2025年山东省济南市中考数学试题（含解析）

山东省济南市2025年中考数学试卷

一、单选题

1.下列各数中为负数的是（）

A.GB.0C.2D.-1

2.如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（）

yy/

__1/

正面

A.~B.।-------------------C.--------------------D.-------------------------------

3.2025年，五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次,

数据96110用科学记数法表示为（）

A.9.611X103B.96.11X103C.9.611X104D.0.961x10s

4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

5.下列运算正确的是（）

A235

•m=mB.m6+加2=m3

（加之『-5

C.2m+3n=5mnD.m

6.已知。＞6,则下列不等式一定成立的是（）

—ab

A.a—1<6—1B.一<一C.-a>—bD.2a>a+b

22

7.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点4,B,C,D,£都在网格的格点上，则

下列结论正确的是（）

A.ZDAC>ZEBAB.ZDAC<ZEBA

C.ADAC=AEBAD.ZDAC+ZEBA=60°

8.某学校食堂准备了4,B,C,。四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他

们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）

A.yB.-C.：D.—

4323

9.如图，在V4BC中，按如下步骤作图：

①在C4和C2上分别截取CM,CN,使CM=CN,分别以点M和N为圆心，以大于〈儿加的长为半径作

弧，两弧在Z/C3内交于点。，作射线交43于点。，

②分别以点C和。为圆心，以大于;C。的长为半径作弧，两弧相交于点尸和。，作直线尸。交NC于点E,

交BC于点、F.

根据以上作图，若40=4,DB=2,BC=3五,则线段/E的长为（）

C.5D.4^/2

10.已知二次函数y="+6x+c（a,6,c为常数，aW0）图像的顶点坐标是（T〃），且经过（1,0）,（0,加）

两点，3Vm<4.有下列结论：

①关于x的一元二次方程a久2+bx+c-n+1=0（a丰0）有两个不相等的实数根；

4

②当x>-l时，y的值随充值的增大而减小；③

④4a-26+c>0；⑤对于任意实数f,总有(t+l)(at—a+b)WO.

以上结论正确的有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

二、填空题

11.已知一个正方形的面积为2,则其边长为.

12.在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，

这个球是红球的概率为.

13.如图，两条直线4，6分别经过正六边形MCDEF的顶点3,C,且乙〃/”当4=37。时，Z2=

14.A,8两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从/,3两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,

甲、乙两人各自到/地的距离s(km)与骑车时间f(h)的关系如图所示，则他们相遇时距离工地

15.如图，正方形纸片23cA中，E是M上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点/落在C。上的点G

处，点8落在点〃处，折痕跖交8C于点？若CG=4,EF=A6，则48=

H

三、解答题

16.计算：（7T-3）O+Qj+|-5|+2sin450-V8.

17.解不等式组｛4宣:三乃9并写出它的所有整数解.

18.已知：如图，在平行四边形48。中，点、E,尸分别在8c和40上，且/斤=CE.求证:

ZAEB=NCFD.

19.某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为21m,倾斜角为40。，右边滑梯

的高度DF为11m,倾斜角为32。，支架/C,2VF都与地面垂直，AN,MD都与地面平行，两支架之间的

距离C尸为3m（点8,C,F,£在同一条直线上）

（1）求两滑梯的高度差;

（2）两滑梯的底端分别为8,E,求BE的长.（结果精确到0.01m.参考数据：sin32°。0.530,

cos32°»0.848,tan32°»0.625,sin40°»0.643,cos40°®0.766,tan40°»0.839)

20.如图，48是。。的直径，C为。。上一点，P为。。外一点，OP//AC,且NOAP=90。，连接

PC.

⑴求证：PC与。。相切；

（2）若/O=3,OP=5,求/C的长.

21.某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分

学生的成绩（成绩用无表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信

息:

。.抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下:

组另U成绩/分人数(频数)

A0<x<201

B20<x<405

C40<x<60m

D60<x<8016

E80<x<10020

。组的数据60,60,61,62,62,63,63,66,67,67,70,70,71,74,75,79

请根据以上信息完成下列问题:

(1)求随机抽取的学生人数；

(2)统计表中的机=,扇形统计图中£组所对应扇形的圆心角为度；

(3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为分；

(4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60

分及以上的学生人数.

22.随着，体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种

型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，

用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同.

(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元.

(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器

材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？

23.一次函数y=2x+4的图象与反比例函数>=：(x>0)的图象交于点加,6),与x轴交于点瓦与y轴交

于点C.

(1)求加，上的值.

(2)。为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m.

Ap1

①如图1,若点。的横坐标为4,连接3,£为线段上一点，且等=求点£的坐标；

ED2

②如图2,M为线段上一点，且CN=1,四边形OMLW是平行四边形，连接4N,若/BAN=45。,求

点D的坐标.

⑵如图1,将二次函数y=/+6x+c的图象沿X轴方向平移〃(〃>0)个单位长度得到一个新函数的图象，当

0<x<3时，新函数的最大值是8,求"的值.

(3)如图2,将二次函数了=x2+6x+c的图象沿直线平移，点N,G的对应点分别为4,G,连接/G，，

A'G,线段4G，与HG交于点若tanNBMG=；,请直接写出点G'的坐标.

25.在RtZX/BC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,点。为/C的中点.在Rt")8E中，ZDBE=90°,

DB=3,BE=4,连接EO并延长到点尸，使OF=EO,连接/尸.

AD

~AF~------------------

【深入探究】（2）如图2,若将图1中的绕点8按逆时针方向旋转一定的角度a（0°<a<90。），连接

AD,CE,AE,CF.

①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.

②当四边形NEC厂的面积最小时，求线段3的长.

参考答案

1.D2.B3.C4.B5.A6.D7.C8.A9.D

l2300

10.All.V212.-13.9714.—/42y6

15.2+2V5/2V5+2

16.8-V2

解：原式=l+2+5+2x^--2V2

2

=8+近-20

=8-6

17.-2<x<4,整数解为：-1,0,1,2,3.

解：解不等式①，得x>-2,

解不等式②，得x<4

原不等式组的解集是_2<X<4

，整数解为-1,0,1,2,3

18.见解析

【详解】证明：,••平行四边形N3CO中，AD//BC,

NDAE=ZAEB,

AD//BC,AF=CE,

四边形/FCE是平行四边形，

AE//CF,

..NDAE=ZCFD,

ZAEB=ZCFD.

19.(l)2.50m

(2)36.69m

(1)解：在中，

ZACB=90°fZS=40°,

-,-AC=ABxsinZ.B=ABxsin40°«21x0.643=13.503m,

・•.AC-DF=13.503—11=2.503«2.50m,

答：两滑梯高度差为2.50m

(2)解：在RtZ\/5C中，

N4cB=90。，ZB=40。，

••.BC=ABcosZ-B=XBcos40°«21x0.766=16.086m,

在Rt△瓦口中，

ZDEF=90°,z£)EF=32°,

LLDFDF11Yr,

1・EF=----------=-------«------=17.6m,

tanZ.DEFtan32°0.625

BE=BC+CF+EF=16,086+3+17.6=36,686»36.69m

答：BE长36.69m.

20.⑴见解析

(2)y

【详解】(1)证明：如图，连接OC,

/OAC=/OCA,

・•・OP//AC,

ZOAC=ZBOP,ZOCA=ZCOP,

ZCOP=ABOP,

在△COP和ASOP中，

(OC=OB

乙COP=乙BOP

IOP=OP

ACOP=ABOP(SAS),

・,.ZOCP=ZOBP=90°,

「•OC1PC,

・•.PC与。。相切;

(2)解：如图，连接/。交。尸于点

△COP9ABOP,

PC=PB,OB=OC,

。尸垂直平分2C,

A0=B0=3,0P=5,ZOBP=90°,

BP=yj0P2-0B2=J52-32=4，

•••SnRP^-OB-BP=-OPBD,

*°BP22

ncOBBP3x412

BD=----------=------=——，

OP55

24

BC=2BD=——,

5

48是。。的直径，

AB=2OA=6,ZACB=90°,

AC=y]AB2—BC2=；62—(空)2=

21.(1)50A

(2)8,144

(3)70

(4)576人

(1)解：5+10%=50(人)

即随机抽取的学生人数为50人；

(2)解：机=50-1-5-16-20=8,

20

扇形统计图中£组所对应扇形的圆心角为：—x360°=144°,

故答案为:8,144；

(3)解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数，

•••1+5+8<25,1+5+8+16>26,

•••第25和26人在D组，结合D组数据可得第25和26人成绩均为70分,

抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分，

故答案为：70；

(4)解：800x———=576(人)

即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人.

22.(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元

⑵购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元.

(1)解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为(x+300)元,

•口•口*上始56000

根4u据题意，得-5-0-0-0-0

xx+300

解得x=2500,

经检验，X=2500是原方程的根.

此时x+300=2800,

答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元.

(2)解：根据题意，甲型健身器材买了。个，则购买乙型健身器材数量为(20-。)个，且a<3(20-a)即

a<15,且。为正整数，

根据题意，得w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000,

由上=-300<0,得卬随a的增大而减小，

故当a=15时，w取得最小值，且最小值为校=-300x15+56000=51500(元)，

故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元.

23.(1)m=1,k=6

(2)①E,gj,②0(2+0,6-3⑹

(1)解:由题意可知，点留加,6)在一次函数y=2x+4的图象上，典|

6=2m+4,解得m=\,

•・•点/(1,6)在反比例函数y=〉0)的图象上，

••・6=彳，解得k=6,

则加=1,k=6；

(2)解：①过点/作轴交于点"过点E作用WLZ打交于点过点。作DN，/以交于点N,

如图，

则ZAME=ZAND=90°,

：,ME〃ND,

・•・^MAEs^NAD,

AMME

,,AN~ND'

・・,点D的横坐标为4,

・••点D的纵坐标为＞=(="|,

AE_1

.而一/，

4E_1

———,

AD3

AMME

••南一而一3'

•・・X。=4,5=1,

・•.DN=3,

则--，解得ME=1,

=1+1=2,

A3

••."=6/D=2，

39

,AN=6——

22

AM1

-------=-3

•.93,解得加/=5，

2

39

则拄=6-5=2，

那么，点E（2,||；

②一次函数y=2x+4的图象与y轴交于点c,

令x=0,贝U>=4,

••.C（0,4）,

•・•CM=1,

过点。作。尸，45交4N于点尸，过点尸作轴于点K,过点4作/G,歹轴于点G,如图,

•・•ZGAC+/ACG=ZACG+ZPCK=90°,

・•.ZGAC=ZPCK,

•・•/BAN=45°,

为等腰直角三角形，

・•.AC=CP,

则AGAC-KCP,

・・・点4（1,6）,C（0,4）

；,AG=CK=T,CG=PK=2,

•・•CM=1,

・••点M与点K重合，OM=3,

二点尸（2,3）,

设直线/N的解析式为丁=辰+”后*0）,则

(3=2k+b解得I[k=-3

{6=k+b

y=-3x+9,

设点NQn,-37n+9),

•・•四边形OMDN是平行四边形,

=0+m-0=m,yd=3-3m+9=—3m+12,

则。(m,-37n+12),

•・・£)为反比例函数图象上的一点，

-3m+12=—,解得加=2+0，或加=2—行，

m

<D的横坐标大于1,

•••加=2+V2，

-3?n+12=-3(2++12=6-3"\/2,

故点£)(2+^/2/6—3^\/2),

24.(l)y=x2-2x-2,顶点G的坐标为(1,一3)

(2)n=—1+VH

（1）解:将4（3,1）,。（0,-2）代入1犬+―

9+3b+c=1

c=-2

b=-2

解得

c--l"

「♦y=x2—2x-2,

,•*y=/—2x-2=(x-1)-3,

二.当x=l时，V取最小值，最小值为-3,

二•顶点G的坐标为(L-3).

（2）解：根据平移规律可得新抛物线解析式为：y=（%-lf）2-3,

对称轴为直线x=〃+l,

H>0,

〃+1>1,

分情况讨论：

_31

①当1<"+14—时，即0<〃4—时，如图:

22

中轴线x=-y

直线x=3与抛物线交点M纵坐标最大，

将x=3,y=8代入解析式得8=(3—1—几)2—3,

解得〃=2±&1,与矛盾，不合题意；

②一当"+1>；3时，即"〉—1时，如图：

22

中轴线》=年

直线元=0与抛物线交点N纵坐标最大，

将x=0,歹=8代入解析式得8=(0—1—71)2—3,

解得々=一1一而，与〃矛盾，不合题意；

n2=-1+V1T,符合题意，

综上可知，n=—1+V1T;

A

(3)解：如图，作5N,即/交MG的延长线于点N,作MQ夕轴，NPly^f

设直线AB的解析式为y=kx+b,

将2(3,1),8(0,-2)代入得，(3^+^_=1

k=\

解得

b=-2'

直线43的解析式为＞=x-2,

图象沿直线平移时，上下与左右平移的距离相等,

设向上，向右平移入个单位，

Xz(3+m,l+m),G'^l+m,-3+m),

由平移得44'=GG\AA'//GG',

四边形H/GG，是平行四边形，

线段NG，与4G交于点M,

•.•MQ入>轴，2_1_y轴，BNIBM,

NMQB=NBPN=90°,ZMBN=90°,

NQBM+AQMB=90°,AQBM+ZNBP=90°,

ZQMB=NPBN,

RtAQMBsRtJBN,

•・•tan/5MG=J,

3

,BN_1

一菽

BN_PN_BP1

"俞一诙—诟一『

PN_BP_1

即m-2m+43,

22

解得PN=

m+16

设直线4G的解析式为y=Ax+6,将4（3+m,l+6），G（l,-3）代入,

一,口人心-力上「q、rm+44m+10

可得/G的解析式为了=——-x--------—,

m+2m+2

m+16）代入，得:m+16m+4m+24m+10

m+26

解得叫=JIU,m2=-V10(舍去)，

..G(1+J10,—3+”1。).

25.(1)90；I；(2)@(1)中的结论仍然成立，证明见解析；②平

解：•・•点。为4C的中点，

・.OA=OC,

••,OF=EO,/AOF=/COE,

...AAOFWCOE,

••.NC4F=NC,AF=CE,

・•.AF//BC,

••.N45C+NZU尸=180。，

-ZABC=90°,

・•.ZDAF=90°；

•/AB=6,