第十三章 三角形全章培优测试卷（必考点分类集训）（人教版2024）（解析版）

第第页第十三章三角形全章培优测试卷【人教版2024】（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。2．本卷聚焦全章基础考点与重难点，旨在检测所学内容掌握程度。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）只看三角形的一个角，（）判断出它是什么三角形．A．能 B．不能 C．不一定能 D．肯定不能【分析】根据三角形的一个角的大小，判断是否能确定三角形的类型，若该角为直角或钝角，则可确定；若为锐角，则无法确定．【解答】解：当三角形的一个角是直角或钝角时，可以判断是直角三角形或钝角三角形．若该角是锐角，则可能构成锐角、直角或钝角三角形．因此，只看一个角不一定能判断出三角形的形状，故选：C．2．（3分）有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【分析】从中任意选出三根，有4种情况，由三角形三边关系定理判定即可．【解答】解：从中任意选出三根，有以下4种情况：2、4、6，2、4、7，2、6、7，4、6、7，2+4＝6，不能构成三角形，2+4＜7，不能构成三角形，2+6＞7，能构成三角形，4+6＞7，能构成三角形，∴其中能构成三角形的有2种．故选：B．3．（3分）已知一个等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于8cm，那么它的周长为（）A．16cm B．18cm C．16cm或20cm D．20cm【分析】等腰三角形有两条边长为4cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：分两种情况：当腰为4时，4+4＝8，所以不能构成三角形；当腰为时8，4+8＞8，所以能构成三角形，周长是：4+8+8＝20．故选：D．4．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列各角中，与∠B一定相等的是（）A．∠BAD B．∠CAD C．∠BCA D．∠BDE【分析】根据∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，即可得到结论．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD，故选：B．5．（3分）如图，△ABC中，AB＝2BD，∠ACF＝∠BCF，AB⊥CE，下列选项不正确的是（）A．CF是△CDE的角平分线 B．CE是△BCE的高 C．CD是△ABC的中线 D．S△ACD＝S△BCD【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可．【解答】解：A、∵∠ACF＝∠BCF，∴CF是△ABC的角平分线；没有条件能证明CF是△CDF的角平分线，说法错误，故符合题意；B、∵AB⊥CE，∴CE是△BCE的高，说法正确，故不符合题意；C、∵AB＝2BD，∴CD是△ABC的中线，说法正确，故不符合题意；D、∵AB＝2BD，∴CD是△ABC的中线，∴S△ACD＝S△BCD，说法正确，故不符合题意；故选：A．6．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（）A．42° B．63° C．66° D．76°【分析】根据折叠的性质求出∠ACD，再根据三角形的外角性质求出∠BDC．【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD=12∠∵∠BDC是△ACD的外角，∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°．故选：C．7．（3分）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（）A．如图①，过点C作EF∥AB B．如图②，延长AC到F，过点C作CE∥AB C．如图③，过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．如图④，过点D作DE∥BC【分析】根据三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、如图①，过点C作EF∥AB，则∠B＝∠FCB，∠A＝∠ECA，∵∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，正确，不符合题意；B、如图②，延长AC到F，过点C作CE∥AB，则∠B＝∠BCE，∠A＝∠ECF，∵∠BCE+∠ECF+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，正确，不符合题意；C、如图③，过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC，则四边形CEDF是平行四边形，∴∠C＝∠EDF，∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∵DF∥AC，∴∠A＝∠BDF，∵∠EDF+∠ADE+∠BDF＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180°，正确，不符合题意；D、如图④，过点D作DE∥BC，无法证明三角形的内角和等于180°．故选：D．8．（3分）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的内角平分线交于点O．设∠BOC＝β，则∠A＝（）A．180°﹣β B．90°−β2 C．2β﹣180° 【分析】先根据∠BOC＝β得出∠2+∠4的度数，再根据OB、OC分别为∠ABC及∠ACB的平分线得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，即∠ABC+∠ACB＝2（∠2+∠4），再由三角形内角和为180°即可得出∠A的度数．【解答】解：∵△BOC中，∠BOC＝β，∴根据三角形内角和定理得，∠2+∠4＝180°﹣β，∵OB、OC分别为∠ABC及∠ACB的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠2+∠4）＝2×（180°﹣β）＝360°﹣2β，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣360°+2β＝2β﹣180°．则∠A的度数为2β﹣180°．故选：C．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（）A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形【分析】根据三角形的特征解答即可．【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，故选：C．10．（3分）如图，△ABC的边BC在直线MN上，∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∠BAC的平分线交BD于点E．若∠AEB＝α，∠MBA＝β，∠D＝γ，则下列关系正确的是（）A．2α+2γ﹣β＝180° B．2β+2γ﹣α＝180° C．α﹣2γ+β＝180° D．β﹣2γ+α＝180°【分析】根据∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∠BAC的平分线交BD于点E，设∠ABD＝∠CBD＝x，∠ACD＝∠NCD＝m，∠BAE＝∠CAE＝y，可以得到y＝γ，再结合x=90°−12β，根据三角形内角和整理可以得到：2α+2γ【解答】解：∵∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝x，∠ACD＝∠NCD＝m，∵∠BAC的平分线交BD于点E，∴∠BAE＝∠CAE＝y，∵∠ACN是△ABC的外角，∴2x+2y＝2m，∴x+y＝m，∵∠DCN是△BCD的外角，∠AEB＝α，∠MBA＝β，∠D＝γ，∴x+γ＝m，∴y＝γ，∵2x+β＝180°，∴x=90°−1在△ABE中，180°−α=x+y=90°−1∴180°−α=90°−1∴2α+2γ﹣β＝180°，综上所述，只有选项A正确，符合题意，故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）在△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，且∠C＝2∠B．那么如果按角分，这是一个直角三角形；按边分，这是一个等腰三角形．【分析】先利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，再结合已知即可求出各角的度数．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，∴∠C+∠C＝180°，即∠C＝90°，∵∠C＝2∠B，∴∠B=12∠C=45°∴按角分，这是一个直角三角形；按边分，这是一个等腰三角形，故答案为：直角，等腰．12．（3分）如图，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁，这是利用了三角形的稳定性．【分析】利用了三角形的稳定性即可求解．【解答】解：生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁，这是利用的是三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．13．（3分）如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有5条．【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数．【解答】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条；可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条；可以作为△ABC的高的有BC，AC、CD共3条．综上所述，可以作为三角形“高”的线段有：AD，CD、BD，BC，AC共5条．故答案为：5．14．（3分）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA＝8cm或2cm．【分析】先根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再求出AD把△ABC周长分为的两部分的差等于|AB﹣AC|，然后分AB＞AC，AB＜AC两种情况分别列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是△ABC中线，∴BD＝CD．AD把△ABC周长分为的两部分分别是：AB+BD，AC+CD，|（AB+BD）﹣（AC+CD）|＝|AB﹣AC|＝3，如果AB＞AC，那么AB﹣5＝3，AB＝8cm；如果AB＜AC，那么5﹣AB＝3，AB＝2cm．故答案为：8cm或2cm．15．（3分）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为53【分析】连接FC，由三角形的中线与面积的关系可得S△BEC＝S△ABE＝S△ABD=12S△ABC=152，然后可得S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，则有S△BCF=【解答】解：连接FC，如图所示：∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC＝15，∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABD=12S△ABC∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF，∴S△AEF＝S△BDF，∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF，∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，∴S△BCF=23S△∵S△BCF=12BC•FH=1∴FH=5故答案为：5316．（3分）如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH交BD于点G，交BC于点H，已知∠DBE＝∠F，下列结论中正确的结论有①②（填序号）．①FH⊥BE；②∠BGH＝∠BEF；③∠DBE＝∠BAC﹣∠C；④∠FKB＝∠BEF+∠ABE+∠C．【分析】根据三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等知识，一一判定即可．【解答】解：∵BD是△ABC的高线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∴∠DGF+∠F＝90°，∵∠DBE＝∠F，∠DGF＝∠BGO，∴∠BGO+∠DBE＝90°，即∠BOG＝90°．∴FH⊥BE，故①正确，符合题意；由上知，∠DBE+∠BEF＝90°，∠DBE+∠BGH＝90°，∴∠BEF＝∠BGH，故②正确，符合题意；∵BD⊥FD，∴∠ABD＝90°﹣∠BAC，∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，故③错误，不符合题意；∵∠FKB＝∠F+∠BAF＝∠DBE+∠ABC+∠C＝∠DBE+∠ABE+∠CBE+∠C＝∠DBE+∠ABE+∠BEF，而∠DBE≠∠C，故④错误，不符合题意；故答案为：①②．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a+b﹣2c+8＝0，a﹣b﹣3c+22＝0．（1）求c的取值范围．（2）若△ABC的周长为22，求a，b，c的值．【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边列不等式组得出3c﹣22＜c＜2c﹣8，求解即可；（2）△ABC的周长为22，根据题意得出列方程组求解得出答案即可．【解答】解：（1）∵a+b﹣2c+8＝0，a﹣b﹣3c+22＝0∴2c﹣8＝a+b，3c﹣22＝a﹣b∵a、b、c是△ABC的三边，∴根据三角形的三边关系得，3c﹣22＜c＜2c﹣8，∴8＜c＜11；（2）由题意列方程得：a+b+c=22a+b−2c+8=0解得a=10b=2即a＝10，b＝2，c＝10．18．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAC的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AC于点F，AE与BF交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠AOB和∠DAE的度数．【分析】根据三角形内角和定理解题即可．【解答】解：因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°．因为AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，所以∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°所以∠AOB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝125°．因为∠C＝70°，AD是BC边上的高，所以∠CAD＝90°﹣70°＝20°，所以∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°．19．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠A＝∠BCD．（1）请说明：CD⊥AB；（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于点E、∠CEA与∠CFE相等吗？请说明理由．【分析】（1）先求出∠ACD+∠BCD＝90°，再根据等量代换可得∠ACD+∠A＝90°，从而可得∠ADC＝90°，由此即可得；（2）先根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE，再求出∠CEA＝∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠CFE＝∠AFD，由此即可得．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠A＝∠BCD，∴∠ACD+∠A＝90°（等量代换），∴∠ADC＝180°﹣（∠ACD+∠A）＝180°﹣90°＝90°，∴CD⊥AB．（2）解：∠CEA＝∠CFE，理由如下：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠CEA＝180°﹣90°＝90°，由（1）已得：CD⊥AB，∴∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEA＝∠AFD，由对顶角相等得：∠CFE＝∠AFD，∴∠CEA＝∠CFE．20．（8分）如图，O是△ABC内一点，连结OB和OC．（1）试说明：OB+OC＜AB+AC；（2）若AB＝7，AC＝6，BC＝8，求OB+OC的取值范围．【分析】（1）延长BO交AC于D，由三角形三边关系定理得OB+OD＜AB+AD，OC＜OD+DC，即可证明OB+OC＜AB+AC；（2）由三角形三边关系定理得OB+OC＞BC，因此BC＜OB+OC＜AB+AC，得到8＜OB+OC＜13．【解答】（1）证明：延长BO交AC于D，由三角形三边关系定理得：OB+OD＜AB+AD，OC＜OD+DC，∴OB+OC+OD＜AB+AD+OD+DC，∴OB+OC＜AB+AC；（2）由三角形三边关系定理得：OB+OC＞BC，由（1）知OB+OC＜AB+AC，∴BC＜OB+OC＜AB+AC，∵AB＝7，AC＝6，BC＝8，∴8＜OB+OC＜13．21．（10分）定义：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a2+ab＝c2，则称△ABC为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）如图1，△ABC为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由；（2）如图2，等腰三角形△ABC为“类直角三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，请求出∠B的大小．【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得到a2+ab＞c2，因此等边三角形不是“类直角三角形”；（2）由“类直角三角形”的定义得到a2+b2＝c2，推出∠ACB＝90°，判定△ABC是等腰直角三角形，得到∠B＝45°．【解答】解：（1）如图1，等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴a2+ab＞c2，∴等边三角形不是“类直角三角形”；（2）如图2，∵等腰三角形△ABC为“类直角三角形”，∴a2+ab＝c2，∵AC＝BC，∴a＝b，∴a2+b2＝c2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°．22．（10分）如图，在△ABC中，CE是△ABC的角平分线，点D在AC边上（不与点A、C重合），连接BD交CE于点F．（1）若BD是△ABC的中线，AB＝10，BC＝9，求△ABD与△BCD的周长之差；（2）若BD是△ABC的高，∠ACB＝68°，求∠BFC的度数．【分析】（1）根据三角形中线的定义得到AD＝CD，利用三角形的周长公式表示出△ABD与△BCD的周长，两者相减即可得出答案；（2）根据三角形的高的定义得到∠BDC＝90°，根据角平分线的定义得到∠DCF=1【解答】解：（1）∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD．∵AB＝10，BC＝9，∴△ABD的周长＝AD+BD+10，△BCD的周长＝CD+BD+9．∴△ABD与△BCD的周长之差为AD+BD+10﹣（CD+BD+9）＝AD+BD+10﹣CD﹣BD﹣9＝10﹣9＝1，即△ABD与△BCD的周长之差为1；（2）∵BD是△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠DCF=1∴∠BFC＝∠BDC+∠DCF＝90°+34°＝124°，即∠BFC的度数为124°．23．（12分）在△ABC中，∠BAC＝70°，D、E分别是边AB、AC上的点，P是直线BC上的一个动点，连结PD，PE．设∠PDB＝α，∠PEC＝β，∠DPE＝γ．（1）如图1，若点P在线段BC上，且γ＝60°，求α+β的度数；（2）如图2，若点P在线段BC延长线上，PD交AC于点F，试探究α、β、γ之间的关系，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段BC延长线上，PD交AC于点F，试探究α、β、γ之间的关系，并说明理由．【分析】（1）连接AP，根据三角形的外角的性质得出∠PEC＝∠PAE+∠APE，进而得出α+β＝∠BAC+γ，即可得出答案；（2）先根据三角形的外角的性质得出α＝∠BAC+β+γ，再得出α＝70°+β+γ，进而得出答案；（3）先得出∠PFC＝β﹣γ，∠AFD＝β﹣γ，α＝∠BAC+β﹣γ，进而可得出答案．【解答】解：（1）连接AP，∴∠DPA+∠EPA＝γ，由外角性质可知∠PDB＝∠DAP+∠DPA，∵∠PEC是△EAP的外角，∴∠PEC＝∠PAE+∠APE，∴∠PDB+∠PEC＝∠DAP+∠DPA+∠PAE+∠APE，即α+β＝∠BAC+γ，∵∠BAC＝70°，γ＝60°，∴α+β＝130°；（2）∵∠AFD＝β+γ，α＝∠BAC+∠AFD，∴α＝∠BAC+β+γ，由条件可知α＝70°+β+γ，即α﹣β﹣γ＝70°；（3）由条件可知∠PFC＝β﹣γ，∵∠PFC＝∠AFD，∴∠AFD＝β﹣γ，∵α＝∠BAC+∠AFD，∴α＝∠BAC+β﹣γ，∵∠BAC＝70°，∴α＝70°+β﹣γ，即α﹣β+γ＝70°．24．（12分）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．（1）如图①，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数；（2）如图②，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D；①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝45度（直接写出结果，不需说理）②点A、B在运动的过程中，若∠BAO＝m°，试求∠ADB的度数．（3）如图③，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果某一个角是∠D的4倍，请直接