NCDN=/CND

，不能判断△MAESAOCM所以。选项符合题意.

故选：D.

10.（3分）在反比例函数），=］中，若2VyV4,则（）

1

A.-<r<lB.l<x<2C.2<x<4D.4<x<8

2

【解答】解：•••反比例函数）=34^=4>0,

人

・••在每个象限内，y随x的增大而减小,

，当2VyV4时，<x<i

/.l<x<2.

故选：B.

11.（3分）如图，将矩形A8C。沿对角线8。折叠，点A落在A'处，A'D交BC于点、E.将△0£）£沿

。£折叠，点C落在△40石内的U处，下列结论一定正确的是（）

A.Zl=450-aB.Zl=aC.Z2=90°-aD.Z2=2a

【解答】解：•・•四边形AAC。是矩形，

：,AD//BC,ZC=90°,

••・NADB=Z1,

•••将矩形ABCD沿对角线BD折叠，

JZADB=ZA,DB,

Z1=N4DB,

VZDEC=90°-a,

即2/1=90°-a,

1

=45°~2a,故人不正确，

•:NBDEWNCDE,

・'.NlWa,故8不正确，

•••将矩形ABCD沿对角线BD折叠，

：.ZCED=ZCED

N2=1800-2ZCED=180°-2(90°-a)=2a,故C不正确，。选项正确,

故选：D.

12.（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方形EFG”与正方形048c

的顶点均为整点.若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有A,B,。三个整点，则

平移后点上的对应点坐标为（）

A.&，当B.各C.2）D,3

【解答】解：设直线尸G的解析式为），="+〃，代入（-I,1）,（0,-I）,

（l=-k+b

.1-1=d

,J/c=-2'

\b=-1

，直线FG的解析式为y=-2x-\,

2）,4.当E为（《，韵时，平移方式为向右平移|个单位，向上平移，个单位，

••・直线产G平移后的解析式为歹二一2（无一看）一1+:=一2,此时经过原点，对应的E，经过整点（2,

1）,符合题意，

B.当E为。，/）时，平移方式为向右平移|个单位，向上平移总个单位，

J直线尸G平移后的解析式为y=-2（x-'）-1+■=一2%+；,此时原点在尸G下方，对应的切在

整点（2,1）上方，不符合题意，

C.当E为6，2）时，平移方式为向右平移3个单位，

.・.直线FG平移后的解析式为了二一2（丫一$-1=一2「此时点E在正方形内部，不符合四意，

D.当E为（|,/）时，平移方式为向右平移1个单位，向上平移［个单位，

・•・直线FG平移后的解析式为、=一2（%-｝一1=-2%此时点E和（2,1）在正方形内部，不符合题

意，

故选:A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13.（3分）计算：2a2+4〃2=6?.

【解答】解：2a2+4a2=（2+4）a2=（）a2.

故答案为：6a2.

14.（3分）平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为〃.若〃为整数，则〃的惰可以为_2

或3或4或5或6.（写出一个即可）

【解答】解：如图，B

•••平行四边形两个邻边长分别为3和4,

・•・它的一条对角线长n的取值范围是：4-3<n<4+3,

即它的一条对角线长L的取值范围是：1V〃V7.

n=2或3或4或3或6.

故答案为：2或3或4或5或6.

6（3分）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为.如图，将甲纸条的"乙纸条的|叠合在一起,

形成长为81的纸条，则99.

<---------------------81---------------------->

【解答】解：根据题意得，卜0一『，

（1—g）a+b=81

解得仁:篇

・・・a+Z?=99,

故答案为：99.

16.（3分）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近

视率”.如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字I-12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心.图

中以数字0〜12对应的点为端点的所有线段中,有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1,

布+企

则这条线段的长为

2

（参考数据：sinl50二匹萨，Sin75°=粤%）

眼肌运动训练图

10o8

使用方法：以0,1,2,3,…

的顺序沿着箭头方向移动眼

球.移动一圈后再回到原点，

反复进行.

【解答】解：如图所示，设数字0记为圆心O,数字6记为A,数字7记为8,过点。作0O_LA8于点

D,

眼肌运动训练图

10o8

使用方法：以0,1,2,3,…

的顺序沿着箭头方向移动眼

球.移动一圈后再回到原点，

反复进行.

由图可得，线段人8的长与其他的都不相等，

•・•其中数字1-12对应的点均匀分布在一个圆上,

.*.360°-4-12=30°,

••・相邻两个数字与圆心。组成的圆心角为30°,

/.ZAOB=30°X5=15O°，

/.ZOAB=ZOBA=1(180°-z/lOF)=15°,

ODA-AB,

・・・NBOO=75°，

：.sinZBOD=sin75°=黑,

*=吗

41

・・・吁空4

*：OA=OB,ODLAB,

而+&

：.AB=2BD=

-2-'

・••这条线段的长为工4,

6+企

故答案为:

2

三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（7分）（1）解不等式2xW6,并在如图所给的数轴上表示其解集;

（2）解不等式3-4<5,并在如图所给的数轴上表示其解集;

（3）直接写出不等式组£'三）的解集.

IJ—X

-4-3-2-101234

【解答】解：（1）2tW6,

启3,

数轴表示如下:

(2)3x<5,

-x<2,

x>-2,

数轴表示如上图.

(3)由(1)(2)知,

不等式组的解集为：-2<rW3.

io—XV5

18.(8分)(1)一道习题及其错误的解答过程如下：

125

计算：(-6)X(-4----).

236

125

解：(-6)X(—+———)

236

=-6x1+6x|-6x1......第一步

Zoo

=-3+4-5......第二步

=-4……第三步

请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正物的解答过程.

(2)计算：|2-V2|-(-2)2X

24

【解答】解：(1)原解题步骤从第•步开始出现错误，正确步骤如下：

原式=(-6)x1+(-6)x1-(-6)x1

=-3-4+5

=-2；

(2)原式=2-&-4X(---)

24

=2—V2—(4x—4x

=2-V2-(2-1)

=2-V2―1

=1-V2.

19.(8分)如图，四边形ABCD的对角线AC,BZ)相交于点E,AC=AD,NACB=NADB,点F在ED

上，NBAF=NEAD.

(1)求证：ZSABC丝△从「£＞：

(2)若BE=FE,求证：AC1BD.

【解答】证明：(1)*：AC,相交于点E,ZACB=ZAD8,点尸在ED上,

・•・NACB=NADF,

ZBAF=ZEAD,

：.ZBAF-ZCAF=ZEAD-乙CAF,

：.ZBAC=ZFAD,

在△ABC和△/1&）中，

（ZBAC=ZFAD

\AC=AD，

[z.ACB=Z.ADF

：./\ABC^^AFD（ASA）.

（2）由（1）得AABCgAAFD,

：,AB=AF,

,:BE=FE,

：.AC1BF,AC1BD.

20.（8分）某工厂生产4,B,C.短四种产品.为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化

生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质.经研究，该工厂做出了甲、乙两种

调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.

下面是该工厂这四种产品的部分信息：

%调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）.

图1图2

〃.各产品单件成本的核算情况统计表及说明.

类别ABCD

数据

产品

调整前单件成本/（元/件）18262036

调整后单件成方案甲1322m40

本/（元/件）方案乙16n1832

说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相司，方案乙的中位数与调整前的相同.

根据以上信息，解答下列问题:

（1）求调整前A产品的年产量：

（2）直接写山帆，的值；

（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较

低.

【解答】ft?：（1）调整前，总产量为40+2（）%=200（万件）,

所以C产品的产量为200XI5%=30（万件）,

则A产品的年产量为200-（70+30+40）=6（）（万件）;

18+26+20+3613+22+m+40

（2）由题意知,

44

解得〃?=25；

20+26

・・•调整前年产量的中位数为=23（万件）,

18+n

----=23,

2

解得〃=28；

（3）方案中总成本为60X13-70X22+30X25+40X40=4670（刀兀）,

方案乙总成本为60X16+70X28+30X18+40X32=4740（万元），

4670<4740,

所以方案甲总成本较低.

21.（9分）如图1,图2,正方形4/3C。的边长为5.扇形OEF所在圆的圆心。在对角线8Q上，且不与

点D重合，半径OE=2,点E,F分别在边AD,CD±,DE=DF（OE22）,扇形OEF的弧交线段

OB于点M,记为师.

（1）如图1,当AE=3时，求NEM/的度数；

（2）如图2,当四边形OEMF为菱形时，求OE的长；

（3）当/£。尸=150°时，求力亦的长.

AEDAED

图1图2

【解答】解：（1）•・•四边形ABC。为边长为5的正方形,

，4O=8C=5,ZADC=90°,

*：AE=3,

:,DE=2,

，：DE=DF,

；.DE=DF=2.

，：0E=0F=2,

JDE=DF=0E=0F=2,

J四边形OEDF为正方形，

，NEO产=90°,

：.NEMF=建EOF=45。；

（2）连接交BD于点、H,如图，

•••四边形OEMF为菱形,

AOE=EM=OF=MF=2,EH工MD,

•；OM=OE=OF=2,

•••△OEM,AOFM为等边三角形,

J20EM=NOME=NOMF=NOFM=60°,

・•・£：〃=ME・sin600=2x^=V3.

•・•四边形ABCD为边长为5的正方形，

••・8。平分/4。。，

AZADB=45°,

•••△项》7为等腰直角三角形，

：,DH=EH=V3,

：,DE=>/2DH=瓜

（3）当NEO尸=150°时，如图,

・・•丽的长二至群二挈

loU3

当NEO尸=1500时,如图，

，丽的长=包辟=孕.

__57

综上，当NE。广=150°时，丽的长为-7T或-7T.

33

22.（9分）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0-I00C（本题

涉及的温度均在此范围内），原长为/〃?的铜棒、铁棒受热后，伸长量），（〃?）与温度的增加量x（C）

之间的关系均为），=〃立，其中〃为常数，称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数g=1.7X10

-5（单位：/℃）；原长为2.5用的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8X10%

（1）原长为06”的铜棒受热后升高50℃,求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）.

（2）求铁的线膨胀系数口与；若原K为1，〃的铁棒受热后伸长4.8X104〃，求该铁棒温度的增加量.

（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的

高20℃,求该铁棒温度的增加量.

【解答】解：（1）1.7X10-5x06X50=5.1X107（〃?），

即该铜棒的伸长量为5.1X10-%〃

⑵西=zg^=L2X105,

4.8X10-4+（1.2X105X1）=40（℃）,

即该铁棒温度的增加量为40℃；

（3）设铜棒增加的温度为工℃,则铁棒增加的温度为（x+20）°C,设它们的长度均为/,

由题意得1.7X10*5Zr=1.2X105/（x+20）,

整理得：17x=12r+240,

解得：x=48,

则x+20=48+20=68,

即该铁棒温度的增加量为68℃.

23.（11分）综合与实践

［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线.

［模型I已知矩形（数据如图2所示）.作一条直线MM使MN与8C所夹的锐角为45°,且将矩

形ABCD分成周长相等的两部分.

［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.

如图3,嘉嘉的思路如下:如图4,淇淇的方法如下:

①连接AC,交于点。；①在边BC上截取BG=AB,连接AG

②过点。作EF_L8C,分别交8CA。于点E,②作线段GC的垂直平分线I,交BC于点M；

③在边八。上截取八N-GM,作直线MM

尸

D

B2LC

：E

图3

［探究］根据以上描述，解决下列问题.

（1）图2中，矩形/WCQ的周长为10

（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）;

（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求.

［拓展］操作和探究中蕴含着一股性结论，请继续研究下面的问题.

（4）如图5,若直线PQ将矩形A8CO分成周长相等的两部分，分别交边A。，BC于点P.Q,过点8

作于点儿连接CH

①当NPQC=45°时，求tanN3CH的值;

②当N8C“最大时，直接写出C”的长.

【解答】(I)解：•・•四边形ABC。是矩形,

：.AB=CD,AD=BC,

AO=4,

：.AB=CD=\,AD=BC=4,

，矩形ABC。的周长为2(4B+CO)=2X(1+4)=10,

故答案为：10：

(2)解：如图所示，以点E为圆心E。为半径画弧，交BC于点M,延长M。交A。于点M线段MN

即为所求，

图3

•:EF工BC,

:・NBEF=9()°,

•:EM=EO,

•••△EOM是等腰直角三角形,

・・・NOME=45°,

•••矩形ABCD的对角线交于点O,

：,AO=CO,

•・•四边形人8CO是矩形，

：.AD//BC,AD=BC,

：./AON=NCOM,

在△AON和△COM中，

(ZOAN=/OCM

\AO=CO'

(440N=4COM

:.△AON9XCOM(ASA),

:.AN=CM,

:・DN=BM,

：.AN+AB+BM=CM+CD+DN,

・•・直线MN把矩形4BCD分成周长相等的两部分；

(3)证明：•・•四边形A8CQ是矩形，

・・・N8=90°,AD//BC,

•:BG=AB,

・・・N4G8=45°,

*：AN=MG,

・•・四边形AGMN是平行四边形，

：.MN//AG,

••・NNMG=NAGB=45°,

•・•直线/是GC的垂直平分线，

：,GM=CM,

••・GM=CM=AN,

：,BM=BC-CM,DN=AD-AN,

；・BM=DN,

:・AN+AB+BM=CM+CCh-DN,

・•・MN把矩形A8CO分成了周长相等的两部分，

・,・直线MN符合要求；

(4)解：①如图所示，过点”作〃GJ_3C,连接AC交尸Q于点O,过点尸作PKJ_3C于点K,过点

0作07_L8C,

•••四边形ABCQ是矩形，旦直线，。将矩形ABC。分成周长相等的两部分，则点。是矩形A8C。的对

角线4C与8。的交点，

，点0是4C的中点，

:,BT=CT=^BC=2,

：,AP=CQ,PD=BQ,AB=DC=PK=1,

•・・NPQC=45°,

・•・△kQK是等腰直角三角形，

：,PK=QK=\,

：.PQ=y/PK2+QK2=Vl2+l2=V2,

•・•四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

AZAPQ=ZCQP=45°,

在△AOP和△COQ中，

(^AOP=NCOQ

］乙APO=Z.CQP，

G4P=CQ

•••△AOPdCOQ(AAS),

:,PO=QO=寺,()T=()T=^,

i6

/.CQ=CT+QT=2-^^=会

：.BQ=BC-CQ=4-^=ZBQH=NPQC=45°，

•：BH上PQ于点、H,

:・/BHQ=90°,

是等腰直角三角形，

353

113=+-+--143

一-

JHG=GQ=；BQ=4x/=CG24

4'

3

.•.t♦an^XBDCrHu=HG=石Z=篇3；

7r

②如图所示，连接8。交PQ于点0,

AP/

PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分,

・••点。为BZ）和PQ的中点,

,CBHYPQ,

・••点〃在以80为直径的。L上，当C”与OL相切时，NBCH最大,

：A8=1,AQ=4,

：.BD=Vl2+42=VT7,

・・・80=聂。=等，

；.LH=BL=0L=浮,

过点L作LTA.BC,

：・NB'「L=90°,

二•四边形人是矩形,

・・・NBCO=90°，

：.TL//CD,

则△比八必跳肾?，

.BLLTBT

・'RD~CD~BC

V17